對(duì)“解決問題”中數(shù)量關(guān)系教學(xué)的再思考

張苾菁

[內(nèi)容摘要]本文從當(dāng)前“解決問題”教學(xué)過程中教師們熱議的話題著手，理性地分析了傳統(tǒng)應(yīng)用題中數(shù)量關(guān)系教學(xué)的優(yōu)勢(shì)與不足，結(jié)合當(dāng)前新課改對(duì)解決問題教學(xué)的價(jià)值取向，對(duì)解決問題教學(xué)過程中數(shù)量關(guān)系的剖析、數(shù)量關(guān)系的提煉與概括以及分析數(shù)量關(guān)系的基本方法這三個(gè)環(huán)節(jié)結(jié)合自己的實(shí)踐談了自己的觀點(diǎn)和思考。

[關(guān)鍵詞]解決問題數(shù)量關(guān)系數(shù)學(xué)教學(xué)

從最近對(duì)不少一線教師的訪談中筆者發(fā)現(xiàn)，對(duì)于傳統(tǒng)“應(yīng)用題”教學(xué)與新課程“解決問題”教學(xué)兩者關(guān)系的認(rèn)識(shí)不清是他們深感困惑的問題。一方面，從過去我們熟悉的以培養(yǎng)學(xué)生解題能力為目的的“應(yīng)用題”教學(xué)到新課程以發(fā)展學(xué)生綜合數(shù)學(xué)能力為核心的“解決問題”的教學(xué)，許多教師面對(duì)教學(xué)目標(biāo)、內(nèi)容體系、編排呈現(xiàn)方式的巨大變化而感到無所適從；另一方面，由于沒有準(zhǔn)確把握教材的編排體系，不少教師在“解決問題”的教學(xué)中缺乏全局意識(shí)，導(dǎo)致了教學(xué)的“脫節(jié)”、學(xué)生解題能力的下降。而作為曾經(jīng)是“應(yīng)用題”教學(xué)核心的“數(shù)量關(guān)系”教學(xué)，自課改開始就備受關(guān)注，“解決問題要不要突出‘?dāng)?shù)量關(guān)系?”“在解決問題教學(xué)中如何看待數(shù)量關(guān)系的作用?”“傳統(tǒng)數(shù)量關(guān)系教學(xué)的優(yōu)勢(shì)如何在當(dāng)前的教學(xué)中發(fā)揮其應(yīng)有的功能?”筆者就這些問題，進(jìn)行了以下思考：

一、對(duì)數(shù)量關(guān)系的剖析——數(shù)學(xué)化的必由之路

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)：數(shù)學(xué)教學(xué)要“從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程”。這個(gè)過程就是數(shù)學(xué)化的過程，而讓學(xué)生具有數(shù)學(xué)化的能力便是“解決問題”教學(xué)所要達(dá)成的目標(biāo)之一。

1重視解決問題過程中的兩次轉(zhuǎn)化。

《小學(xué)數(shù)學(xué)教育》(2009.3)刊登了北京師范大學(xué)周玉仁教授關(guān)于“解決問題”教學(xué)若干問題的思考，其中第一個(gè)觀點(diǎn)就足以讓我們靜下心來認(rèn)真審視當(dāng)前的教學(xué)。文中指出，小學(xué)生在解決問題的過程中，實(shí)質(zhì)上是完成了兩次認(rèn)識(shí)上的轉(zhuǎn)化，第一個(gè)轉(zhuǎn)化是指從紛亂的實(shí)際問題中收集、觀察、比較、篩選出有用的信息從而抽象出數(shù)學(xué)問題；第二個(gè)轉(zhuǎn)化是根據(jù)已經(jīng)抽象出的數(shù)學(xué)問題，全面分析其中的數(shù)量關(guān)系，從而探索出解決問題的方法，進(jìn)而在實(shí)踐中進(jìn)行檢驗(yàn)和運(yùn)用。這兩個(gè)轉(zhuǎn)化是相輔相成、缺一不可的。傳統(tǒng)應(yīng)用題教學(xué)的一大弊端就是過于重視第二次轉(zhuǎn)化而忽視了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的過程；而課改后的教學(xué)又將關(guān)注的重心過多地放在對(duì)信息的收集、整理上，對(duì)數(shù)量關(guān)系的形成與分析顯得比較單薄，導(dǎo)致教學(xué)從“生活情境”直接走向“應(yīng)用”，忽視了“數(shù)量關(guān)系形成”這個(gè)重要的數(shù)學(xué)建模的過程。這樣的教學(xué)，勢(shì)必會(huì)削弱學(xué)生解決問題時(shí)的思考過程，縮小學(xué)生的數(shù)學(xué)理解的空間，這與新課程要求“解決問題”教學(xué)所要達(dá)到的目標(biāo)相去甚遠(yuǎn)。因此，作為一線的教師，我們應(yīng)該清晰地看到，新課程中對(duì)解決問題的教學(xué)改革，數(shù)量關(guān)系的教學(xué)仍是重要環(huán)節(jié)，它承載著學(xué)生的認(rèn)知“由表及里”、“由淺入深”的質(zhì)的飛躍。

