高等數學實用教學典故解析

張云霞 齊冠宏 鄒良華

[摘要] 數學是打開科學大門的金鑰匙,是科學的語言,是思維的體操,是理性的精神,是一門高超的藝術。但高等數學越來越成為現代大學生學習生涯上的障礙,為改變現狀,我們要從課堂教學入手,通過教學典故與教學內容的高效結合,提高教學效果,激發學生的學習興趣。

[關鍵詞] 高等數學 解析 教學典故

“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之變、生物之謎、日月之繁等各個方面,無處不有數學的重要貢獻。”這是我國偉大的數學家華羅庚對數學進行的形象描繪。高等數學作為高等院校學生的一門重要基礎課程,直接影響著學生許多專業課程的學習,是構成大學生智能結構的重要組成部分。但由于內容的抽象性和邏輯性,高等數學課堂氣氛總是嚴肅而沉悶,思維難以活躍,知識學習難以深入,久而久之,學生產生厭煩情緒,要扭轉這種局面,需要教師在教學方法、形式上下一番功夫。在教學過程中將知識與典故高效結合,不失為一種有效地方法。

一、關于微積分

微積分到底是誰發明的,這在世界科學史上曾經是一樁公案。歐洲大陸的學者歸功于德國的萊布尼茲(1646~1716),英倫三島的學術界授譽于牛頓。激烈的爭執甚至傷害了民族感情。最后判決:微積分是萊布尼茲和牛頓共同發明的,爭執才得到公正的解決。通過上述介紹,可以激發學生的求知欲與好奇心,在此基礎上為了滿足學生的好奇心,可以繼續介紹萊布尼茲和牛頓的簡單情況。萊布尼茲是17、18世紀之交德國最重要的數學家、物理學家和哲學家,一個舉世罕見的科學天才。他博覽群書,涉獵百科,對豐富人類的科學知識寶庫做出了不可磨滅的貢獻。由于學生對牛頓已非常熟悉,就可簡單介紹下牛頓是英國著名的物理學家、數學家和天文學家,是十七世紀最偉大的科學巨匠。

二、關于極限

極限是分析數學最基本概念之一,特別是極限思想貫穿整個微積分的始終,在講極限的時候可以舉兩個例子說明一下:(1)0.999999……=1?誰都知道1/3=0.333333……而兩邊同時乘以3就得到1=0.999999……可就是看著別扭,因為左邊是一個“有限”的數,右邊是“無限”的數。(2)“無理數”算是什么數?我們知道,形如根號2這樣的數是不可能表示為兩個整數比值的樣子的,它的每一位都只有在不停計算之后才能確定,且無窮無盡,這種沒完沒了的數,大大違背人們的思維習慣。結合上面的一些困難,人們迫切需要一種思想方法,來界定和研究這種“沒完沒了”的數,這就產生了數列極限的思想。另外,也可以講述芝諾“阿基里斯和烏龜賽跑”的故事:烏龜和阿基里斯賽跑,烏龜提前跑了一段,不妨設為100米,而阿基里斯的速度比烏龜快得多,假設他的速度為烏龜的10倍,這樣當阿基里斯跑了100米到烏龜的出發點時,烏龜向前跑了10米;當阿基里斯再追了這10米時,烏龜又向前跑了1米……如此繼續下去,因為追趕者必須首先到達被追趕者的原來位置,所以被追趕者總是在追趕者的前面,由此得出阿基里斯永遠追不上烏龜。這顯然與生活中的實際情況不相符合。古希臘人之所以被這個問題困惑了兩千多年,主要是他們將運動中的“無限過程”與“無限時間”混為一談。因為一個無限過程固然需要無限個時間段,但這無限個時間段的總和卻可以是一個“有限值”。這個問題說明了古希臘人已經發現了“無窮小量”與“很小的量”這兩概念間的矛盾。這個矛盾只有在人們掌握了極限知識之后,才能真正地了解。通過講述極限理論建立過程的故事,使學生對極限定義的產生過程有清楚的了解,同時也認識到極限理論對于微積分的重要性,從而加深了對極限概念的理解。

