幾則“碰撞問題”的推證

于正榮

碰撞問題是高中物理的重點(diǎn)和難點(diǎn)，下面討論、澄清幾個與碰撞有關(guān)的問題。

問題1 質(zhì)量為m1的入射小球與靜止的、質(zhì)量為m2的被碰小球發(fā)生正碰，m1＞m2 是碰后入射小球不被反彈的必要條件嗎？

在高中物理學(xué)生分組實(shí)驗(yàn)《驗(yàn)證碰撞中的動量守恒》中，教材強(qiáng)調(diào)入射小球m1的質(zhì)量必須大于被碰小球m2的質(zhì)量，以至于有人認(rèn)為這就是入射小球不被反彈的必要條件。對此有必要作深入的分析。

設(shè)碰前入射小球m1的速度為v1，m2靜止，碰后入射小球和被碰小球的速度分別為v′1、v′2，由于碰撞過程動量守恒，所以有：

m1v1=m1v′1+m2v′2（1）

由于兩小球的碰撞不一定是彈性碰撞，碰撞過程可能有動能損失，只能認(rèn)為碰后系統(tǒng)的動能不大于碰前的動能，因此有：

12m1v21≥12m1v′12+12m2v′22（2）

由（1）、（2）兩式可解得：

v′1≥m1-m2m1+m2v1（3）

v′2≤2m1m1+m2v1

要使入射小球碰后不被反彈，應(yīng)滿足v′1＞0。由（3）式不難看出，如果m1＞m2，則必有v′1＞0。但值得注意的是，如果m1＜m2，雖然m1-m2m1+m2v1＜0，但由于v′1≥m1-m2m1+m2v1，v′1也有可能大于零。因此m1＞m2只是保證入射小球不被反彈的充分條件，而不是必要條件。

問題2 如圖1所示，在光滑絕緣水平的直軌道上有A、B兩個小球，它們相隔一定距離開始相向運(yùn)動，A球的速度為2v，B球的速度為v。已知A球的質(zhì)量是B球質(zhì)量的3倍，兩球都帶正電，B球所帶電量是A球所帶電量的2倍。由于庫侖斥力的作用兩球不會直接接觸。下列說法正確的是（ ）

A．A球可能一直沿原來的方向運(yùn)動，B球一定會反向運(yùn)動；

B．A、B兩球都將反向運(yùn)動，但B球先反向運(yùn)動；

C．兩球距離最近時，速度大小相等、方向相同；

D．A球和B球所受的庫侖斥力始終做負(fù)功。

C選項(xiàng)容易判斷。由于系統(tǒng)總動量方向向右，所以它們距離最近時，速度大小相等，方向向右，即B球先反向運(yùn)動。A球會不會反向運(yùn)動？A球在運(yùn)動過程中會一直受到向左的庫侖斥力作用，因此只要時間足夠長，速度總會反向。事實(shí)果真如此嗎？下面通過計(jì)算說明。

設(shè)經(jīng)過足夠長的時間，A、B兩球速度分別變?yōu)関′1、v′2。由于系統(tǒng)動量守恒，所以有：

3m?2v-mv=3mv′1+mv′2（4）

兩球從開始到距離最近時，B球已反向運(yùn)動，以后兩球距離將越來越大，因此對整個過程而言，系統(tǒng)電勢能將轉(zhuǎn)化為動能。設(shè)電勢能減少量為ΔE璸，因此有：12?3m(2v)2+12mv2+ΔE璸=12?3mv′21+12mv′22（5）

由（4）、（5）兩式可解得：

v′1=54v±(34v)2+ΔE璸6m（6）

由于斥力的存在，v′1不可能大于2v，所以（6）式只能取v′1=54v-(34v)2+ΔE璸6m。要使A球一直沿原來的方向運(yùn)動，則應(yīng)滿足：

v′1＞0（7）

由（6）、（7）兩式可解得這種情況下電勢能的減小量必須滿足：ΔE璸≤6mv2（8）

設(shè)兩球最初距離為r，則系統(tǒng)最初的電勢能為E璸=kq1q2r。因兩球無窮遠(yuǎn)時電勢能為零，所以電勢能的減小量ΔE璸≤kq1q2r。由于兩球電量、起始距離的具體數(shù)值未知，所以ΔE璸可能大于6mv2也可能小于6mv2，（8）式有可能滿足，即A球可能一直向右運(yùn)動。答案AC正確。

從運(yùn)動的角度看，盡管A球一直受到向左的斥力（阻力）作用，但由于兩球距離越來越大，斥力越來越小，當(dāng)距離足夠大時，斥力幾乎為零，A球速度幾乎不再減小了。其運(yùn)動的速度圖像如圖2所示。

問題3 靜止的氫原子處于第一激發(fā)態(tài)（n=2），現(xiàn)在用具有一定動能的實(shí)物粒子轟擊該氫原子，使該氫原子從第一激發(fā)態(tài)躍遷到第二激發(fā)態(tài)（n=3）。已知第一激發(fā)態(tài)的能級E2=-3.4eV，第二激發(fā)態(tài)的能級E3=-1.51eV。則下列可能實(shí)現(xiàn)的是（ ）

