淺談新課標下數學開放性問題的教學

林瑞山

一、開放性問題的定義

開放性問題是相對傳統封閉問題而言的。數學中的封閉性問題一般指傳統教學中條件完備、結論確定的數學問題。而所謂開放性問題是指就問題本身而言，或者條件是不完全確定的，或結論是多樣的，甚至沒有標準答案，也沒有現成的解題模式可用，需要在解的過程中不斷完善或增添創設，其結論也是豐富多彩的、非單調的，其解題途徑、思路因人而異、靈活多樣。比如下面的幾個題目：①計算24×75。②邊長為12的正方形可以分為幾個邊長為3的正方形?③1800是哪兩個數的乘積?④邊長為12的正方形可以分為幾個邊長為整數的正方形?這里前面兩道題都是封閉題，后面兩道題且是開放題。

二、開放性問題的特征和分類

開放性問題最突出的特征是：①內容、形式的新穎性；②問題解決的發散性；③教育功能的創新性。開放題的類型大約可分為5類：第一類，條件開放型，即問題的條件不完備或滿足結論的條件不是唯一。例如：媽媽買了相同價格的糖，付了40元錢，售貨員找給她4元，你知道她買了幾盒糖嗎?這題中每盒糖的單價沒有給出，所以答案是多樣的。第二類，結論開放型，即在給定條件下，結論不是唯一的。例如：有一個棱長為55厘米的正方體，將它沿某些棱剪開，有幾種展開圖?第三類，策略開放型，即思維策略與解題方法不是唯一的。例如：圍著火塘一圈一次可以烤10個紅薯，烤熟一面要5分鐘，烤兩面才完全烤熟。現要精選15個紅薯需要多長時間烤熟?第四類，綜合型，即條件、結論策略中至少有兩項是開放的。例如：一個長方形剪去一個角，剩下部分還有幾個角?第五類，設計(實踐)型，需要用數學進行計劃性的預測和規劃。例如：暑假到了，小明與兩個同學相約，到附近旅游城市(廣州、深圳)去3日游，得到了父母的同意，并答應給他們800元錢。父母規定旅游時間不得超過3天、回家的時間不超過晚上10點，再給出兩城市際交通的火車、汽車時間表，票價和旅游點的門票，要求學生幫小明設計一個旅游計劃，鼓勵學生進一步查尋其他資源。

三、開放性問題的教育價值

開放性問題有許多獨到的教育價值。首先，它幾乎使每一個學生都有解決問題的機會，能通過嘗試解決問題去獲得一些知識或方法，從而使得“數學教育面向全體學生”這一新教育觀念具備了一定的可操作性。其次，它可以引發課堂內的數學交流，使得數學課堂成為真正學生從事數學活動的場所。通過學生之間、師生之間的交流，大大加深對知識的理解。第三，開放性問題有利于因材施教。學生之間的數學知識和能力差異是客觀存在的，為了在課堂上盡可能地照顧這種差異，已經有過許多的數學教學實驗研究，如采用分層設計練習題的方法，即根據學生的數學知識和能力，設計概念題、基礎題、提高題、綜合題等等，這樣做，教師的工作量大，實際上也難以做到。而開放題由于答案不是唯一的，解答時，有些答案可能容易得到，有些答案卻難找到，有些解題者可能是盲目地瞎湊，找到一個算一個，而有些解題者則試圖尋找規律，有序地考慮問題，盡可能避免答案的重復和遺漏如此等等，正是開放性題目的這種多層次性，能適應多層次的學生，為因材施教提供了很好的材料。開放性題目還可以促進學生智力因素與非智力因素的發展。因為要想順利地解出開放性問題，必須對問題進行全方位、多角度的觀察、分析，充分揭示問題的本質特征，既要注意力集中，又要記憶力強，想象力豐富，思維敏銳；有些開放性題目要長時間鉆研，需要意志力和毅力，從而促進非智力因素的發展。

數學開放性問題教學的核心是培養學生的創造意識和創新能力。激發學生獨立思考和創新的意識，這是一種新教育理念的具體體現。選擇數學開放性問題作為一切口，可以促進數學教學的開放化和個性化，從發現問題和解決問題中培養學生的創新精神和實踐能力。

