電勢差與電場強度關系的三個推論

屈惠鋒

在新人教版《電勢差與電場強度的關系》一課教學中，教材中的結論是：在勻強電場中，沿場強方向的兩點間的電勢差等于場強與這兩點的距離的乘積。本文利用教材中的推理過程探討以下三個實用的結論。

推論1 在勻強電場中，不與場強方向垂直的任意一條直線上，各點間的電勢差之比等于對應各點間的線段長度之比。

證明 圖1表示一勻強電場中的一組電場線，A、B、C為不與場強垂直的一直線上的三點，設直線與電場線的夾角為θ，場強為E，把正電荷q由電場的A點依次移到B、C兩點，由做功的定義式得：

W〢B=qE〢B猚osθ，W〣C=qE〣C猚osθ；①

在電場中，電場力做功：

W〢B=qU〢B，W〣C=qU〣C；②

由①②式得：

U〢B猆〣C=〢B〣C。

如果我們總結了推論1，對于處理勻強電場中的電勢差問題和尋找等勢點問題就有據可尋，求解電勢高低、大小就方便多了。

例1 如圖2，方框內有一勻強電場，A、B、C為該電場中的三點，已知φ瑼=12V，φ瑽=6V，φ瑿=-6V，試在該方框中做出該電場線的示意圖（即畫出幾條電場線），并要求保留作圖時所用的輔助線(用虛線表示)。若將一個電子從A點移到B點，電場力做多少電子伏的功?

解析 本題依據推論1從任意兩點的連線上找到第三個點的等勢點，連接即可得到等勢線，電場線和等勢線垂直。

如圖3連接AC，

U〢C=φ瑼-φ瑿=12-（-6）V=18V；

U〢D=φ瑼-φ璂=13U〢C，φ璂=6V。

故得φ璂=φ瑽=6V，連接BD得一條等勢線，再做垂直BD的一組平行線，由沿電場線方向的電勢降低可確定場強的方向。

將電子從A移到B，電場力做功為：

W=-eU〢B=-e(12-6)V=-6eV。

例2(2008年?海南物理第6題) 勻強電場中有a、b、c三點。在以它們為頂點的三角形中，∠a=30°，∠c=90°，電場方向與三角形所在平面平行。已知a、b和c點的電勢分別為（2-3）V、（2+3）V和2V，該三角形的外接圓上最低、最高電勢分別為（ ）

A.(2-3)V、(2+3)V；

B.0V、4V；

C.(2-433)V、(2+433)V；

D.0V、3V。

解析 由推論1得，如圖5，ab的中點d電勢為2V，連接cd即得為一條等勢線，做cd的垂線ef交圓上e、f兩點，沿電場線方向電勢降落最快，即e點電勢最低，f點電勢最高，由：

E=Uヾb猂cos30°=2R，Uヾe=ER=2V；

又Uヾe=ψ璬-ψ璭得：ψ璭-Uヾe=0。

同理：ψ璮=ψ璬+Uゝd=4V；

選B。

推論2 在勻強電場中，不與場強垂直的任意兩條平行線段的端點電勢差之比等于線段長度之比。

證明同推論1，如圖6，設兩線段與場強方向的夾角為α，將q分別從A移到B，C移到D的過程中，電場力做功有：

W〢B=qE〢B猚osα，W〤D=qE〤D猚osα；①

W〢B=qU〢B，W〣C=qU〤D；②

聯立①②式得：U〢B猆〤D=〢B〤D。

理解掌握了推論2，若兩平行線長度相等即得兩線段端點的電勢差相等。則07年的全國理綜Ⅰ卷的第20題和1999年全國高考題就很快得解。

例3（2007年?全國Ⅰ） a、b、c、d是勻強電場中的四個點，它們正好是一個矩形的四個頂點。電場線與矩形所在平面平行。已知a點的電勢為20V，b點的電勢為24V，d點的電勢為4V，如圖7所示。由此可知c點電勢為（ ）。

A.4V B.8V

C.12VD.24V

解析 由推論2得：

U゛d猆゜c=゛d゜c=1，即U゛d=U゜c；

φ璦-φ璬=φ璪-φ璫；

φ璫=φ璬+φ璪-φ璦=4+24-20V=8V；

因此，選B。

例4 如圖8所示的A、B、C、D、E、F為勻強電場中一個正六邊形的六個頂點，已知A、B、C三點的電勢分別為1V、6V、9V，則D、E、F三點的電勢分別是多少？

解析 由推論2得：因為AB∥FC∥ED，且AB∶ED∶FC=1∶1∶2，

則有2U〢B=U〧C=φ璅-φ瑿，得：

φ璅=2U〢B+φ瑿=-1V；

同理：

U〣C=U〧E=φ璅-φ璄，φ璄=U〣C+φ璅=2V；

U〢B=U〦D，φ璂=（5+2）V=7V。

推論3 在勻強電場中，不與場強垂直的兩條線段端點電勢差之比等于線段沿電場線方向投影長度之比。

證明：如圖9，線段AB、CD分別與電場線相交，且AB與電場線的夾角為α，CD與電場線的夾角為β，設場強為E，將電荷q從A點移到B，從C移到D，那么：

qE〢B猚osα=qU〢B，qE〤D猚osβ=qU〤D；

則，兩式相比得：

U〢B猆〤D=〢B猚osα〤D猚osβ=〦B〤F。

結論得證。

例5 如圖10所示，是勻強電場中的一組等勢面。若A、B、C、D相鄰兩點間的距離都是2cm，則電場的場強為____V/m。到A點距離為1.5cm的P點電勢為____。

解析 由推論3可得：

E=U〣A猟=U〣A狝Bsin60°=33×103V/m；

U〢B猆㏄B=〢B猻in60°㏄B猻in60°=〢B㏄B=4；

代入數據得：

U㏄B=-10×14=-2.5V。

以上三個推論，都是受教材啟發而得到的實用結論，對解決勻強電場中的電勢差、電勢、電場力做功、電勢能高低的判斷等方面比較容易、簡捷。從近幾年的高考來看，電勢差和場強的關系仍是高考的一個熱點，如2008年海南物理第6題、2007年全國Ⅰ第20題、2007年北京理綜第22題、2007年廣東物理第3題、2004年上海第6題等，命題者在編制題目時往往會設置新情景結合幾何圖線或圖形考查，其難度屬于中等偏易，若能理解并應用教材中的推理過程，總結規律，將大大的提高我們的解題速度。

(欄目編輯鄧 磊)