2重視數(shù)量關(guān)系形成過程和運(yùn)用過程的有機(jī)統(tǒng)一。

在以往的數(shù)量關(guān)系教學(xué)中，由于教師過于重視學(xué)生對(duì)運(yùn)用數(shù)量關(guān)系解決問題的牢固掌握，就把課堂教學(xué)的大部分時(shí)間讓學(xué)生進(jìn)行辨認(rèn)題型以及解決問題的操練，以使學(xué)生在短期內(nèi)形成熟練的解題技巧。但是，現(xiàn)實(shí)生活中，不可能出現(xiàn)問題情境正好與應(yīng)用題體系的某個(gè)題型完全匹配的現(xiàn)象，也正是基于現(xiàn)實(shí)的需要，新課程才將“解決問題”滲透于數(shù)學(xué)教學(xué)始終，并降低了對(duì)信息素材的加工程度，還原數(shù)學(xué)問題的生活原貌，力求通過讓學(xué)生經(jīng)歷對(duì)新情境中數(shù)學(xué)問題的解決過程，發(fā)展他們的數(shù)學(xué)意識(shí)和數(shù)學(xué)能力。因此，傳統(tǒng)應(yīng)用題教學(xué)留下“熟悉類型——識(shí)別類型——套用解題方法”的基本模式，以現(xiàn)在的眼光來看，是有很大局限性的，類似這樣機(jī)械的數(shù)量關(guān)系教學(xué)并不可取。很多研究表明，在良好的教學(xué)情境下，學(xué)生解決問題時(shí)不是把問題和類型相聯(lián)系，而是將情境中的問胚與運(yùn)算意義相聯(lián)系。因而。我們必須將數(shù)量關(guān)系的形成過程和運(yùn)用過程有機(jī)地結(jié)合起來，在從“現(xiàn)實(shí)情境”抽象出“數(shù)學(xué)問題”的數(shù)量關(guān)系形成過程中，不必要求學(xué)生在語言表述上作過多精致的表述，而應(yīng)該提供相對(duì)真實(shí)的現(xiàn)實(shí)情境，讓學(xué)生在解決實(shí)際問題的過程中動(dòng)態(tài)探索、理解感悟數(shù)量關(guān)系。這種明顯帶有個(gè)體“數(shù)學(xué)思考”成分的數(shù)學(xué)活動(dòng)是學(xué)生運(yùn)用數(shù)量關(guān)系解決問題的關(guān)鍵所在，理應(yīng)被廣大教師所重視。因此，數(shù)量關(guān)系的教學(xué)不能厚此薄彼，重“運(yùn)用”輕“形成”。而應(yīng)將它們有機(jī)地統(tǒng)一在解決問題的教學(xué)過程中。

二、對(duì)數(shù)量關(guān)系的提煉與概括——結(jié)構(gòu)化遷移的重要環(huán)節(jié)

