思維轉(zhuǎn)向：推導(dǎo)公式不落窠臼

雷清蘭

“現(xiàn)實(shí)生活中的許多問(wèn)題的解決方式不唯一,答案也并不是唯一的,只要能解釋其合理性,就應(yīng)該允許其存在,現(xiàn)實(shí)生活是這樣,源于生活的數(shù)學(xué)也是這樣,解決問(wèn)題更應(yīng)該這樣.”數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí),離不開(kāi)對(duì)計(jì)算公式的理解與運(yùn)用,從某種意義來(lái)說(shuō),幾何形體的學(xué)習(xí),就是對(duì)它們的公式、定義、公理、定律等的把握與運(yùn)用.我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中,要時(shí)刻反思:我們的教學(xué)是否有效、是否高效,我們的教學(xué)方法、教學(xué)設(shè)計(jì)能否加入我們自己的想法,能否找些新的著力點(diǎn).就像阿基米德說(shuō)的那樣:“假如給我一個(gè)支點(diǎn),我將撬起整個(gè)地球.”我想,我們的教學(xué),就是需要多找找這樣的支點(diǎn),以便讓我們的學(xué)生把一個(gè)個(gè)知識(shí)點(diǎn)“撬起來(lái)”.

一、思維轉(zhuǎn)個(gè)向,崎嶇變坦途

很多時(shí)候,我們的教學(xué)習(xí)慣于按既往的思路或者思維方法去進(jìn)行,這就像野外的野生動(dòng)物,為了安全起見(jiàn),它們總是習(xí)慣于印著原來(lái)的腳印走路,殊不知,有經(jīng)驗(yàn)的獵人,卻抓住它們的這一特點(diǎn),屢屢得手.其實(shí)我們?nèi)祟愖约阂苍诓恢挥X(jué)中踐行著這一準(zhǔn)則,只不過(guò)不自知而已.看看我們的幾個(gè)教學(xué)實(shí)例就知道了.

我們?cè)诮虒W(xué)北師大版課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)《數(shù)學(xué)》五年級(jí)上冊(cè),第27頁(yè)“三角形的面積”的時(shí)候,常常按部就班地進(jìn)行.

下面是“三角形的面積”的部分課堂實(shí)錄:

師:要比較兩個(gè)三角形的大小就是比較什么呢?

生:要比較三角形的大小就是比較三角形的面積.(教師板書(shū)課題:三角形的面積.)

師:我們可以用什么方法比較呢?今天我們就一起來(lái)探索一回吧.

生:用數(shù)方格的方法比較三角形面積.

師:還有更加普遍的方法求三角形的面積嗎?

學(xué)生自主探究,動(dòng)手操作,獲取新知.

師:前面我們只是猜想三角形面積是底和高乘積的的一半,還需進(jìn)一步證明.大家回憶一下計(jì)算平行四邊形的面積公式是怎樣推導(dǎo)出來(lái)的.

生:用割補(bǔ)的辦法,把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形,然后推導(dǎo)出計(jì)算平形四邊形面積的公式.

師:那么三角形能不能通過(guò)剪拼的辦法轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形或平行四邊形呢?我們大家分小組來(lái)做個(gè)實(shí)驗(yàn),用你們手上的小三角形進(jìn)行拼拼,探究一下吧.

學(xué)生探究以后,得出:兩個(gè)相同的三角形可以拼成一個(gè)平行四邊形.

所以最后得出:三角形的面積=底×高÷2.

像上面這樣的教學(xué)進(jìn)程應(yīng)該是比較普遍也是比較正常的,相信絕大部分的教師也是這樣進(jìn)行的.我們回過(guò)頭來(lái)看課本的安排也是這樣的(下圖是課本的插圖):

但如果我們把書(shū)倒過(guò)來(lái)以后,就會(huì)有新的發(fā)現(xiàn),別有一番趣味.把書(shū)倒過(guò)來(lái)以后,圖形卻成了下面這樣:

現(xiàn)在我們完全可以來(lái)一個(gè)“逆向思維”,反其道而行之:把一個(gè)平行四邊形沿對(duì)角線剪成兩個(gè)完全一樣的三角形.

那么,既然平行四邊形的面積等于底乘高,而三角形的面積等于平行四邊形面積的一半,即三角形的面積=底×高÷2.這樣,學(xué)生更加容易理解“底×高÷2”.

