談球面介質對光線的折射規律

王金聚

1 原競賽題及其解答

2008年9月舉行的第25屆全國中學生物理競賽預賽卷的第19題是：

例1 如圖1所示，一細長的圓柱形均勻玻璃棒，其一個端面是平面(垂直于軸線)，另一個端面是球面，球心位于軸線上?，F有一很細的光束沿平行于軸線方向且很靠近軸線入射。當光從平端面射入棒內時，光線從另一端面射出后與軸線的交點到球面的距離為a；當光線從球形端面射入棒內時，光線在棒內與軸線的交點到球面的距離為b，試近似地求出玻璃的折射率n。

原解答如下：

入射光的兩條光線如圖2所示。

α1、β1是從平面端入射的光線通過球形端面時的入射角和折射角；α2、β2是從球形端面入射的光線通過時的入射角和折射角。

根據折射定律有nsinα1=sinβ1(1)

sinα2=nsinβ2(2)

由幾何關系有β1=α1+δ1(3)

α2=β2+δ2(4)

設球面的半徑為R，注意到α1、α2、β1、β2都是小角度，故有

Rα1=aδ1(5)

Rα2=bδ2(6)

根據題目條件，(1)、(2)式可以近似表示成nα1=β1(7)

α2=nβ2(8)

由(3)～(8)式得

n=b／a

感想 此種解法用到的式子較多，且進行了較多的近似處理，學生不容易想到。另外，該解法中沒有體現出球面介質對光線折射的普遍規律，讓人覺得“意猶未盡”、沒能實現“從特殊到一般”的思維飛躍。

2 球面介質折射的普遍規律

如圖3所示，左、右兩種介質的分界面是半徑為R的球面，球心在O點。

設位于主光軸上有一點光源S，它射出一束近軸光線SP，如圖中所示，經球面折射后交于主軸上的S′點，S′即為點光源S的像，SC為物距u，S′C為象距v。設光源一側介質的折射率為n1，像S′一側介質的折射率為n2，入射光線SP的入射角為i，折射角為r，OC為球面半徑R，

∠PSO=α，∠PS′O=β，

由折射定律可知

sinisinr=n2n1(9)

在ΔPSO中，由正弦定理得

Rsinα=u+Rsin(π-i)=u+Rsini(10)

在ΔPS′O中，由正弦定理得

Rsinβ=v-Rsinr(11)

由（10）÷（11）得

sinβsinα=u+Rv-R?sinrsini(12)

在ΔPSS′中，由正弦定理得

PSsinβ=PS′sinα

因為SP、PS′是近軸光線，故α、β很小，所以有PS≈u，PS′≈v，所以

usinβ=vsinα，即

sinβsinα=uv(13)

將（9）、（13）式代入（12）得

uv=u+Rv-R?n1n2

整理可得

n1u+n2v=n2-n1R

這就是球面折射的成像公式。

我們還可以用同樣的方法推導出如圖4所示的情況，即球心在光源一側的情況下，球面的成像公式為

n1u+n2v=n2-n1R

需要說明的是，這時(球心在光源一側時)的球面半徑R應取負值代入計算。

根據這一公式，原競賽題的簡捷解法如下：

解：由球面折射的成像公式

n1u+n2v=n2-n1R

根據題意，當光從平端面射入棒內時，有

n∞+1a=1-n-R(14)

光線從球形端面射入棒內時，有

1∞+nb=n-1R(15)

由以上(14)、(15)兩式可得

n=ba

例2 如圖5所示，一凸薄透鏡的表面是兩個完全相同的球面，球面的曲率半徑均為r，透鏡材料的折射率為n，當物體放在透鏡的左側時，研究由透鏡右表面反射所形成的實像。不考慮多次反射，試問當物體放在何處時，可使反射像與物位于同一豎直平面內。

解析 根據題意，由物點發出的光線經透鏡左表面折射后，再經透鏡右表面反射折回，又經左表面折射而出，最后形成實像。利用球面折射成像公式和球面反射成像公式，結合物與像共面的要求，就可求解。

如圖6所示，物點S發出的光經透鏡左表面折射后成像于S′：

設物距為u，象距為v，根據球面折射成像公式：

n1u+n2v=n2-n1R

這里空氣的折射率為n1=1，透鏡材料的折射率n2=n，因入射光由頂點射向球心方向，所以R取正值，代入公式有

1u+nv=n-1r(16)

這是第一次成像。

對凸透鏡的右表面來說，前次像點S′是它的物點，由于是虛物，所以其物距u1=-v，經透鏡右表面反射后成像于S′1，設像距為v1，如圖7所示：由球面反射成像公式

1u1+1v1=1f=2r

將前面的數據代入得

1-v+1v1=2r(17)

這是第二次成像。

由透鏡右表面反射所成的像點S′1又作為透鏡左表面折射成像的物點S2，因為是虛物，所以其物距u2=-v1，如圖8所示：

由球面折射成像的公式

n1u+n2v=n2-n1R

這時入射光一側折射率n1=n，折射光一側折射率n2=1，入射光由球心射向頂點，故R取負值，所以有

n-v1+1v2=1-n-r(18)

這是第三次成像，由（16）、（17）可解得

1u+nv1=3n-1r(19)

把（18）（19）式相加可得

1u+1v2=4n-2r(20)

為使物點S和像點S′2在同一豎直面內，這就要求將該關系代入（20）式可解得物距為

u=r2n-1

(欄目編輯陳 潔)