以“圓錐的體積”為例談小學數學實驗的教學

陳　蕾

[教學過程]

1回顧圓柱體積公式推導過程，板書：轉化。

師：研究圓錐的體積計算，發現圓錐體積計算的規律，也要著眼轉化。要把圓錐轉化成什么形狀呢?怎樣轉化?

2分組實驗。

師：下面分組做實驗，在空圓錐里裝滿沙子，然后倒入空圓柱中，看看幾次正好裝滿。

小組代表在教具箱中取實驗用的空圓錐圓柱各一個，分頭操作。

3組織學生交流。

師：從倒的次數看，兩者體積之間有怎樣的關系。

生1：我們將空圓錐里裝滿沙子，然后倒入空圓柱中，3次正好裝滿，說明圓錐的體積是圓柱的三分之一。

生2：3次倒滿，圓錐的體積是圓柱的三分之一。

生3(遲疑地)：我們將空圓錐里裝滿沙子。然后倒人空圓柱中，4次正好裝滿。說明圓錐的體積是圓柱的四分之一。

生1：是三分之一，不是四分之一。書上就是這么說的。

生4：我們在空圓錐里裝滿沙子，然后倒入空圓柱中，不到3次就將圓柱裝滿了。

4，結論思辨。

師：奇怪了，結論竟然不同。怎么會是這樣!我來做示范。(教師從教具箱中隨手取出一個空圓錐一個空圓柱)你們看，將空圓錐里裝滿沙子，倒入空圓柱里。一次，再來一次。兩次正好裝滿。圓錐的體積是圓柱的二分之一。

學生議論紛紛。

生5：老師。你取的圓柱太大了。

教師在他的推薦下重新使用一個空圓柱繼續實驗，3次正好倒滿。

學生分組活動，調換學具，再試。

師：面對兩次實驗。你有沒有話要說?

生6：第一次實驗時，我們光想著把圓錐的體積轉化成圓柱的體積，但是其中的條件沒有注意到。

生7：實驗前，我就通過預習知道了圓錐圓柱體積之間存在著三分之一關系。可是試驗中我們并沒有獲得這個結論，開始我們只是懷疑我們小組操作不規范，而沒有想到等底等高這一點。現在我們對此印象很深刻。

生8：我想我們祖先在獲得圓錐圓柱體積之間的關系時，一定也是充滿失敗的。缺少了等底等高的前提條件，圓錐和圓柱就沒有轉化的必要。

生9：只有在等底等高的條件下，圓錐的體積是圓柱的三分之一。

教師完成板書。

生齊：圓錐的體積等于和它等底等高的圓柱體積的三分之一。

[思考]

一、數學需要實驗

數學學習是一種經歷，最好的方法是“做”數學，數學學習需要實驗。《數學課程標準(實驗稿)》對數學實驗給予了前所未有的重視：在“基本理念”中指出“學生的數學學習內容應當是現實的、有意義的、富有挑戰性的，這些內容要有利于學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數學活動”：在“關于目標”中強調“探索主動參與特定的數學活動，通過觀察、實驗、推理等活動發現對象的某些特征或與其他對象的區別和聯系”；在“教材編寫建議”中指出“教材的編寫要有利于學生進行觀察、實驗、操作、推理、交流等活動，問題的呈現要有利于展開觀察、實驗、操作、推理、交流等活動。”經歷、觀察、感知、操作、模仿、收集、參與、嘗試、發現、探究構成了課程標準中實驗教學的主要行為動詞。如今在我們的諸多課堂中，數學實驗依然是一副老舊呆板的模樣，比如把數學實驗簡單地理解為動手操作，把實驗單一地當做新知的中介，實驗不充分不到位，為了實驗而實驗，實驗流于形式。其實，數學實驗本身也應該是教學目標之一。

數學家歐拉認為，“數學這門科學需要觀察，也需要實驗。”不少數學專家都有這樣的共識，“數學家用以發現新思想的方法之一是進行實驗”，可見數學實驗對數學的發展起著非常重要的作用，它是學生學習數學的一個重要形成途徑。

