“傳送帶類問題”的歸納和解析

王占國　孫偉玉

筆者在高三第一輪復習的過程中發現“傳送帶類問題”的規律性非常強，用到的知識點特別多，若對其進行歸納，在解題中就能用到很多的解題技巧。下面是筆者在課堂教學中歸納的“傳送帶類問題”，供廣大讀者賞析。

1 命題趨向與考綱分析

“傳送帶類問題”是以真實物理現象為依據的問題，它既能訓練學生的科學思維，又能聯系科學、生產和生活實際，因而這種類型題具有生命力，當然也是高考命題專家所關注的問題。由于“傳送帶類問題”在高考考綱范圍內屬于涉及力、運動、能量等比較綜合的一種常見的模型，所以是歷年來高考試題考查的熱點（如2003年全國理綜34題，2005年江蘇理綜35題，2006年全國理綜卷I的24題等）。學生對這類問題做答的得分率低。

2 知識概要與方法歸納

“傳送帶類問題”分水平、傾斜兩種；按轉向分順時針、逆時針轉兩種。

2.1 受力和運動分析

受力分析中的摩擦力突變（大小、方向）——發生在v物與v帶相同的時刻； 運動分析中的速度變化——相對運動方向和對地速度變化。

分析關鍵是：（1）v物、v帶的大小與方向；(2)mgsinθ與f摩的大小與方向。

2.2 傳送帶問題中的功能分析

（1）功能關系：W璅=ΔE璌+ΔE璓+Q

（2）對W璅、Q的正確理解

j傳送帶所做的功：W璅=F?S帶 ，功率P=F?v帶（F由傳送帶受力平衡求得）。

k產生的內能：Q=f摩?S┫嘍元

l如物體無初速，放在水平傳送帶上，則在整個加速過程中物體獲得的動能E璌，因為摩擦而產生的熱量Q有如下規律：

E璌=Q=12mv2帶

3 典型例題與規律總結

3.1 水平放置運行的傳送帶

處理水平放置的傳送帶問題，首先應對放在傳送帶上的物體進行受力分析，分清物體所受摩擦力是阻力還是動力；然后對物體進行運動狀態分析，即對靜態→動態→終態進行分析和判斷，對其全過程作出合理分析、推論，進而采用有關物理規律求解。這類問題可分為：①運動學型；②動力學型；③動量守恒型；④圖象型。

例1 質量為m的物體從離傳送帶高為H

z處沿光滑圓弧軌道下滑,水平進入長為L的靜止的傳送帶，之后落在水平地面的Q點,已知物體與傳送帶間的動摩擦因數為μ,則當傳送帶轉動時,物體仍以上述方式滑下,將落在Q點的左邊還是右邊?

解析 物體從P點落下,設水平進入傳送帶的速度為v_O,則由機械能守恒定律得

mgH=12mv20

（1）當傳送帶靜止時,分析物體在傳送帶上的受力，可知物體做勻減速運動,a=μmg/m=μg。物體離開傳送帶時的速度為v_t=v20-2μgL，隨后做平拋運動而落在Q點。

（2）當傳送帶逆時針方向轉動時,物體的受力情況與傳送帶靜止時相同,因而物體離開傳送帶時的速度仍為v_t＝v20-2μgL，隨后做平拋運動而仍落在Q點。 (當v_O2＜2μgL時,物體將不能滑出傳送帶而被傳送帶送回,顯然不符合題意,舍去。)

（3）當傳送帶順時針轉動時,可能出現五種情況：

a、當傳送帶的速度v帶較大時,

v帶≥v20+2μgL，

則分析物體在傳送帶上的受力可知,物體一直做勻加速運動,離開傳送帶時的速度為

v＝v20+2μgL＞v_t＝v20-2μgL，

因而將落在Q點的右邊。

b、當傳送帶的速度v帶較小時，

v帶＜v20-2μgL,

則分析物體在傳送帶上的受力可知,物體一直做勻減速運動,離開傳送帶時的速度為

v_t＝v20-2μgL，

因而仍將落在Q點。

c、當傳送帶的速度

2gH＜v帶＜v20+2μgL，則分析物體在傳送帶上的受力可知,物體將在傳送帶上先做勻加速運動,后做勻速運動,離開傳送帶時的速度v_t＞v20-2μgL，因而將落在Q點右邊 。

d、當傳送帶的速度

2gH＞v帶＞v20-2μgL時, 則分析物體在傳送帶上的受力可知,物體將在傳送帶上先做勻減運動,后做勻速運動,離開傳送帶時的速度v_t＞v20-2μgL，因而將落在Q點右邊。

e、當傳送帶的速度v帶＝2gH時，則物體在傳送帶上不受摩擦力的作用而做勻速運動,故將落在Q點的右邊。

綜上所述：當傳送帶的速度v帶≤v20-2μgL時,物體仍將落在Q點; 當傳送帶的速度v帶≥v20-2μgL時,物體將落在Q點的右邊。

3.2 傾斜放置運行的傳送帶

這種傳送帶是指兩皮帶輪等大，軸心共面但不在同一水平線上（不等高），傳送帶將物體在斜面上傳送的裝置。處理這類問題，同樣是先對物體進行受力分析，再判斷摩擦力的方向是解題關鍵，正確理解題意和挖掘題中隱含條件是解決這類問題的突破口。這類問題通常分為：運動學型；動力學型；能量守恒型。

