函數(shù)奇偶性小議

函數(shù)奇偶性作為函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，其地位毋庸置疑。對(duì)于函數(shù)f（x）定義域中的任意一個(gè)x，若有f（-x）=f（x），則f（x）為偶函數(shù)；若有f（-x）=-f（x），則f（x）為奇函數(shù)。簡(jiǎn)單的一個(gè)定義，卻蘊(yùn)含著豐富的內(nèi)容。

一、定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件，然而這一點(diǎn)卻往往被許多學(xué)生所忽略。

例1：判斷下列函數(shù)的奇偶性：

（1）f（x）=x+1（x≥0）；（2）f（x）=。

解析：（1）由于函數(shù)定義域?yàn)椋?，+∞），沒有關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。

（2）此題若忽略了函數(shù)定義域而直接求f（-x），則很難與f（x）進(jìn)行比較判斷，最后甚至誤認(rèn)為是非奇非偶函數(shù)。事實(shí)上，函數(shù)定義域?yàn)椋?2，0）∪（0，2］，滿足關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，此時(shí)函數(shù)可進(jìn)一步化簡(jiǎn)為f（x）==，易知有f（-x）=-f（x），故函數(shù)為奇函數(shù)。

例2：偶函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋╧，2k+3），則函數(shù)g（x）=（k+2）x+（k-1）x+3的單調(diào)遞減區(qū)間為 。

解析：f（x）既是偶函數(shù)，則其定義域必關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，于是k+2k+3=0，得k=-1，從而g（x）=x-2x+3，單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，1］。

二、函數(shù)奇偶性除了注意其定義域之外，判定時(shí)也應(yīng)注意形式多變，方法多樣，只有做到對(duì)癥下藥，解題時(shí)才可以得心應(yīng)手。

例3：判斷下列函數(shù)的奇偶性：

（1）f（x）=；（2）f（x）=log（-x）。

解析：（1）易知函數(shù)定義域?yàn)镽（滿足關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱），若直接求f（-x），再與f（x）進(jìn)行比較判斷，則容易陷入解題僵局，導(dǎo)致半途而廢。事實(shí)上，f（-x）+f（x）=+==0，即f（-x）=-f（x），故f（x）為奇函數(shù)。

（2）函數(shù)定義域?yàn)镽（滿足關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱），且f（-x）=log（+x）=log=log=log（-x）=-log（-x）=-f（x），故f（x）為奇函數(shù)。

注：第（1）題應(yīng)注意函數(shù)奇偶性定義的等價(jià)形式的應(yīng)用：f（-x）=±f（x）?圳f（-x）±f（x）=0?圳=±1（f（x）≠0）；第（2）題則應(yīng)注意分子有理化在根式化簡(jiǎn)中的應(yīng)用。

例4：定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：對(duì)任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）-f（y），證明函數(shù)f（x）為偶函數(shù)。

解析：對(duì)抽象函數(shù)奇偶性的說(shuō)明仍需比較f（-x）與f（x）的關(guān)系，依題意，令x=y=0，可得f（0）=0，再令y=-x，則f（0）=f（x）-f（-x）=0，即f（-x）=f（x），所以f（x）為偶函數(shù)。

三、函數(shù)奇偶性有著較多的性質(zhì)，在解題中有著廣泛靈活的運(yùn)用。

例5：已知函數(shù)f（x）=log（x+）是奇函數(shù)，則a的值為 。

解析：若直接采用f（-x）=-f（x）兩邊進(jìn)行比較求解，很難得出結(jié)果。

方法一：采用等價(jià)變形f（-x）+f（x）=0，可得log（-x）+log（x+）=log［（-x）（+x）］=0，則log2a=0，即a=±，由于a＞0且a≠1，故a=。

方法二：利用奇函數(shù)的性質(zhì)f（0）=0（當(dāng)x=0時(shí)函數(shù)有意義），即得：log=0，即a=±，由于a＞0且a≠1，故a=。

例6：若f（x）為奇函數(shù)，且在（-∞，0）內(nèi)是增函數(shù)，又f（-2）=0，則xf（x）＜0的解集為（）。

A.（-2，0）∪（0，2）B.（-∞，-2）∪（0，2）

C.（-∞，-2）∪（2，+∞）D.（-2，0）∪（2，+∞）

解析：本題可根據(jù)題設(shè)條件先作出函數(shù)f（x）在（-∞，0）內(nèi)的大致圖像，如上圖，由對(duì)稱性（奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）及單調(diào)性（在（-∞，0）內(nèi)是增函數(shù)）得出f（x）在（0，+∞）的圖像，如上圖。∵f（x）為奇函數(shù)，且f（-2）=0，∴f（2）=0。由圖像可知：當(dāng)-2＜x＜0時(shí)，f（x）＞0，∴xf（x）＜0；當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f（x）＜0，∴xf（x）＜0。故不等式xf（x）＜0的解集為（-2，0）∪（0，2），答案選A。

例7：設(shè)f（x）是奇函數(shù)，g（s）是偶函數(shù)，且f（x）-g（x）=x-x，求f（x）與g（x）的表達(dá)式。

解析：依題意，令h（x）=f（x）-g（x）=x-x①

于是h（-x）=f（-x）-g（-x）=x+x，

又f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），所以有-f（x）-g（x）=x+x②

①+②可得：g（x）=-x，①-②可得：f（x）=-x。

總之，函數(shù)奇偶性作為函數(shù)的重要內(nèi)容，在高中數(shù)學(xué)具有舉足輕重的地位。充分挖掘出定義的內(nèi)在要素，掌握題目要領(lǐng)，及時(shí)進(jìn)行歸納總結(jié)，在今后的解題中往往可以取得事半功倍的效果。