在“圓錐的體積”其他的課例里，我們也常常看到老師借助計算機來模擬實驗。這樣的處理。是把數學實驗作為一種教學方法，雖然有演示實驗的成分存在，但學生親自參與就缺位了。這種紙上談兵的實驗顯然是不恰當的。能夠讓學生看得到的，就不要止于想得到：進一步，能夠讓學生摸得到的，就不要止于看得到。當然，對于一些抽象的數學概念、復雜的數學形象或者組織難度大的實驗，如果借助計算機模擬實驗則可以事半功倍。

二、數學實驗要重視數學的“再發現”，從而豐富學生的數學活動經驗

數學是人類的一種活動，是一種充滿情感、富有思考的經歷、體驗和探索的活動。目前“獲得數學基本活動經驗”已經被納入數學教育目標“四基”(即數學知識、數學技能、數學思想方法、數學活動經驗)之一，數學經驗是數學的感性認識，是在數學活動中積累的。

本案例教學在實驗環節的構建上大膽創新，將實驗的環節復合，既注重針對性和實效性，又很巧妙地處理了教材知識點和學生思維起點的關系，在看似混亂無序的實驗中，增加了學生對實驗條件的辨別及信息的批判。在學生自由實驗中把圓錐體積計算這一概念向認識的最原始狀態前移，拉長了實驗數學化的過程。這里的數學實驗不僅能使學生主動建構、發展個性，而且能很好地激勵學生的求知欲與好奇心，學生的體驗一定是深刻而持久的。

在筆者十幾年的數學教學中，多次遇到學生在計算圓錐的體積時丟掉那個似乎來之不易的“三分之一”，是什么讓他們學過就忘呢?原因就在于：我們的數學課程首先沒有讓學生知道他們面對的內容是什么，沒有留給學生可以思考和可以動手的空間。小學生的數學學習需要實驗，數學實驗不僅僅需要驗證，更需要發現，因為“兒童不可能通過演繹法學會新的數學知識”，“數學在本質上是一項人類活動，通過數學課程讓學生重復人類數學發現的過程是可能的。”開放實驗空間，放手讓學生去做，從而促使學生感悟積累數學活動的經驗，增進對數學的理解，實現數學再發現和再創造，還原這份真實的過程，尊重學生的體驗，數學的美麗才會如花燦爛。

三、數學實驗要凸顯數學思想

在實驗過程中，教師要善于引導學生積極主動地經歷知識的形成過程，結合具體的操作行為，引導學生發現問題、提出問題，探究解決問題的策略，讓學生在觀察、實驗、分析、歸納、抽象、概括的過程中，發現潛藏其中的思想方法，積極提出猜想并主動嘗試發現。對于“圓錐的體積”，筆者意識到還可以著眼轉化思想、數形結合思想等數學思想來整體設計組織教與學，實驗還可以做得更深刻些。為此，筆者首先調整教學內容的安排，去掉了圓錐體積計算公式應用這一練習部分，把整個實驗作為一節課來設計。簡述如下：

教師從實驗器具箱中拿出一個圓錐(塑料容器)，裝滿水(或沙子)后，問：這里水的形狀是怎樣的?水的體積是多少?學生交流，可以把水倒入量杯里直接讀出，也可以把水倒入一個透明的長方體或圓柱容器中然后測量計算。教師追問：這些數據和原來圓錐形狀的水并沒有直接關系，為什么可以通過測量它們的有關數據來獲得水的體積?

教師再拿出一個圓錐(橡皮泥材料)問：這塊橡皮泥的形狀是什么?它的體積是多少?學生探究，可以把橡皮泥重新整形，變形為長方體。

教師追問：剛才我們通過轉化解決這兩個圓錐的體積問題，方案中有什么共同的特點?一方面讓學生看到轉化，另一方面也要發覺這樣不方便，進而形成圓錐的體積該如何計算的心理取向。

隨后進行分組自主實驗。

實驗交流，獲得結論，檢驗和解釋結果。

實驗總結，明確其中的那些基本數學思想方法，如猜想、模型化、推理、轉化思想等。

上述教學活動，在實驗前中后都注重了猜想和交流，能使學生從特殊到一般地認識圓錐的體積計算，培養學生運用數學知識、方法考察和處理事物現象的科學態度，提高學生解決問題能力和邏輯思維能力，在解決問題、探索知識、建構知識的過程中，使學生認識到數學實驗的價值，享受到數學實驗的樂趣和學習的充實感。