新課標下的數學“例題解后反思”教學初探

摘要：本文從“變換條件尋找解題的方法規(guī)律”、“分析解題中出錯的原因”、“分析解題中運用和學到了什么數學和其他知識”、“分析例題中蘊含的數學思想”、“激發(fā)學生學習興趣”五個方面闡述了進行例題解后反思的必要性。

關鍵詞：新課標；解題方法；思路

我們常有這樣的困惑：對于一種典型例題，教師已經講過，而且是講了許多遍，可是學生見到相同類型的題目還是不會做，也常聽見有的教師這樣埋怨：這么簡單的題，又復習了這么長時間，考試成績卻依然不盡人意，學生簡直是笨死了。這應該引起我們的反思了。當然，出現上述情況涉及方方面面，其中有學生基礎的問題，但我們在教課過程中有沒有問題呢？傳統的例題教學，學生只是被動的聽，只注重教科書中所提供的數學題目的計算和解答就行了。學習難免生吞活剝、一知半解、似懂非懂，甚至有些只是簡單的模仿。很多時候教師在講解例題時也只是就題論題，講完之后就結束了，解后并沒有引導學生對例題進行反思、挖掘，因而學生的學習也就停留在例題表層，出現上述情況也就不奇怪了。在以素質教育為核心，大力推進學生合作、交流、主動探索的今天，更應注重學生個體的發(fā)展，這就要求教師要注重實際，因材施教。要想達到這一目的，對數學例題教學的反思就是一種行之有效的辦法。數學的例題是知識由產生到應用的關鍵一步，解題教學是數學教育中最有效、最常用的手段之一，即所謂“拋磚引玉”，是數學學習中重要的必不可缺的環(huán)節(jié)。深入的例后反思會引發(fā)學生積極主動的探索、研究，使學生不斷總結提升，體驗到成功的喜悅。

孔子云：學而不思則罔?！柏琛奔疵曰蠖鴽]有所得，把其意思引申一下，我們也就不難理解例題教學為什么要進行解后反思了。解后反思是一個知識小結、方法提煉的過程；是一個吸取教訓、逐步提高的過程；是一個發(fā)展思維的過程。具體的數學問題解決只有通過反思才能概括出普遍適用的條件化、策略化知識。從這個角度上講，例題教學的解后反思應該成為例題教學的一個重要內容。在課程改革的過程中，筆者在例題的講后反思方面作了一些探索與嘗試，下面就教改過程中的一些做法談一些粗淺的意見：

一、在解題的方法規(guī)律處反思，思考變換問題條件將如何解決問題

“例題千萬道，解后拋九霄”難以達到提高解題能力、發(fā)展思維的目的。善于作解題后的反思、方法的歸類、規(guī)律的小結和技巧的揣摩，再進一步作一題多變，一題多問，一題多解，挖掘例題的深度和廣度，擴大例題的輻射面，無疑對能力的提高和思維的發(fā)展是大有裨益的。

例如：已知等腰三角形的腰長是4，底邊長為6，求周長（原例題）。我們可以將此例題進行一題多變。

變式一：已知等腰三角形一腰長為4，周長為14，求底邊長。(這是考查逆向思維能力)

變式二 ：已等腰三角形一邊長為4，另一邊長為6，求周長。（前兩題相比，需要改變思維策略，進行分類討論）

變式三：已知等腰三角形的一邊長為3，另一邊長為6，求周長。(顯然“3只能為底”否則與三角形兩邊之和大于第三邊相矛盾，這有利于培養(yǎng)學生思維嚴密性)

變式四：已知等腰三角形的腰長為x，求底邊長y的取值范圍。

變式五：已知等腰三角形的腰長為X，底邊長為y，周長是14。請先寫出兩者的函數關系式，再在平面直角坐標內畫出兩者的圖象。(與前面相比，要求又提高了，特別是對條件0﹤y﹤2x的理解運用，是完成此問的關鍵)

通過例題的層層變式，學生對三邊關系定理的認識又深了一步，有利于培養(yǎng)學生從特殊到一般，從具體到抽象地分析問題、解決問題的能力；通過例題解法多變的教學則有利于幫助學生形成思維定勢，而又打破思維定勢；有利于培養(yǎng)思維的變通性和靈活性。

二、分析解題過程中出現錯誤的原因，提出改進措施，明確正確的解題思路和方法

學生的知識背景、思維方式、情感體驗往往和成人不同，而其表達方式可能又不準確，這就難免有“錯”。例題教學若能從此切入，進行解后反思，則往往能找到“病根”，進而對癥下藥，常能收到事半功倍的效果。

計算是初一代數的教學重點也是難點，如何把握這一重點，突破這一難點，各老師在例題教學方面可謂“千方百計”。例如在講完冪的性質，進入下一階段——單項式、多項式的乘除法時，筆者就設計了如下的兩個例題：

(1)請分別指出(-2)²，-2²，-2^-2，2^-2的意義；

(2)請辨析下列各式：

① a²+a²=a⁴ ②a⁴÷a²=a⁴÷2=a²

③-a³ #8226;(-a)² =(-a)³⁺² =-a⁵

④(-a)⁰÷a³=0⑤(a-2)3#8226;a=a^-2+3+1=a²

解后便引導學生進行反思小結。

(1)計算常出現哪些方面的錯誤?