例2 如圖2所示，傳送帶與水平面夾角為37° ，并以v=10m/s運行，在傳送帶的A端輕輕放一個小物體，物體與傳送帶之間的動摩擦因數μ=0.5， AB長16米，求以下兩種情況下物體從A到B所用的時間。（1）傳送帶順時針方向轉動；（2）傳送帶逆時針方向轉動。

解析 （1）傳送帶順時針方向轉動時受力如圖示：mgsinθ-μmgcosθ=ma

a=gsinθ-μgcosθ=2m/s2

s=12at2

t=2sa=2×162=4s。

（2）傳送帶逆時針方向轉動，物體受力如圖：

開始摩擦力方向向下,向下勻加速運動

a=gsin37°+μgcos37°=10m/s2

t1=v/a=1s

s1=12×at2=5m

s2=11m

1秒后，速度達到10m/s，摩擦力方向變為向上。物體以初速度v=10m/s向下做勻加速運動

a2=gsin37°-μgcos37°=2m/s2

s2= vt2+12×a2t22

11=10t2+12×2×t22

t2=1s

因此t=t1+t2=2s

例3（1998上海高考） 某商場安裝了一臺傾角為θ＝30°的自動扶梯，該扶梯在電壓為U＝380V的電動機帶動下以v＝0.4m/s的恒定速率向斜上方移動，電動機的最大輸出功率P=4.9kW。不載人時測得電動機中的電流為I=5A，若載人時扶梯的移動速率和不載人時相同，則這臺自動扶梯可同時乘載的最多人數為多少？（設人的平均質量m=60kg，g=10m/s2）

解析 這臺自動扶梯可同時載最多人數的前提條件是電梯仍能以v=0.4m/s的恒定速率運動。

按題意，電動機是以最大輸出功率工作，且電動機做功有兩方面作用：一是電梯不載人時自動上升；二是對人做功。由能量轉化守恒應有：P總＝P人＋P梯，

設乘載人數最多為n，則有

P總＝IU＋nmgsinθ?v，

代入得n＝25人

3.3 平斜交接放置運行的傳送帶

這類題一般可分為兩種：一是傳送帶上僅有一個物體運動，二是傳送帶上有多個物體運動。解題思路與前面兩種相仿，都是從力的觀點和能量轉化守恒角度去思考，挖掘題中隱含的條件和關鍵語句，從而找到解題突破口。

例4(2003全國) 圖5為一傳送帶裝置示意圖,其中傳送帶經過AB區域時是水平的,經過BC區域時變為圓弧形(圓弧由光滑模板形成,未畫出),經過CD區域時是傾斜的,AB和CD都與BC相切.現將大量的質量均為m的小貨箱一個一個在A處放到傳送帶上,放置時初速度為零,經傳送帶運送到D處,D和A的高度差為h。穩定工作時傳送帶速度不變,CD段上各箱等距排列,相鄰兩箱的距離為L。每個箱子在A處投放后,在到達B之前已經相對于傳送帶靜止,且以后也不再滑動(忽略經BC段的微小滑動)。已知在一段相當長的時間T內,共運送小貨箱的數目為N。這裝置由電動機帶動,傳送帶與輪子間無相對滑動,不計摩擦。求電動機的平均功率P。

解析 以地面為參考系（下同），設傳送帶的運動速度為v_O，在水平段運輸的過程中，小貨箱先在滑動摩擦力作用下做勻加速運動，設這段路程為s，所用時間為t，加速度為a，則對小箱有

s=12at2(1)

v_O=at(2)

在這段時間內，傳送帶運動的路程為

s0=v_Ot(3)

由以上可得s0=2s(4)

用f表示小箱與傳送帶之間的滑動摩擦力，則傳送帶對小箱做功為

A=fs=12mv_O2(5)

傳送帶克服小箱對它的摩擦力做功

A0=fs0=2×12mv_O2(6)

兩者之差就是克服摩擦力做功發出的熱量

Q=12mv_O2(7)

可見，在小箱加速運動過程中，小箱獲得的動能與熱量相等。

T時間內，電動機輸出的功為

W=T(8)

此功用于增加小箱的動能、勢能以及克服摩擦力發熱，即

W=12Nmv_O2+Nmgh+NQ(9)

已知相鄰兩小箱的距離為L，所以

v_OT=NL(10)

聯立(7)(8)(9)(10),得

=NmT(N2L2T2+gh)

綜上所述，傳送帶問題包含力、運動、能量等知識點，而且其中的摩擦力的方向、大小可能要發生變化，但只要掌握了上述三種基本類型，傳送帶問題就可迎刃而解，以上就是筆者對傳送帶題型的幾點總結。當然,“傳送帶類問題”題型還不止這些。但不管怎樣,只要我們了解其物理情景,物理模型,會進行受力分析,再靈活配合牛頓第二定律和能量知識就一定能正確解答。

(欄目編輯陳 潔)