“同增同減”還是“一增一減”?

殷建樓

1 問題的提出

現行高中物理教材(人教版選修3-4P78)給出了某一時刻沿z軸傳播的平面正弦電磁波的波形圖,如圖1所示。圖中體現了在電磁波的傳播過程中,同一時刻同一地點的電場強度E和磁感應強度B的大小同時增大或同時減小。這使得很多學生不解:既然E、B是相互激發的關系,那么隨時間按正弦規律變化的場應激發隨時間按余弦規律變化的場,即在E、B兩者中,一者增加,另一者應該減小,即兩者間應該有π2的相位差,怎么會是同增同減的關系?

本文將從麥克斯韋方程組的兩個環路定理出發,討論該問題。

2 同一點E、B兩矢量成正比的推證

2.1 準備知識:兩個環路定理

以真空為例,電場和磁場相互激發,遵循兩個環路定理。

電場的環路定理:∮E?dl=-dφ瑽dt (E指電場強度、φ瑽=B?S指磁通量),這個定理表明了磁場激發電場時,電場強度E與磁感應強度B之間的激發關系,等式兩邊分別是E的環路積分和磁通量φ瑽的導數,并不是E與B間簡單的導數關系。這個定理其實與法拉第電磁感應定律ε=-dφ瑽dt(負號代表的是感應電動勢的方向與磁通量的變化之間成右手反螺旋關系)表述相同的內容:電動勢與磁通量之間的導數關系。

磁場的環路定理:∮Bμ0?dl=ε0dφ璄dt(μ0:真空磁導率,ε0:真空介電常數,φ璄=E?S指電通量),這個定理表明電場激發磁場時,磁感應強度B與電場強度E之間的激發關系,等式兩邊分別是B的環路積分和電通量φ璄的導數,也并不是簡單的B與E的導數關系。

2.2 E、B兩矢量成正比的推證

以正弦磁場激發電場為例,如圖2所示,設一平面電磁波沿z軸傳播,磁場矢量沿x軸,其磁場波方程為B=B璵sinω(t-zv),則此變化的磁場將激發沿y軸的電場,從而激發沿z軸傳播的電場波。

為簡單起見,將圖2改畫成如圖3所示的示意圖。在yOz平面內取一閉合曲線12341,從B矢量振動的角度來說,由于空間各點的B隨時間變化(如圖3中磁感應強度從B變為B′),從而導致穿過平面12341的磁通量發生變化,進而激發電場,產生電場波;異或從磁場波的傳播來說,由于波形的平移,導致穿過閉合曲線12341圍成的平面的磁通量發生變化,從而產生電場,激發電場波。

取極短的時間dt,磁場波向右平移vdt的距離,移至虛線處,穿過閉合曲線12341的磁通量的變化可認為由兩部分構成:圖中左側陰影區磁通量的加入和右側陰影區磁通量的移出。將環路定理∮E?dl=-dφ瑽dt應用于12341曲線,設1處激發的電場強度為E1,4處激發的電場強度為E4,l12=l34=l。等式左端:∮12341E?dl=E1l12-E4l34;又設t時刻1處的磁感應強度為B1,4處的磁感應強度為B4,則12341平面的磁通量的變化為:dφ瑽=B1lvdt-B4lvdt。等式右邊:-dφ瑽dt=-B1lvdt-B4lvdtdt=-lv(B1-B4)。所以,-lv(B1-B4)=l(E1-E4),即-v(B1-B4)=E1-E4。因為此式對任何曲線均成立,若僅考慮大小,則應有E1=vB1,E4=vB4成立,所以對于z軸上的任一點均有E=vB,即z軸上任一點B與E成正比。也就是說若有一沿z軸傳播的磁場波,必定激發一同頻同相的沿z軸傳播的電場波,二者形成不可分割的統一體:平面電磁波。

同樣,一列正弦電場波也必然激發一同頻同相變化的正弦磁場波,證明過程同上。由以上分析可知平面電磁波傳播過程中的同一點E、B兩矢量應該是正比關系。

3 與中學常見的一類習題辨析

如圖4所示,在某空間區域存在一變化磁場,B=B0sinωt,在磁場中垂直于磁場放有一半徑為r的金屬環,試分析金屬環所在處的感應電場隨時間變化的規律。

分析 變化的磁場將會激發感生電場,其電場線為一組同心圓,如圖中虛線。

因中學階段沒有介紹環路定理,所以此題也可用法拉第電磁感應定律求解。

穿過金屬環的磁通量為

=B0sinωt?πr2

金屬環中的感應電動勢

ε=Δ雞t=B0ωπr2cosωt

則環所在處的電場強度為

E=εd=B0ωπr2cosωt2πr

=B0ωrcosωt2

此題中電場與磁場是導數關系,存在π2的相位差,一者增加另一者減少。但此題中變化的磁場與平面電磁波中的磁場波并不遵循相同的規律,此題的磁感應強度雖然隨時間按正弦變化,但空間各點磁場變化同步;而平面電磁波中的磁場波傳播過程中磁感應強度不僅隨時間變化也隨空間變化,即空間各點磁場不同步,兩種情形下磁通量的變化率不同,也就激發出不同規律變化的電場。

(欄目編輯羅琬華)