(2)出現這些錯誤的原因有哪些?

(3)怎樣克服這些錯誤呢?

學生各抒己見，針對各種“病因”開出了有效的“方子”。實踐證明，這樣的例題教學是成功的，學生在計算的準確率、計算的速度兩個方面都有極大的提高。

三、引導學生反思自己通過解決問題學到了什么新知識，運用了哪些數學知識

例如：在初二第一學期總復習中，我設置了一道例題：

去年某省將地處A、B兩地的兩所大學合并成立了一所綜合性大學，為方便A、B兩地師生的交往，學校準備在相距2公里的A、B兩地之間修筑一條公路（即圖中的線段AB），經測量，在A地的北偏東60°方向，B地西偏北45°方向C處有一個半徑為0.7公里的公園，問計劃修筑的公路會不會穿過公園？為什么？

講完后啟發(fā)學生對題目的解題過程進行反思，出示反思題目：請學生再看看例題的解題過程，特別要注意在解題過程中數學方法和知識的歸納概括，通過反思你能發(fā)現什么？在教師的引導下，學生總結出：（1）它有一個實際問題作背景； （2）本題的實質是勾股定理知識的應用；（3）用到了方程的知識；（4）在解方程的過程中用到了實數的運算；(5)用到了幾何知識：垂線段最短；（6）用到了方位角的概念；（7）本題的解法中既運用了幾何知識又運用了代數知識。老師反思結論，就是把實際問題幾何化，幾何問題方程化，而列方程的根據正好是剛學過的勾股定理，解方程又運用了實數的運算。通過對例題的深入剖析，學生對解決這類問題的思路更加清晰了，并把本學期所學的各章知識得以回顧。

四、反思過程應激發(fā)學生學習興趣，引發(fā)學生繼續(xù)探索的強烈欲望

在新課程標準下，數學學習不再是單一的、枯燥的、被動學習和練習為主的方式，它應是一個充滿生命力的過程。

例如:在講解有理數的乘方時，講解了例題：一張厚度為0.1mm的紙，如果將它連續(xù)對折20次會有多厚？有幾層樓高？當經過計算得出105米的結論時，學生非常驚訝，真的嗎？太神奇了！課后，教師布置了家庭作業(yè)：自己設計或尋找一道生活中運用乘方運算的趣題并解答。學生習慣了被動地完成老師留下的作業(yè)，聽到要讓自己出題后，興趣一下子被調動了起來。在第二天的學生作業(yè)中，就出現了許多連老師也想不到的習題。例如：流傳久遠的俄羅斯趣題“路上走著7個老頭，每個老頭拿著7根手杖，每根手杖上有7個樹杈，每個樹杈上掛著7個竹籃，每個竹籃里有7個竹籠，每個竹籠里有7個麻雀，問總共有多少麻雀？”；“一根面條，兩頭捏合在一起，然后拉伸，再捏合，再拉伸，反復幾次，問捏到第7次時，可拉出幾根面。”以及老師熟悉的細胞裂變，原子核裂變，驚人的老鼠繁殖問題，國王獎勵發(fā)明國際象棋的大臣麥子問題等，令老師看后興奮不已。老師抓住了學生對例題的“驚訝”，及時留下開放性作業(yè)，使學生對例題的反思得以在課后轟轟烈烈地進行，極大地激發(fā)了學生的求知欲，使學生體驗到了探索的樂趣，真正發(fā)揮出了學生的主動性，為學生更深入地訓練數學思維提供了動力和方向，使數學思維活動持續(xù)不斷地向前發(fā)展。

五、在例題教學后，反思其中滲透的數學思想和方法

《新課程標準》中指出：教師應激發(fā)學生的學習積極性，向學生提供充分從事數學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗。學生是數學學習的主人，教師是數學學習的組織者、引導者與合作者。數學思想和方法是數學知識的精髓，又是知識轉化為能力的橋梁。在初中數學教材中集中了大量的優(yōu)秀例題和習題，它們所體現的數學知識和數學方法固然重要，但其蘊涵的數學思想卻更顯重要，作為一個執(zhí)教者，要善于挖掘例題、習題的潛在功能。在滲透數學思想、方法的過程中，教師要精心設計、有機結合，要有意識地潛移默化地啟發(fā)學生領悟蘊含于數學之中的種種數學思想方法，切忌生搬硬套，和盤托出，脫離實際等錯誤做法。

總之，有效的例題反思，能培養(yǎng)學生分析問題解決問題的能力，使學生所學的知識融會貫通，激發(fā)學習興趣，滲透數學思想，提高學生的數學素養(yǎng)，教師在日常教學中要注重對例題教后的反思，這樣的教學會起到事半功倍的效果。