關于“豎直上拋運動”的兩個證明

趙亞兵

摘要：本文從豎直上拋運動問題的兩種解決方法——整體法和分階段法出發，探討了整體法和分階段法的關系，即二者是統一的，并且前者是后者的概括和提高；豎直上拋運動的上升和下降階段具有對稱性。

關鍵詞：豎直上拋運動；整體法；分階段法

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A文章編號：1003-6148(2009)5(S)-0074-2

分階段法和整體法是解決豎直上拋運動的常用方法，運動階段的對稱性是典型的運動特征［1］ 。在教學中發現學生對整體法的認識和接受比分階段法要難，對特殊位置的對稱性容易理解，但對整個運動階段的對稱性存在質疑，為此筆者整理出關于以上問題的兩個證明。

1 整體法和分階段法二者是統一的，并且前者是后者的概括和提高 ［2］

1.1 整體法

物體以一定的初速度沿豎直方向向上拋出，在忽略空氣阻力的情況下所做的運動叫豎直上拋運動。由于整個過程所受外力（重力）恒定，故加速度恒定，物體做勻變速直線運動。選拋出點為坐標原點，豎直向上的方向為正方向，并取拋出時刻為計時起點，則a=-g(負號表示方向與設定的正方向相反，即豎直向下),基本運動規律滿足：v=v_O-gt；x=v_Ot-12gt2

其中t是從拋出物體開始計時的時間，x是物體在所建立的坐標系中的坐標，或物體對拋出點（坐標原點）的位移。以上規律對豎直上拋運動的整個過程都適用，并由此不難得出相應的特征量，即上升時間t上=v_Og，上升的最大高度h﹎ax=v_O22g，落回拋出點的速度v=-v_O。

1.2 分階段法

豎直上拋運動的物體在上升過程中，速度越來越小，加速度方向跟速度方向相反。當速度減小到零時，物體上升達到最大高度，然后物體從這個高度自由下落，速度越來越大，加速度方向跟速度方向相同。不難把整個過程分為上升和下降兩個階段來分析：

上升階段（取豎直向上方向為正方向）：

v1=v_O-gt1，x1=v_Ot1-12gt21；

下降階段（取豎直向下方向為正方向）：

v2=gt2，x2=12gt22。

其中t1是從拋出物體開始上升到最大高度前某一位置的時間，t2是從最大高度下落到某一位置的時間，x1是物體上升階段在所建立的坐標系（以拋出點為坐標原點，豎直向上的方向為正方向）中的坐標，x2是物體下降階段在所建立的坐標系（以最高點為坐標原點，豎直向下的方向為正方向）中的坐標(如圖1所示)。

1.3 整體法與分階段法二者關系的證明

統一選拋出點為坐標原點，豎直向上的方向為正方向，并取拋出時刻為計時起點，分別通過整體法和分階段法求出物體經最高點落在P點時的位移x ，如圖1所示。

整體法：x=v_Ot-12gt2

分階段法：

上升階段：到最高點時，h﹎ax=v202g，t=v_Og

下降階段：t＞v_Og,且存在t=v_Og+t2，由上圖得到，x=h﹎ax-x2=v202g-12gt22，代入t2=t-v_Og得，x=v_Ot-12gt2，與整體法的公式一致，關系得證。

這說明整體法的確是分階段法的概括和提高，并且有助于學生深入理解勻變速直線運動，增強對數學表達規律的分析能力。

2 豎直上拋運動的上升和下降階段具有對稱性

2.1 特殊位置的對稱性

結合對整個豎直上拋運動的認識，不難得出以下特征量：

（1）上升到最大高度的距離和從最大高度處落回拋出點的距離相等，即

h上=h下=h﹎ax=v202g。

（2）落回拋出點的速度v=-v_O；

（3）上升到最大高度處所用時間t上和從最大高度處落回原拋出點所用時間t下相等，即

t上=t下=v_Og；

分析了特殊位置的對稱性后，可以在前面兩種方法的基礎上證明上升和下降整個階段都存在對稱性。

2.2 上升和下降階段具有對稱性的證明

如圖2所示，在距拋出點之上相同位置x處，設上升階段通過此位置速度為v1 ，歷時T，下降階段通過此位置速度為v2,從拋出點出發經最高點通過此位置歷時T′，根據整體法規律：x=v_Ot-12at2，可以看作是關于時間t的一元二次方程，由求根公式解得T=v_O-v20-2gxg，T′=v_O+v20-2gxg，

由于x≤v202g，所以v20-2gx≥0，T、T′均存在。

根據分階段法規律：v1=v_O-gt1，v2=gt2，并且t1=T，t2=T′-v_Og，代入T、T′整理，

v1=v_O-gT=v_O-gv_O-v20-2gxg

=v20-2gx；

v2=g(T′-v_Og)=g(v_O+v20-2gxg-v_Og)

=v20-2gx；

可得，v1=v2，考慮到方向顯然有v1=-v2，因為該位置處上升和下降階段加速度始終相同，根據加速度定義式a=v_t-v_Ot，不難看出v1-v_Ot=v-v2t′(t為物體從拋出點上升到此位置所需時間，t′為從此位置降落到拋出點所用時間），因為v=-v_O，v1=-v2，所以v1-v_O=v-v2，那么就可以得到t=t′。由于位置x是拋出點之上任意位置，便可證明整個運動階段都有此關系，于是豎直上拋運動的上升和下降階段的確具有對稱性就不難解釋了。

參考文獻：

［1］龍義芳.豎直上拋運動的特征及應用［J］.中學理科.2000，(7):27.

［2］繆鐘英，羅啟慧.力學問題討論［M］.北京：人民教育出版社,2003 :98.

(欄目編輯張正嚴)