經濟物理與金融市場復雜性研究

王文靜　馬軍海

摘要：經濟物理學是一門新的交叉學科。把物理學中的分形理論、混沌理論應用到金融市場的研究是金融領域的新方向，物理和經濟金融的相互滲透和融合不論對宏觀經濟調控的決策還是個人投資策略的選擇都有著十分重要的理論意義和現實價值。

關鍵詞：經濟物理；金融市場；有效市場；分形；混沌

經濟物理是一門新興的交叉學科，它指運用物理學中的概念、方法來研究經濟問題的學科，涵蓋了從物理學、經濟學到金融數學、概率論等一系列知識。已有越來越多的物理學家運用在統計力學與理論物理中發展起來的工具與方法對金融市場這一復雜系統進行建模，以期獲得關于系統本質更深刻的理解。事實上。自20世紀40年代以來，物理學中的系統科學、混沌理論、分形理論等新學科不斷涌現，對金融市場本質的認識和金融市場復雜性、非線性的研究產生了深遠影響。如金融資產價格變化的分布形狀、長短期記憶特征、高階矩統計特征、描述股價的隨機動力學特征、分析金融市場的價格動力學與湍流等物理過程的聯系和區別等。本文從傳統金融理論的基礎——有效市場假說展開，列舉了理論上對經典有效市場假說存在的質疑以及在現實中難以解釋的現象，而近代物理學的發展為金融市場動力學提供了一種新的分析方法，指出非線性物理及其方法對于金融復雜性研究的重大影響與意義。

一、傳統金融理論的基石——有效市場假說

有效市場假說是現代證券市場理論體系的支柱之一，也是現代金融經濟學的理論基石之一?，F代金融理論如資本資產定價模型有關有效市場的研究可追溯到1900年法國數學家巴契里耶的開創性工作。他在博士論文《投機理論》中提到：在一個投機性市場中。資產價格是一個隨機游走過程。但是這篇論文并沒有受到大家的重視，直到50年后。才被經濟學大師薩繆爾森發現，并給予了極高的評價。1953年英國統計學家肯德爾對股價的可預測性進行研究時發現股價具有隨機游走的特點，即股價的變動沒有任何規律可循。1959年奧斯本指出股票價格的變化呈布朗運動，他認為資本市場的價格是隨機游走過程，市場價格的變化只不過是根據信息做出的反應，與人的意志無關，從而建立了投資者是整體理性的這一假設。這也成為有效市場假說的最重要的假設條件。

1970年法瑪(Fama)在前人工作的基礎上正式提出有效市場假說這一理論，如果一個市場在確定證券價格的時候充分的、正確的反映了相關信息，那么該市場就是有效的，此即有效市場假說。根據信息集范圍的不同，又可分為弱有效、半強有效和強有效市場。有效市場理論提出后，大部分學者認為在有效市場的前提下，股票的價格是不可預測的，呈現的是物理學中的布朗運動及隨即游走過程：p_t+1=p_t+ε_t+1，其中{ε_t}是一個白噪聲序列。這也就意味著，影響股價未來變化的只是下一時刻的信息ε_t+1，而與歷史價格無關。因此人們無法根據歷史價格來預測股價。然而隨著對有效市場理論檢驗的不斷深入，越來越多實證結果與有效市場理論相悖，而有效市場假說的假設基礎與金融市場的真實性不符。難以解釋市場的復雜特性。具體表現在：(1)金融市場價格波動表現出的非線性特征，是有效市場理論線性范式無法反映的。(2)收益分布實際的尖峰厚尾特征向隨機游走模型中的正態分布假設提出質疑。(3)“超額收益的存在”、“小公司效應”、“一月效應”等發現，甚至金融危機等現象均是有效市場假說無法解釋的。

以上研究表明，有效市場假說這一理論體系過于理想化，它的假設基礎恰恰是其局限性所在。在有效市場理論中用來描述價格動態的隨機過程隨著大量實證研究已慢慢動搖。上世紀70年代興起的分形、混沌理論突破傳統的線性思維定勢，將金融市場的波動看成一個復雜的、交互作用的非線性動力學系統，解釋了有效市場假說無法解釋的現象，為金融市場中的定價問題掀開新的篇章。