A．采用電子轟擊氫原子，電子的動能等于1.89eV；

B．采用電子轟擊氫原子，電子的動能等于3.80eV；

C．采用質(zhì)子轟擊氫原子，質(zhì)子的動能等于1.89eV；

D．采用質(zhì)子轟擊氫原子，質(zhì)子的動能等于3.80eV。

第一、二激發(fā)態(tài)的能級差為1.89eV，通常認(rèn)為只要實(shí)物粒子的能量大于等于1.89eV即可使氫原子發(fā)生躍遷，選項(xiàng)中的A、B、C、D似乎都正確。其實(shí)問題并不這么簡單，原因是實(shí)物粒子使氫原子躍遷與光子使氫原子躍遷的情形并不完全相同。光子與氫原子作用時，可將自身全部能量給氫原子；實(shí)物粒子與氫原子發(fā)生作用（碰撞）時，只會將其自身動能的一部分給氫原子。下面討論要使氫原子發(fā)生躍遷，實(shí)物粒子的初動能應(yīng)具備什么條件。

設(shè)實(shí)物粒子和氫原子的質(zhì)量分別為m1、m2，氫原子起初靜止，實(shí)物粒子以速度v1與氫原子發(fā)生正碰，碰后速度分別變?yōu)関′1、v′2。由于動量守恒，所以有：m1v1=m1v′1+m2v′2（9）

碰撞前后系統(tǒng)損失的動能被氫原子獲得，使其發(fā)生躍遷，設(shè)這部分能量為ΔE，所以有：

12m1v21=12m1v′21+12m2v′22+ΔE（10）

由（9）式變形得到v′2=m1(v1-v′1)m2，將其代入（10）式，化簡并整理可得到關(guān)于v′1的一元二次方程為：m1(m1+m2)v′21-2m21v1v′1+2m2ΔE-m1(m2-m1)v21=0（11）

為使（11）式有實(shí)數(shù)解，方程根的判別式必須滿足Δ≥0，即：4m41v21-4m1(m1+m2)［2m2ΔE-m1(m2-m1)v21］≥0，化簡可得實(shí)物粒子的初動能應(yīng)滿足：

12m1v21≥(1+m1m2)ΔE（12）

如果是電子與氫原子碰撞，由于電子質(zhì)量m1頼2，根據(jù)（12）式可得12m1v21≥ΔE，即電子的動能只要大于等于氫原子的能級差，就可以使氫原子發(fā)生躍遷，所以選項(xiàng)A、B正確。

如果是質(zhì)子與氫原子碰撞，此時質(zhì)子質(zhì)量m1≈m2，根據(jù)（12）式可得12m1v21≥2ΔE，即質(zhì)子的動能必須要大于等于氫原子的能級差的2倍，才能使氫原子發(fā)生躍遷，所以選項(xiàng)C錯誤，正確答案為A、B、D。

問題4 為什么完全非彈性碰撞系統(tǒng)動能的損失最大？

先對碰撞過程作定性分析。設(shè)A、B兩球在光滑的水平面上分別以速度v1、v2同向運(yùn)動，由于v1＞v2，將發(fā)生追碰（正碰）。從接觸開始，兩球由于相互擠壓而發(fā)生形變，它們之間因此產(chǎn)生相互排斥的彈力，所以A球減速運(yùn)動，B球加速運(yùn)動。容易推斷，當(dāng)兩球速度相等時距離最近，兩球擠壓形變的程度也最嚴(yán)重，由于形變而儲存的彈性勢能也最大。如果這個形變完全不能恢復(fù)，即發(fā)生了完全非彈性碰撞，顯然這時系統(tǒng)動能的損失最大。另外，如果兩物體發(fā)生的是迎面碰撞，碰撞的細(xì)節(jié)過程與前述類似，結(jié)論一致。

再對碰撞過程作定量分析。設(shè)兩物體的質(zhì)量分別為m1、m2，碰撞前、后的速度分別為v1、v′1 ，v2、v′2 。由于碰撞過程系統(tǒng)動量守恒，有：

m1v1+m2v2=m1v′1+m2v′2（13）

另外，由于碰撞的恢復(fù)系數(shù)

e=v′2-v′1v1-v2（14）

由（13）、（14）兩式可解得：

v′1=m1-em2m1+m2v1+(1+e)m2m1+m2v2（15）

v′2=(1+e)m1m1+m2v1+m2-em1m1+m2v2（16）

所以系統(tǒng)動能的損失為：

ΔE璳=(12m1v21+12m2v22)-(12m1v′21+12m2v′22)

=(1-e2)m1m2(v1-v2)22(m1+m2)（17）

由（17）式可以看出：當(dāng)e=0時系統(tǒng)動能損失最大。而恢復(fù)系數(shù)e=0時，由（14）式可得到v′1=v′2，這正是完全非彈性碰撞。

另外，從（17）式還可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)e=1時，ΔE璳=0，此碰撞為彈性碰撞。另外，由（14）式可得到v′2-v′1=v1-v2 ，這正是我們熟悉的另一個結(jié)論：彈性碰撞，分離速度差等于接近速度差。

(欄目編輯羅琬華)