三、關于解析幾何與笛卡爾

文藝復興使歐洲學者繼承了古希臘的幾何學,也接受了東方傳入的代數學。科學技術的發展,使得用數學方法描述運動成為人們關心的中心問題。笛卡兒分析了幾何學與代數學的優缺點,表示要去“尋求另外一種包含這兩門科學的好處,而沒有它們的缺點的方法”。1637年,笛卡爾的《幾何學》一書提出了解析幾何學的主要思想和方法,標志著解析幾何學的誕生。此后,人類進入變量數學階段。解析幾何的出現,改變了自古希臘以來代數和幾何分離的趨向,把相互對立著的“數”與“形”統一了起來,使幾何曲線與代數方程相結合。為微積分的創立奠定了基礎,開拓了變量數學的廣闊領域。正如恩格斯所說:“數學中的轉折點是笛卡兒的變數。有了變數,運動進入了數學,有了變數,辯證法進入了數學,有了變數,微分和積分也就立刻成為必要了。”通過對解析幾何誕生的介紹,使學生對數學學科之間的結構有了更加深刻的認識。

四、關于無窮級數和傅里葉

講述無窮級數之前,先介紹蠕蟲與橡皮繩的故事:一條蠕蟲在長為1公里的橡皮繩的一端點上。蠕蟲以每秒1厘米的速度沿橡皮繩勻速向另一端爬行,而橡皮繩以每秒1公里的速度均勻伸長,如此下去,蠕蟲能否到達橡皮繩的另一端點?憑直覺,幾乎所有的學生都認為蠕蟲的爬行速度與橡皮繩拉長的速度差距太大,蠕蟲絕不能爬到另一端。此時,教師給予適當的提示:由于橡皮繩是均勻伸長的,所以蠕蟲隨著拉伸也向前位移。1公里等于100,000厘米,所以在第一秒末,爬行了整個橡皮繩的1/100000,在第二秒內,蠕蟲在2公里長的橡皮繩上爬行了它的1/200000,在第三秒內,它又爬行了3公里長的橡皮繩的1/300000……所以,在第n秒末,蠕蟲的爬行長度為1100000(1+12+13+…+1n)。當n充分大時,這個數能否大于1?也就是括號里的和式能否大于100000呢?此時學生的學習熱情已經調動起來,適機告訴學生,我們可以找到這個正整數N,使上述結果成立。也就是說蠕蟲在第N秒時已經爬到了橡皮繩的另一端點。這個結論肯定令學生出乎意料,學習熱情進一步高漲。繼續引導為什么會這樣引入正題:這是因為無窮數列是一個發散數列,它可以大于任意一個有限的數值。從而使學生迫不及待地想了解無窮級數究竟是怎么一回事?借此引出正題,定會收到顯著的效果。

五、結束語

數學是一種情感,一種力量。正是有了這種情感和力量,笛卡兒為解析幾何的創立思索了19年,哈密頓為四元數的誕生冥思苦想了15個春秋;陳景潤為“1+1”探索了30年,數學家們為微積分理論的完善奮斗了200多年,為解決費馬大定理拼搏了300多年。這種情感和力量也是學生學習數學的動力源泉。我們通過介紹數學典故,旨在使學生產生這種情感和力量。

大數學家克萊因認為:“數學是人類最高超的智力成績,也是人類心靈最獨特的創作。音樂能激發或撫慰情懷,繪畫使人賞心悅目,詩歌能動人心弦,哲學使人獲得智慧,科學可改善物質生活,但數學能給予以上的一切。”在教學過程中教師要結合具體的教學內容,有目的地講述一些有趣的數學典故,變枯燥的數學課堂為活潑生動的科學殿堂,讓學生對數學產生濃厚的興趣,刻苦鉆研數學知識,為將來學習各類科學知識打下堅實的基礎。

參考文獻:

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