從幾個數學概念例談理解和把握教材

王　林

如何理解和把握教材，需要探討和研究的方面較多。本文主要就本次專欄所涉及的面積、分數和方程的定義談談自己的看法。

小學數學中的許多概念，在小學不能定義或不宜定義，大多數是通過描述性的方式和用“屬+種差”的方式定義的。對于面積，大綱教材是這樣描述性定義的：物體的表面或圍成的平面圖形的大小，叫做它們的面積。現在，教材沒有給出定義，而是結合教室這一學生非常熟悉的實例，按照“物體有面——每個面都有大小——面的大小是面積”這樣的線索教學面積的意義。讓學生先通過“看”黑板表面、課本封面體會物體有面，“比”黑板面與課本封面哪一個大哪一個小，體會各個物體的面都有確定的大小，“想”什么是課本封面的面積感知面積的含義；再通過“摸”課桌面和椅子面，直接感知這些面的客觀存在，并感受這些面各自的大小，擴大概念外延，進一步體會面積的意義。接著，讓學生自己舉例表達物體表面的面積，并比較它們的大小，反饋自己對面積的初步認識，并在更大的范圍里體會，看到的物體都有面，每個面都有確定的大小，面的大小就是這個面的面積，從而形成初步的面積概念。在學生已經知道物體表面的大小是面積之后，學習平面圖形的大小也是面積，從而全面理解面積的意義。教材通過比較一個正方形和一個長方形面積的大小，讓學生討論什么是這兩個圖形的面積，引導他們的認知遷移，從物體表面的大小是面積類推出平面圖形的大小也是面積。教材雖然沒有對面積下概括的定義，但是學生結合實例，在多個活動中體驗、感悟、體會面積的意義，在表象的層面上充分認識了面積。大綱教材中的定義，也只是對面積的描述，不是嚴格的定義。在嚴格的面積定義里并不出現“大小”的詞語。先要定義了面積，才能有面積的大小。實際上，不僅平面圖形有面積，球面(立體圖形)也有面積。但是，對于小學生來說，面積的嚴格定義并不重要，重要的是通過數學認知活動知道面積與長度一樣是刻畫圖形大小的度量，知道面積的真正含義，建立面積的表象，會求一些幾何圖形的面積。

分數是一個內涵豐富的數學概念，在小學數學教學內容中占有重要地位。小學生學習的數，主要有正整數和正分數(小數是特殊的分數)，在正整數集中添加正分數，組成非負有理數集，是數的概念的重要擴充。在正整數集中，兩個整數相除，有時不能得到整數商，為了使除法運算總可以施行(除數不能是0)，就需要引進分數。在小學，一般將分數直觀地定義為：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數叫做分數。這是關于分數的份數定義，是描述性的。實際上，分數除了份數的定義，還有商的定義和比的定義。在數學理論中，分數一般采用商的定義：兩個整數m、n(n≠0)，m除以n的商m/n叫做分數。即是說，分數是一個商，m除以n除得盡時是一個整數，除不盡時就是一個分數。由于兩個數相除又叫做兩個數的比，于是就有了分數的比的定義：兩個整數m、n(n≠0)，m比n即m/n叫做分數。六年級教材上說，兩個數的比表示兩個數相除，兩個數的比也可以寫成分數形式。學習了比之后，分數就可以擴大應用范圍。我們知道了分數的這三個定義，可以更清楚地看出比的基本性質、分數的基本性質和整數除法商不變的性質內在的同一關系。由于分數與整數有較大的差異，學生掌握分數概念比較困難，小學數學教材對此一般分為三個階段教學。第一階段，三年級直觀感性認識階段，充分借助直觀手段，只作具體描述，如1/2是分數3/4是分數，不概括出描述性的定義。學生通過三上的學習明白把一個物體、圖形平均分成若干份，其中一份或幾份，是這個物體、圖形的幾分之一或幾分之幾：通過三下的學習明白把由若干個同類物體組成的一個整體平均分成幾份，用幾分之一或幾分之幾這樣的分數表示這個整體里的一份或幾份，并應用對分數的初步理解。用整數計算的方法解決求由若干個同類物體組成的一個整體的幾分之一或幾分之幾是多少個物體的實際問題。從一個物體、圖形的幾分之一到若干個同類物體組成的一個整體的幾分之一，是認識分數的一次發展。學生儲存了豐富的分數表象，到五年級認識分數的意義，理解單位“1”，不僅減少了學習困難，而且更有利于他們在豐富表象的基礎上抽象概括，比較牢固地掌握分數的有關知識。學生到五年級整體認識分數，深入理解分數的份數定義，再通過兩次分餅的數學活動認識分數與除法的關系，不僅用語言講述和用數量關系式表示，還寫成字母組成的等式，建立新的知識結構，實際理解分數的商的定義。到了六年級再學習比，體會比在生活中的應用，實際理解分數的比的定義，擴大分數的應用范圍。這就使學生學習分數的過程循序漸進，有效而扎實。