看,這樣的推導(dǎo)是多么的妙!既容易理解,又容易懂,剔除了很多繁文縟節(jié),一步到位,直中命門.

同樣,梯形面積的面積計(jì)算公式,也可以如法炮制,一樣會(huì)有意想不到的收獲.如五年級(jí)上冊(cè)第29頁(yè)的“梯形的面積”的教學(xué):

在與學(xué)生一同探究出梯形的面積計(jì)算公式后,再讓學(xué)生研讀課本,學(xué)生對(duì)梯形面積的計(jì)算以及平行四邊形與梯形的關(guān)系自然能夠領(lǐng)悟得更加透徹.

通過(guò)上面的剪、疊、重合、比較,再推導(dǎo)出三角形、梯形的面積計(jì)算公式,對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō),無(wú)疑會(huì)起到激發(fā)興趣、發(fā)散思維的作用,可謂動(dòng)手與操作并舉,思維共想象齊飛.

二、給變形鋪墊,思維軟著陸

在數(shù)學(xué)教學(xué)中,有些需要實(shí)驗(yàn)操作完成的內(nèi)容,我們往往習(xí)慣于一個(gè)實(shí)驗(yàn)解決問(wèn)題,這樣做的好處是讓學(xué)生集中精神研究解決一個(gè)實(shí)驗(yàn).但它有一個(gè)明顯不足之處,就是對(duì)于那部分理解力稍微遲緩的學(xué)生,很難達(dá)到教學(xué)的預(yù)設(shè).如果在實(shí)驗(yàn)之前來(lái)個(gè)小實(shí)驗(yàn),那么效果會(huì)更好,這就像正餐之前的點(diǎn)心,更能起到刺激食欲的作用.

如對(duì)于圓柱的體積的教學(xué),仿照課本上的切割拼的實(shí)驗(yàn)之前,我先進(jìn)行了這樣一個(gè)小實(shí)驗(yàn):

一個(gè)長(zhǎng)寬高分別是8厘米、6.3厘米、10厘米的長(zhǎng)方體硬紙盒,一個(gè)底面半徑是4厘米、高是10厘米的圓柱體硬紙盒.用圓柱體硬紙盒裝滿水(里面鋪上一個(gè)薄膜袋子),倒入長(zhǎng)方體硬紙盒,發(fā)現(xiàn)它們差不多裝一樣多的水,然后讓學(xué)生觀察比較兩個(gè)立體模型的體積.

把兩個(gè)立體模型放在一起,讓學(xué)生試著根據(jù)剛才的實(shí)驗(yàn)以及兩個(gè)模型的有關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行猜想:圓柱的體積與長(zhǎng)方體的體積關(guān)系?圓柱的體積與圓柱本身的哪些量有關(guān)系?并說(shuō)說(shuō)自己猜想的理由.

有了這個(gè)實(shí)驗(yàn)作鋪墊,討論、猜想自然很熱烈,學(xué)生們各抒己見(jiàn),一下子把學(xué)習(xí)積極性以及探究的欲望調(diào)動(dòng)起來(lái)了,大有不研究清楚不罷休的勢(shì)頭.

完成上述實(shí)驗(yàn)與猜想后,再讓學(xué)生利用學(xué)具以小組合作的方式進(jìn)行課本第36頁(yè)的實(shí)驗(yàn),相信這時(shí)候,學(xué)生對(duì)于圓柱體體積如何轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方體體積進(jìn)行計(jì)算的領(lǐng)悟已經(jīng)水到渠成了,對(duì)于計(jì)算公式的推導(dǎo)也能夠自己完成.

有了前面的實(shí)驗(yàn)做臺(tái)階,學(xué)生的思維自然能很好地進(jìn)行演繹與歸納,這就是“點(diǎn)心”的功效.

我們的教學(xué)有時(shí)需要給慣性思維急剎車,來(lái)一個(gè)一百八十度的急轉(zhuǎn)彎,這樣做的效果,無(wú)論是對(duì)學(xué)生還是對(duì)教師本身,其作用都是不言而喻的.對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō),他們能夠得到兩種思維的洗禮,并在頭腦中發(fā)生碰撞,進(jìn)而激發(fā)出創(chuàng)新思維的火花.

責(zé)任編輯羅峰