1注重基本數(shù)量關(guān)系的原始積累。

新教材編寫的一大特色就是將“數(shù)與運(yùn)算”融入生活問題情境中，在解決問題過程中引導(dǎo)學(xué)生理解運(yùn)算意義，掌握算法。同時(shí)，又通過對(duì)解決問題過程的回顧，進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生對(duì)運(yùn)算意義的內(nèi)化。因此，四則運(yùn)算的意義在解決問題中的作用是舉足輕重的，是數(shù)量關(guān)系最為基本的模型。教師要充分領(lǐng)會(huì)教材編寫循序漸進(jìn)的原則。引導(dǎo)學(xué)生將情境中的問題與運(yùn)算意義相聯(lián)系，充分經(jīng)歷思考與體驗(yàn)的過程。例如，同樣是教學(xué)加法，一年級(jí)教材通過多種不同的呈現(xiàn)方式讓學(xué)生感知：一上教材40頁“3個(gè)男生和2個(gè)女生在澆花，澆花的一共有多少人?”——兩部分合并(靜態(tài))，“3個(gè)人在澆花，又來了2個(gè)人，現(xiàn)在有多少人?”——在原有的基礎(chǔ)上增加一部分(動(dòng)態(tài))；二上教材26頁的“紅花片有11個(gè)，綠花片比紅花片多3個(gè)，綠花片有幾個(gè)?”——在“比較”情境中求較大的量等。只有以各種方式不斷拓展對(duì)運(yùn)算本質(zhì)的理解，才能逐步完善學(xué)生對(duì)運(yùn)算意義的建構(gòu)。在此過程中，學(xué)生也會(huì)有意識(shí)地思考情境中的問題與數(shù)學(xué)意義的聯(lián)系。基本數(shù)量關(guān)系的教學(xué)也得到潛移默化的滲透，如：部分量+部分量=總量、較小量+相差量=較大量等，這種原始的積累，為學(xué)生解決問題能力的發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

2注重常見數(shù)量關(guān)系的抽象概括。

數(shù)量關(guān)系除了有按加、減、乘、除意義的基本數(shù)量關(guān)系，也有密切結(jié)合某些實(shí)際素材的常見數(shù)量關(guān)系。如“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”、“工作效率×工作時(shí)間=工作總量”等。這些數(shù)量關(guān)系的得出，都必須經(jīng)過一個(gè)梳理和歸納的過程。而運(yùn)用數(shù)學(xué)語言來提煉數(shù)量關(guān)系是此項(xiàng)過程中不可或缺的重要環(huán)節(jié)。面對(duì)一個(gè)問題情境，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生基于自己已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)自主構(gòu)建“原生態(tài)”的數(shù)量關(guān)系，在此基礎(chǔ)上，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步轉(zhuǎn)換思維視角，從而獲得更為簡約、更為概括的數(shù)量關(guān)系模型，進(jìn)而通過對(duì)這一數(shù)量關(guān)系模型的變式運(yùn)用，實(shí)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)化遷移。例如面對(duì)這樣一個(gè)問題情境：“做一個(gè)長6厘米、寬5厘米、高4厘米的長方體紙盒，至少需要用多少平方厘米的紙板?”學(xué)生在理解長方體的特征基礎(chǔ)上獨(dú)立探索并嘗試用自己的語言表述數(shù)量關(guān)系：長方體相對(duì)的兩個(gè)面面積相等，所以只要先求3組相對(duì)的面的面積，再相加。即長×寬×2+寬×高×2+長×高×2；在教師的進(jìn)

一步引導(dǎo)下，學(xué)生可以轉(zhuǎn)換思考角度，將長方體的6個(gè)面分為相同的2組，先可以求出每組相對(duì)的面中的一個(gè)面的面積，相加后乘上2。由此產(chǎn)生了新的數(shù)量關(guān)系。即(長×寬+寬×高+長×高)×2。兩種數(shù)量關(guān)系的形成都從不同的角度反映了數(shù)量之間的本質(zhì)聯(lián)系。像這樣，讓學(xué)生經(jīng)歷從多角度思考問題，對(duì)發(fā)展他們的數(shù)學(xué)思維、提高思維的靈活性和敏捷性會(huì)起到很大的作用。由此可見，新課程并沒有舍棄數(shù)量關(guān)系的抽象，而是要求創(chuàng)新數(shù)量關(guān)系的教學(xué)方法，強(qiáng)調(diào)在發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)理解的前提下進(jìn)行數(shù)量關(guān)系的抽象概括。

三、分析數(shù)量關(guān)系的基本方法——解決問題的基本策略

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)和利用數(shù)量關(guān)系是解決實(shí)際問題的途徑，通過整理信息明確把握數(shù)量關(guān)系。既是可操作的方法，也是解決問題的策略。當(dāng)然，解決問題的策略是多種多樣的，有些適合于解決常規(guī)問題，有些適合于解決一些特殊問題。教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生通過感悟、體驗(yàn)不斷形成具有個(gè)性的解題策略，鼓勵(lì)學(xué)生創(chuàng)新，但同時(shí)也應(yīng)重視學(xué)生對(duì)一些基本解題策略的掌握。