二、分形與分形市場假說

分形被認為是當代科學中最有影響和感召力的基本概念，它產生于物理學和數學。對各門自然科學、社會學、經濟學、金融投資學均產生并將繼續產生深遠的影響。分形幾何已經成為探索自然現象和社會經濟現象的復雜性的有效數學工具。為定量描述隨機與確定、突變與漸變、有序與無序等復雜特征提供了嶄新的手段。

1973年美籍法國數學家曼德爾勃羅特(Mandelbrot)首次提出了分形(Fraotal)一詞，其原意具有不規則、支離破碎等意義。曼德爾勃羅特分別從數學和更通俗的角度為分形進行了定義：

1、若集合A滿足Dim(A)＞dim(A)，則稱之為分形集。其中。Dim(A)為集合A的Hausdoff維數(或分維數)，dim(A)為其拓撲維數。

2、部分與整體以某種形式相似的形。稱為分形。分形市場理論把分形理論、非線性系統理論和分數維時間序列理論引入金融市場有效性和市場基本波動特性的研究中，建立了一個新的理論框架。分形市場理論認為金融市場是一個開放的、非線性的、具有正反饋機制的系統。以往被認為遵循隨機游走的價格變動在分形市場中具有長期記憶性。即具有分數維的時間序列。金融市場的價格表現出對初始值敏感的特性，這表明尤其對于宏觀調控，要兼顧考慮市場的長、短期相關性的影響。當市場具有較強的非線性結構特性時，如果仍然依據線性市場條件下信息反映的線性因果關系對市場進行政策調控，那么就有可能達不到預期的效果，甚至背道而馳。對于時間序列長記憶性的檢驗，目前有經典R/S分析法、修正R/S分析法和V/S分析法。R/S分析的創建者是英國水文專家Hurst(1951)，而首次將R/S分析法應用于資本市場長記憶性研究的是Man，delbrot(1971)。此后L₀(1991)又提出了修正的R/S分析，此種方法克服了經典R/S分析在區分序列的長、短期相關性方面的局限性。當序列包含短期記憶、存在異質性時，修正的R/S統計量具有明確的分布，易于進行顯著性檢驗。然而雖然L₀在理論上證明了短期相關性會破壞經典R/S統計量的極限分布，但事實上經典R/S分析是通過分數布朗運動序列的相關性度量和Hurst指數之間的關系來判斷長期記憶是否存在，即繞過了假設檢驗。因此不能說修正R/S分析一定優于經典R/S分析。Giraitis等人(2003)提出的V/S(重標方差)分析是一種估計Hurst指數的新方法。Giraitis等人從理論和蒙特卡羅仿真角度對比研究了修正R/S、KPSS和V/S統計量。發現在序列長記憶性的檢驗上，V/S分析更具穩健性和有效性。

自相似性是分形最重要的特性，即系統局部與整體之間在空間或時間尺度上具有相似性，局部含有整體的信息，整體與局部之間的信息是“同構”的。上述Hurst指數所

描述的就是金融市場價格的自相似性。然而金融波動往往呈現出隨時間尺度的變化而變化的特性，此時需要用多重分形來刻畫。Bacry等人將多重分形理論應用于日元期貨的研究，發現存在多重分形的現象。Andreadis等則對道瓊斯工業指數進行多重分形研究，也得出相同的結論。我國也有很多學者將多重分形應用到中國金融市場，幾乎所有實證結果都支持多重分形現象在金融市場中普遍存在這一觀點。

在分數維時間序列的研究中，常用的是ARFIMA模型，即分整自回歸移動平均模型。ARFIMA模型最大的特點就是它可以全面刻畫時間序列長、短期相關關系，通過參數d來描述過程的分形特征。目前國內外已有很多文獻對ARFIMA模型的參數估計和實際應用進行了研究，為了同時刻畫時間序列異方差特性，我國學者樊智、張世英(2003)提出了ARFIMA-GARCH模型。并將其分別應用于中、美股市，發現中國股市的非線性程度要強于美國。