四、開放性問題的教學策略

1。開放性問題的教學要選擇好的數學問題

開放性問題的構建主要從兩個方面進行：其一，是問題本身的開放而獲得新問題。其二，是問題解法的開放而獲得新思路。好問題的特征包括問題的條件、結論、所描述的對象給解題者提供廣闊的思維空間，使他們有機會經歷有意義的數學活動，如觀察、猜測、檢驗、修正、證明、推廣等，而且在活動中需要使用基本的、重要的數學知識、數學方法，好問題最好能表現出層次性，使不同的學生都能思考并有所得。為了開發好的開放性問題，可充分利用現有的學習素材，通過自我思考，與同事或學生合作來進行。例如：教學二元一次方程時，可設計題目：“一個二元一次方程的解是x=4且y=5，試寫出一個符合要求的二元一次方程。”又如教學旋轉對稱時，可設計題目：“用多個相同的三角形，設計一個旋轉角度為60度的旋轉對稱圖形”。

開放題的教學，也可以從教材上選取相關的習題加以擴展，成為實際生活中的開放題，作專題討論。初一下學期有這樣的一道例題：在甲處勞動的有27人，乙處勞動的有19人，現在另調動20人來支援甲處和乙處，使甲處的人數是乙處人數的2倍，應往甲、乙兩處各調多少人?改編為“開放”例題：在甲處勞動的有26人，乙處勞動的有1 9人，現在另有9人在樹下休息，你將如何調配，才使甲處的人數是乙處人數的2倍。此時，學生如身臨其境的管理者與決策者，都在積極地想辦法，他們提出如下的方案：

①19-(26÷2)=6，乙處調走6人到樹下，樹下的人還是休息。

②26+19+9=54，54÷3=18，乙處調1人到樹下，再將樹下的10人調去甲處。

③26+19=45，45÷3=18，乙處調1人去甲處。樹下的人還是休息。學生習慣于用算術方法考慮問題，能解決問題當然值得贊賞。但教師要引導學生用代數方法來解決，如上述方案③中：如何列方程呢?設乙處調x人去甲處，師生共同分析出：26+x=2(19-x)。進而教師提出一種新的方案(如學生能提出來更好!)

④能否將樹下的9人“兵分兩路”，一部分人到甲處，另一部分到乙處呢?

解答如下：設從樹下調z人到甲處，那么調往的人數9-x，依題意得：26+x=2[19+(9-x)]，解得z=10，于是發現9-z=-1。發現此方程行不通(這也是提醒學生檢驗的必要性。)

教師趁機提出問題：須調來多少人支援，可使上述方案行得通呢?(即：把9改為別的數字試試來)鼓勵學生多嘗試和調試，體驗由失敗到成功的樂趣。他們提出把9改為12、15、30等等都行。教師亦可作分層教學的嘗試，讓一部分學有余力的學生引入字母a表示樹下的人數，探索必須滿足的條件，由方程28+z=2[19+(4-z)]，得x=4+2a／3。現在給a取值就減少了盲目性，要為3的倍數。更優秀的學生甚至能得出：a還須不小于12。

2，開放性問題的教學要有效地組織學生進行交流

《課程標準》指出：數學教學，必須通過學生主動的活動，包括觀察、描述、操作、猜想、推理、交流和應用等等，讓學生親眼目睹數學過程，身臨其境如何“做數學”。學生是數學學習的主人，教師是數學學習的組織者、引導者和合作者。在教學中充分讓學生經歷自主做數學的過程，只有通過學生之間，師生之間的交流，通過各種活動，各種觀點之間的交鋒、思考、交流，才能有目的有意義地建構屬于他們自己的知識結構，獲得富有成效的學習體驗生活。動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的主要方式。因此開放性題目的教學中，教師應大膽地把時間留給學生，放手讓學生討論。放過之后，也不能忽視收的作用，收就是要在教師的引導下集中學生的智慧，起到相互作用、相互補充、相互提高的作用。如：學校要圍一個面積為210平方米的長方形花圃(長、寬都是整數)，請你設計一種方案。教學這一題時，先放手讓學生找答案，再由教師、學生一起觀察每一種答案與210的關系，發現一般規律。這樣的“一放”與“一收”，既重視發揮學生的主動性，又不失教師的主導性。

因此，在開放性問題的教學中，教師必須充分發揮創造性，依據學生的年齡特點、認識特點，設計開放性問題，給學生提供自主探索的機會。讓學生有觀察、描述、操作、猜想、實驗、推理、分析、歸納、交流和應用的過程，理解一個題目是怎樣提出來的，一個概念是如何形成的，一個結論是如何探索出來的，以及這結論是如何被應用的。通過這樣，從而使學生的創新精神得到培養和落實。