1分析數(shù)量關(guān)系的基本方法需熟練運(yùn)用。

對(duì)數(shù)量關(guān)系的分析，傳統(tǒng)應(yīng)用題教學(xué)中仍有許多經(jīng)驗(yàn)值得我們借鑒。例如，分析法、綜合法、作圖法等等，這些對(duì)提高學(xué)生思維能力和解決問題能力十分有幫助。并且，這些基本的方法有別于針對(duì)解決某類典型題的單項(xiàng)技能技巧，具有廣泛的基礎(chǔ)性、遷移性和普適性，是解決任何問題都需要具備的最基本的能力。因此，在教學(xué)中。我們?nèi)砸匾曌寣W(xué)生運(yùn)用“綜合思維”及“分析思維”對(duì)一些常規(guī)問題進(jìn)行比較完整的“說理訓(xùn)練”，即結(jié)合對(duì)數(shù)量關(guān)系的分析說出解題思路，通過這種“出聲的思維”來暴露學(xué)生的思維過程、強(qiáng)化思維成果，從而發(fā)展思維能力。由于上述兩種思維模型都是對(duì)事物之間本質(zhì)聯(lián)系的把握，為學(xué)生指明了思考問題的方向，因此，學(xué)生解決問題就有了最基本的方法。

2分析數(shù)量關(guān)系的基本方法應(yīng)與解決問題策略相互滲透。

現(xiàn)實(shí)情況的紛繁復(fù)雜有時(shí)也為學(xué)生將具體問題抽象成數(shù)學(xué)問題設(shè)置了不小的障礙，有些問題結(jié)構(gòu)還很特殊。因此，并非所有的問題都能通過上述兩種基本方法輕易找到其隱含的數(shù)量關(guān)系。除了最基本的分析問題的方法之外，學(xué)生還很有必要具備相應(yīng)的解決問題的多種策略。為了發(fā)展學(xué)生的策略意識(shí)，教材也在第二學(xué)段每冊(cè)均開辟“解決問題的策略”這一獨(dú)立單元。通過教材循序漸進(jìn)的介紹，一些如列表整理、枚舉、還原、假設(shè)、轉(zhuǎn)化等基本的解題策略也為師生們熟知和應(yīng)用。在具體的解決問題的過程中，我們不能僅以數(shù)量關(guān)系的分析來代替學(xué)生個(gè)性不一的解題策略的運(yùn)用，而應(yīng)將分析數(shù)量關(guān)系的基本方法和解決問題的策略有機(jī)結(jié)合，在它們的共同作用下找到解決問題的途徑和方法：首先，運(yùn)用分析與綜合的方法，弄清現(xiàn)實(shí)情境中的條件和問題之間的數(shù)量關(guān)系，選擇一些解決問題的有效策略并構(gòu)建恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)表達(dá)式或圖形簡潔、清晰地表達(dá)出來，接著，在建立數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行邏輯推理或數(shù)學(xué)演算，求出問題的解，最后，把數(shù)學(xué)模型中得到的解返回到問題中去，檢驗(yàn)是否使問題得到了解決。有時(shí)，在解決問題的過程中，為了能夠幫助學(xué)生理解信息中隱含的數(shù)量關(guān)系，可以運(yùn)用數(shù)學(xué)化的手段f如畫圖、列表、轉(zhuǎn)化等)，分析、梳理信息之間的數(shù)量關(guān)系，用數(shù)學(xué)語言構(gòu)建基本模型，進(jìn)而解決問題。

綜上所述，在解決問題的過程中重視數(shù)量關(guān)系教學(xué)，不僅僅是為了完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，也不僅僅是為了解決某些問題，更重要的是為了學(xué)生智慧的生成和發(fā)展。作為教學(xué)組織者，教師更應(yīng)該將教學(xué)理念轉(zhuǎn)化為教學(xué)實(shí)際，將教材的變化通過自己創(chuàng)造性的勞動(dòng)體現(xiàn)在教學(xué)中，從而逐步實(shí)現(xiàn)教學(xué)改革的理想。