三、混沌理論與金融市場

當傳統的線性范式無法解釋諸如“1987年股災”這樣的現象時。起源于物理學、數學等領域的混沌理論為金融市場的研究者打開了一個全新的視角。美國氣象學家洛侖茲在20世紀60年代研究天氣預報中大氣流動問題時，發現了混沌現象，他指出混沌現象具有不可預言性和對初始條件的極端敏感依賴性兩個特點。而混沌一詞則是由_i和Yorke二人于20世紀70年代首次提出?，F在一般認為，混沌就是指在確定性系統中出現的一種看似隨機的現象。混沌解在短期是可以預測的，而在長期是無法預測的。由于混沌是非線性動力系統的固有特性。而線性系統又是非線性系統的特例，因此在實際中混沌現象可以說是無處不在的。

混沌科學解釋了為什么確定的系統會有不確定的結果，揭示了系統除定常狀態、周期狀態和擬周期狀態外，還有混沌狀態，它全面提升了我們對系統的重新認識。混沌理論自誕生以來，憑借豐富的物理背景和深刻的數學內涵，迅速應用于生物化學、社會科學等各個領域，并逐漸滲透到經濟金融領域?；煦缋碚撛诮洕I域的應用始于宏觀經濟。美國經濟學家Stazer(1980)發表了《一個宏觀模型中的混沌動力學系統和分岔理論》一文。在這篇文章中，首次為一個宏觀經濟模型找出混沌的條件。而在金融領域較早應用混沌理論的是我國學者陳平和威廉·巴奈特(1987)，他們在對美國貨幣指數進行研究時，發現了奇異吸引子的存在，成為金融市場存在混沌特性的有力證據。此后愈來愈多的國內外學者對金融市場中的混沌現象產生了濃厚的興趣。比較著名的有Peters的研究提供了大量的證據表明證券市場確實存在分形、混沌特征。在我國，王明進、王新宇分別對中國股市進行分析，結果均表明中國股市具有非線性特征。目前混沌理論在金融市場中的應用主要集中在檢驗和預測上?；煦鐧z驗是混沌預測的前提。只有先判斷一個金融時間序列是否為混沌時間序列時，才可以用混沌理論對其進行預測?，F有的混沌檢驗方法包括前述的R/S系列分析法、BDS檢驗、(最大)李亞普諾夫指數、關聯維數等。而混沌預測是通過建立非線性動力學模型來描述價格的動態行為，找出價格形成的機理，進而對其進行預測。混沌時間序列預測的常用方法有局部線性預測模型，全局多項式模型，神經網絡模型，自適應濾波模型，遺傳演化模型，優化預測模型以及支持向量回歸模型等。在混沌預測中，一般通過事先假設未知相點應變量與已知相點變量之間滿足某種確定的函數關系線性或非線性的，而后根據資料用數理統計理論和方法，建立起一些以相點的模為變量和應變量的預報方程。例如?？梢允孪燃僭O未知相點和已知相點之間滿足多項式關系，但并不事先確定是何種形式的多項式，而后利用一些適當的判據，根據資料從眾多可能的多項式關系中，自動篩選出某一個較為理想的函數關系來作為預報方程。由此可以看出，若能事先已知系統的動力模式，將在混沌預測中具有積極的意義。所以，近年來利用相點資料來反演出系統相空間的動力模式成為一個嶄新的課題。

四、結語

金融市場是一個復雜的非線性動力系統，分形理論和混沌理論的出現為金融市場的研究帶了新的思路。將物理學、數學等學科的方法應用于經濟金融系統已經成為未來發展的趨勢。已有研究表明通過分析金融市場的分形、混沌特性，人們發現在傳統框架下所看不到的問題，經濟物理學的產生和應用對宏觀政策、投資決策等的實施有著重大的理論價值和現實意義。