對于方程，大綱教材是用“屬+種差”的方式定義的：含有未知數的等式叫做方程。與被定義概念鄰近的屬是“等式”，種差是“含有未知數”。方程是等式里的一類特殊對象，“含有未知數”與“等式”是方程意義的兩點最重要的內涵，“含有未知數”也是方程區別于其他等式的關鍵特征。現行教材按“等式+含有未知數一方程”的線索，結合具體情境，讓學生通過觀察天平平衡與不平衡的生活現象，幫助學生理解等式的含義，了解等式與方程的關系，概括出：像x+50=150、2x=200這樣含有未知數的等式是方程。與大綱教材相比，特別增加了“像x+50=150、2x=200”這樣的限定，一是因為實際上函數也是含有未知數的等式，增加限定后更具有科學性；二是可以避免類似于“x=6是不是方程”等一些過于形式化問題的過分關注與爭論。方程用等號將相互等價的兩件事情聯立，等號的左右兩邊等價，比較全面地展示了建模思想。教學方程就是要抓住從等式的關系求未知數這一重點，通過列方程的教學讓學生初步體會建模思想。通過解方程的教學讓學生初步體會化歸(轉化)思想。教材要求小學生學習運用等式的性質解方程，就十分有利于學生體會化歸(轉化)思想。

從面積、分數和方程的定義的分析，可以反映出蘇教版教材對概念、法則、規律等呈現的大致特點，我們教學時應引起足夠的重視。

1、既有整體觀念，又注意階段性。教材依據數學課程標準，比較合理地編排了各冊的教學內容，要按照教學進度和學生的認知水平進行教學，不隨意提前教學后續的內容，不去輕易地拔高教學要求。分數的意義比較抽象，在三年級學生初步認識分數時，一定要把握好螺旋上升的度，貼近學生的認知水平，借助現實的情境和直觀的圖形，通過具體操作，使學生逐步獲得對分數的感性認識，建立分數的表象，而不能脫離直觀。同樣的道理，乘、除法的口算，課程標準要求學生能口算百以內的一位數乘、除兩位數，教學時就不要再提出兩位數除以兩位數的口算要求。二年級下學期學習口算不進位的一位數乘兩位數，就不要提出進位的一位數乘兩位數的口算要求，避免加重學生的學習負擔。

2、要注重實質，適當淡化形式。數學教材在注重數學本質的同時，對一些定義、筆算法則等適當地淡化了形式。這是為了講求實效，使學生更好地掌握整個知識，真正理解概念，體會數學的本質。從這個意義上說，適當的“淡化”是為了真正的“強化”。什么是乘法?求兩個數的積的運算叫做乘法。但是，為了便于小學生理解，在小學通常把乘法說成是“求幾個相同加數的和的簡便運算”，現在“3個5相加”不再規定哪一個數做乘數，哪一個數做被乘數，就不應再要求學生把3個5相加只能寫作5×3，而不能寫作3×5，也不要過多地去要求學生說“3個5相加用5×3表示”這些形式化的語言。整數乘、除法的筆算法則，學生理解了算理，在已有經驗的基礎上合作交流，發現、歸納并總結出計算方法，能懂得法則的幾條具體內容，按照法則比較熟練地筆算就可以了。教材沒有用文字集中呈現計算法則，更沒有用黑體字突出，我們在教學中就不需要將文字敘述的筆算法則讓學生抄錄背誦，也不需要對此進行默寫或者填空考查。對于運算律的安排與教學，同樣如此。

3、要加強概念特別是基本概念的教學。數學概念是數學知識的細胞，是學習和運用一切數學知識的基礎。小學階段所涉及的概念都是非常基本和重要的，不重視概念教學的現象當前比較普遍，應當切實糾正。概念教學是數學教學中必須抓好的重要一環，我們每一位數學教師和教研員，都必須重視和加強概念教學及其研究，努力改進概念教學。三年級小學生從學習長度到學習面積，是空間形式認識發展上的一次飛躍。以前面積和面積單位安排在一課時內教學，學生在一課時里既學習面積的意義，又認識三個面積單位，時間緊、任務重，對面積、面積單位概念的形成過程經歷不夠、體驗不深，效果往往得不到保證。現行教材把面積與面積單位這兩個對后繼學習有著深遠影響的概念分成兩課時教學，目的就是讓學生在第一次學習時。有足夠的時間經歷概念的形成過程，達到教學的扎實有效。運算律是小學數學中最基礎的知識之一，教材緊密聯系學生的生活實際，引導他們利用已經掌握的知識獨立解答，再通過舉例發現規律，從用符號表示過渡到用含有字母的式子表示這些規律，使得運算律的表達更加準確、簡明、形象。這既便于學生加深體驗，有利于他們掌握運算律，又能發展學生的符號感。