用“五問法”分析幾何題

劉化雷

【摘 要】本文介紹一種對初學幾何者簡單易學、行之有效的分析方法——“五問法”。所謂“五問”是指:一問已知什么,二問求什么,三問由已知能得到什么,四問要得結果需知什么,五問收獲了什么。

【關鍵詞】五問法 幾何題 分析方法

初中生學幾何,難在入門;入門難,難在對題意的理解;理解難,難在缺少正確的方法。新課程標準降低了對歐幾里德幾何學的要求,對初學者我們不必對其邏輯思維的嚴密性做太高的要求,而培養正確的理解題意、分析解題思路的方法才是當務之急。方法對路了,邏輯性就培養出來了,這是水到渠成的事兒。

那么怎樣培養學生正確的理解題意、分析解題思路的方法呢?筆者在多年的教學實踐中,總結出了簡單易學、行之有效的“五問法”分析幾何題的方法。所謂“五問”是指:一問已知什么,二問求什么,三問由已知能得到什么,四問要得結果需知什么,五問收獲了什么。下面,以一道幾何題為例,詳細解釋“五問法”的操作步驟,題目為:“如圖1,CD=BE,DG⊥BC,EF⊥BC,垂足分別為G,F,且DG=EF.判斷下列結論是否正確,并說明理由:(1)BG=CF;(2)BD=CE.”

一問已知什么,就是要求學生結合圖形認真審題讀懂題意,將題目的“已知”與圖形中的信息“對號入座”。在教學實踐中可以發現,大部分對幾何題的分析能力較差的學生都是沒有過好審題這一關:要么不知題目的已知條件,要么題意與圖形相脫離。當學生遇到不會做的題目過來請教老師時,經常上來就問:“老師,這道題目怎么解?”我的習慣是立即反問一句:“題目已知哪些條件?”并要求學生結合圖形把已知條件說出來給我聽,同時要求他(她)在圖形上標注必要的符號。這樣做的目的有兩個:一是檢查一下這位學生認真審題了沒有,二是讓學生重溫一下題目的情景,以利于下面的分析。如例題中,我要求學生首先讀出題目的“已知”,并在圖中加上必要的記號,如CD=BE,則在線段CD、BE上各加相同的短橫;DG=EF,則在線段DG、EF上各加相同的雙短橫以區別于CD、BE上的短橫;DG⊥BC,EF⊥BC,則分別標出垂足(見圖2)。標注完畢,要求學生脫離題目只看圖形,完整地說出題目的“已知”。這樣,學生對題目的已知條件做到了熟知于心,印象于形,接下來的分析才會相對嚴密,而不是丟三落四。

二問求什么,求什么當然很重要,要不然連現在該干什么都不知道了,還談何解題呀?話雖如此,初學幾何者弄不清題目要求他干什么的大有人在。當然,“求什么”不僅是文字上的理解,還要知道“求什么”在圖形中的對應信息,我通常要求學生把“求什么”在圖形中用“?”予以標注,如本題是要求求證(說理)(1)BG=CF;(2)BD=CE,學生只需在線段BG、CF、BD、CE上分別標上“?”。

三問由已知能得到什么,這是分析幾何題的關鍵。學生每得到一個已知條件,大腦中能否快速地、準確地、系統地、完整地閃現出與之相關的數學信息就是其數學知識積累程度的具體體現。這就需要學生注意對數學知識的日積月累,也需要教師經常幫助學生系統地整理數學知識。分析題目時,學生把相關的信息在圖形中得以體現,并在草稿紙中做好相關記錄。其實這樣做就是在為綜合法解題作鋪墊。例題中,學生容易由圖2中的已知信息得出Rt△CDG≌Rt△BEF(HL),同時進一步得到全等三角形的對應元素相等,如CG=BF、∠DCB=∠EBC等。

四問要得結果需知什么,與“三問”類似,要得結果需知道什么就是在為分析法解題作鋪墊。學生只有懂得去分析“欲知結果,必先如何”,才能與由已知得到的信息掛上鉤,讓思路連通,使題目得解。更是要知道為了得到所求的內容,需要先知道什么條件,即執果索因,這就要求學生對所學的幾何定理有比較全面的理解。學生要結合已知與求證的內容做合理聯想,如:“以前做過或見過類似的問題嗎?當時是怎樣想的?題中的一部分(條件或結論或式子或圖形)以前見過嗎?在什么問題中見過?解這類問題通常有幾種方法?哪種方法較簡便?與這個問題有關的知識(基本概念、定理、公式等)有哪些?”等等。

本題中,學生由圖3可發現,要說明BG=CF,只需要知道BF=CG,因為BG=BC-CG,CF=BC-BF,這恰與前面分析得到的結論BF=CG相吻合,得證;學生或者會想到要說明BG=CF,只需證明Rt△BDG≌Rt△CEF,但是顯然缺少使之全等的直接條件,兩者相比較,選擇第一種方案比較合適。第二問要證明BD=CE,需知什么?學生通過對圖3的觀察分析,可能會發現可以證明Rt△BDG≌Rt△CEF或者△BDC≌△CEB,與前面的分析和證明結果相結合,這兩種途徑都容易獲得成功。

五問收獲了什么,一般地,把前面的四問解決好,幾何題就迎刃而解了,為什么還要設置這第五問呢?這其實是一個解題反思過程,是數學解題的“第二過程”。如果我們把暴露結論的發現過程、暴露思路的探求過程、暴露方法的提煉過程稱為“第一過程”,那么,在暴露結論發現、思路探求的基礎上,繼續反思數學解題的過程稱為“第二過程”。這“就象黑夜摸進一座大樓的新房間,撞在墻上、碰倒桌椅、甚至摔跤都是有可能的,但進去之后,就不要老是在黑房間里摸索了,就應該拉開黑房間的電燈,看清房間的結構并反思當初的摸索”。學生在解完幾何題后要及時反思解題的結論發現過程、思路的探求過程、方法的提煉過程并總結自己的收獲以發展自己的數學思維。同時,學會回頭看對培養學生良好的學習、做事習慣很有好處,是促使學生進步的重要舉措。

下面,把用“五問法”解幾何題中這“五問”之間的聯系用框架圖表示出來:

其中“橋——聯系”是指當由已知不能直接得到所求的結果,由所要求證的結果不能直接找到已知條件時產生的一些中間過渡性結論的總稱,它在幾何題的分析中起承上啟下的作用,如例題中的中間結論BF=CG、Rt△BDG≌Rt△CEF等。

實踐證明,“五問法”是行之有效的分析幾何題的好方法。學生學會了“五問法”,就基本具備了解幾何題的能力,能為他(她)在今后深入學習幾何奠定良好的基礎。

參考文獻:

[1]佚名.解幾何題的方法.數學中國網.

[2]羅增儒.解題分析,應該有“第二過程“的暴露.中學數學?教學參考,2008,(10).