希爾密碼算法原理分析

摘 要： 加密解密是現代生活的需要，建立在矩陣運算的規律基礎上的希爾密碼為我們提供了一種簡便高效的密碼加密與解密的方法。本文對其加以分析。

關鍵詞： 希爾密碼 算法原理 加密 解密

一、希爾密碼產生的必然性

隨著科技的日新月異和人們對信用卡、計算機的依賴性的加強，密碼學顯得愈來愈重要。密碼學是一門關于加密和解密、密文和明文的學科。若將原本的符號代換成另一種符號，即可稱之為廣義的密碼。狹義的密碼主要是為了保密，是一種防止竊文者得知內容而設的另一種符號文字，也是一般人所熟知的密碼。

使用信用卡、網絡賬號及密碼、電子信箱、電子簽名等都需要密碼。為了方便記憶，許多人用生日、電話號碼、門牌號碼記做密碼，但是這樣安全性較差。

為了使密碼更加復雜，更難解密，產生了許多不同形式的密碼。密碼的函數特性是明文對密碼為一對一或一對多的關系，即明文是密碼的函數。傳統密碼中有一種叫移位法，移位法基本型態是加法加密系統-C=P+s（mod m）。一般來說，我們以1表示A，2表示B，……，25表示Y，26表示Z，以此類推。由于s=0時相當于未加密，而0≤s≤m-1（s≥m都可用0≤s≤m-1取代），因此，整個系統只有（m-1）種變化。換言之，只要試過（m-1）次，機密的信息就會泄漏出去。

由此看來，日常生活中的密碼和傳統的密碼的可靠性較差，我們有必要尋求一種容易將字母的自然頻度隱蔽或均勻化，從而有利于統計分析的安全可靠的加密方法。希爾密碼［１］能基本滿足這一要求。

二、希爾密碼算法原理

希爾加密算法的基本思想是，將d個明文字母通過線性變換將它們轉換為d個密文字母。解密只要作一次逆變換就可以了，密鑰就是變換矩陣本身。

希爾密碼是多字母代換密碼的一種。多字母代換密碼可以利用矩陣變換方便地描述，有時又稱為矩陣變換密碼。令明文字母表為Z，若采用L個字母為單位進行代換，則多碼代換是映射f：Z→Z。若映射是線性的，則f是線性變換，可以用Z上的L×L矩陣K表示，K=（k）為密鑰。若是滿秩的，則變換為一一映射，且存在有逆變換K，使KK=KK=I。將L個字母的數字表示為Z上的L維矢量m=（m，m，…，m），相應的密文矢量c=（c，c，…，c）為mK=c，以K作為解密矩陣，可由c恢復出相應的明文c#8226;K=m。

在軍事通訊中，常將字符（信息）與數字對應（為方便起見，我們將字符和數字按原有的順序對應，事實上這種對應規則是極易被破解的）：

abcde…x y z

12345…242526

如信息“NOSLEEPPING”對應著一組編碼14，15，19，12，5，5，16，16，9，14，7。但如果按這種方式直接傳輸出去，則很容易被敵方破譯。于是必須采取加密措施，即用一個約定的加密矩陣K乘以原信號B，傳輸信號為C=KB（加密），收到信號的一方再將信號還原（破譯）為B=KC。如果敵方不知道加密矩陣，則很難破譯。

我們通過實例說明希爾密碼是怎樣通過矩陣運算實現加密和解密的。

（一）加密

第一步，設定加密矩陣為K=112-120113，即在希爾密碼中設q=26，L=3，選取滿秩3×3階可逆矩陣。我們之所以取3×3可逆方陣，也是為了計算方便，相應的安全性就要低一些。

第二步，將信息14，15，19，12，5，5，16，16，9，14，7分為4個列矩陣：X=141519，X=1255，X=16169，X=1470，其中X中的“0”是虛設的，其目的是為了與列矩陣X，X，X的行數一致。列矩陣的行數3和個數4完全依賴于加密后的信息所對應的數字的多少和加密矩陣階數決定。

第三步，將信息加密。進行矩陣的乘法運算：

Y=KX=112-120213141519=6716100；

Y=KX=112-1202131255=27-244；

Y=KX=112-12021316169=501675；

Y=KX=112-1202131470=21035。

加密后的新碼為67，16，100，27，-2，44，50，16，75，21，0。Y中的35雖然是多余的信息，但要連同密碼一起發給對方，對方在破解密碼時要參與計算。

（二）解密

第一步，求密匙矩陣K的逆矩陣［２］K。K可用Mathematica計算。

Inverse123-120213∥MatrixForm=-614-3125-1-3，

即K=-614-3125-1-3。

第二步，由得Y=KX得X=KY（i=1，2，3，4），再次進行矩陣乘法運算：

X=KY=-614-3125-1-3671610=141519；

X=KY=-614-3125-1-327-244=1255；

X=KY=-614-3125-1-3501675=16169；

X=KY=-614-3125-1-321035=1470。

這樣原來的信息編碼為14，15，19，12，5，5，16，16，9，14，7。

第三步，對照編碼表，即可獲得對方發來的信息內容為“NOSLEEPPING”。

三、希爾密碼算法安全性分析

不難看出，希爾密碼算法中有兩個非常重要的條件。第一個條件是字符（信息）與數字對應表，當加密矩陣的階數n（本文實例中的加密矩陣的階數n=3）越大，破譯的難度就會增大，此時計算量也大，我們可以借助有關數學軟件如Mathematica提高運算效率。第二個條件是加密矩陣，如何定義、求解這個矩陣對于密碼的加密和破譯至關重要。

從破譯密碼的角度來看，傳統的密碼有一個致命弱點，就是破譯者可從統計出來的字符頻率中找到規律，進而找出破譯的突破口，尤其是在計算機技術高度發達的今天，破譯的速度更快。希爾密碼算法則完全克服了這一缺陷，它通過采用線性代數中的矩陣乘法運算和逆運算，能夠較好地抵抗頻率分析，很難被攻破。

希爾密碼體系為破譯者至少設置了三道關口，加大了破譯難度。破譯希爾密碼的關鍵是猜測文字被轉換成幾維向量（列矩陣的行數）、所對應的字母表是怎樣排列的，更為重要的是要設法獲取加密矩陣A。要破解密碼，向量的維數、字母的排列表和加密矩陣三者缺一不可。古今中外的諜報戰中，敵對雙方總是千方百計地獲取破解對方密碼的鑰匙，但要想獲取希爾密碼的三把鑰匙談何容易。

世界上沒有攻不破的密碼，希爾密碼也不例外。希爾密碼算法的缺點在于線性變換的安全性很脆弱，易被攻擊擊破，黑客正是利用各種密碼的弱點來向用戶頻頻發起攻擊的。盡管如此，希爾密碼仍不失為一種簡便高效的密碼。

參考文獻：

［1］王育民，劉建偉.通信網的安全——理論語技術［M］.西安電子科技大學出版社，1999：39-40.

［2］姚慕生，高汝熹.高等數學（二）第一分冊線性代數［M］.武漢大學出版社，1999：74-75.