對一道數(shù)學高考壓軸題的分析與思考

李義仁

2009年高考廣東卷理科數(shù)學的壓軸題是數(shù)列題,這道題有什么特點,它對我們的教學有什么啟示?本文擬作簡要分析.

一、試題特點

題目:已知曲線Cn:x2-2nx+y2=0(n=1,2,…),從點P(-1,0)向曲線Cn引斜率為kn(kn>0)的切線ln,切點為Pn(xn,yn).

(1)求數(shù)列xn和yn的通項公式;

(2)證明:x1?x3?x5…x2n-1<

分析這道試題,它有以下特點:

1. 主體結構簡約.試題的主體結構是:構造數(shù)列→數(shù)列的形式化→數(shù)列性質(zhì)證明.如果將數(shù)列看作一種數(shù)學模型,那么它可以看作是:建立數(shù)列模型→數(shù)列模型進一步求解.試題的主體結構很簡約,而且這個簡約的結構與新課程每個單元的主體結構、與新課程倡導的“知識形成→知識應用”課堂教學結構相同.

2. 雙基容量較大.試題材料有平面直角坐標系中圓的方程、圓的切線、切點坐標、數(shù)列通項、冪函數(shù)、三角函數(shù)、不等式等方面的基礎知識,解題過程中還要用到與之相關的其他基礎知識和運用計算、作圖、推理等技能,因此,試題的知識跨度比較大,雙基容量比較大.

3. 解題方法多樣.多方面知識綜合的問題往往意味著解題有多個切入點,多種方法.除高考評分參考外,第(1)問,可根據(jù)數(shù)列的構造過程求通項公式,如圖1,由x2-2nx+y2=0得(x-n)2+y2=n2,曲線Cn是圓心為Cn(n,0)、半徑為n的圓.作PnQn⊥x軸,垂足為Qn,則

cos∠PCnPn==,從而xn=OQn=OCn-CnQn=n-CnPn×cos∠PCnPn=,yn=CnPn×sin∠PCnPn=n×=.

第(2)問,左邊不等式可根據(jù)xn的單調(diào)性證明,因為xn==1-單調(diào)遞增,所以x1

sin=×OP×sin,因為∠AOB=≤<<,所以∠OPB>>∠AOB,PB

二、若干思考

1. 雙基教學要增強模型意識.

雙基教學通常比較關注知識點,包括重點、難點、關鍵點等,關注對知識點內(nèi)涵的分析,幫助學生比較準確熟練地解決知識點組合的數(shù)學問題.這是最基本的要求,新課程還要求數(shù)學教學要培養(yǎng)學生“對客觀事物中蘊涵的數(shù)學模式進行思考和做出判斷”,新課程高考綜合題通常具有“建立數(shù)學模型→應用數(shù)學模型”的結構特征和解題要求.因此,雙基教學要關注知識點,但不能只專注于知識點,要不斷增強模型意識,用模型整合知識點,讓學生經(jīng)歷“建立數(shù)學模型→應用數(shù)學模型”的全過程,用數(shù)學模型為學生理解數(shù)學和分析解決問題提供更強有力的支撐.

2. 雙基復習要增強整體意識

雙基復習都比較關注知識綜合,但層次比較低——只構建具體知識網(wǎng)絡,范圍比較小——只重視單元知識綜合.新課程采用模塊結構螺旋上升地呈現(xiàn)課程內(nèi)容,著力打破人為分割高中課程內(nèi)容的思維慣性,促進課程內(nèi)容的融合.新課程高考認為知識的整體性是切實掌握數(shù)學知識的重要標志,著力從學科整體意義的高度設計問題、考查學生的數(shù)學能力.因此,雙基復習要從更大范圍更高層次進行教學設計,更大范圍是指將全部高中課程內(nèi)容納入具體復習的視野之中,使每次復習都具有向全部高中課程內(nèi)容擴展的張力;更高層次是指將貫穿全部高中數(shù)學內(nèi)容的主線——變量與函數(shù)、計算與算法、圖形與直觀、數(shù)據(jù)與統(tǒng)計等,落實到每個具體內(nèi)容的復習之中,幫助學生以這些主線為線索,將全部高中課程內(nèi)容融會貫通.

責任編輯羅峰