菜花\\大自然與分形

在我知道“分形理論”之前的日子里，菜花不過(guò)是一種美味而營(yíng)養(yǎng)的蔬菜。如今，我每次見(jiàn)到菜花都會(huì)有點(diǎn)瞬間走神——沒(méi)錯(cuò)，我又是愣在那里感嘆分形理論的絕妙巧思，感嘆自然世界的極致美感。

分形理論，于1975年由美籍著名學(xué)者曼德勃羅創(chuàng)立，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)新分支。“分形”的一大特點(diǎn)是“自相似性”，而對(duì)于并非數(shù)學(xué)專業(yè)的普通人來(lái)說(shuō)，最直觀的理解方式莫過(guò)于觀察植物。比如說(shuō)隨處可見(jiàn)，又可進(jìn)行動(dòng)手實(shí)驗(yàn)的菜花，就是非常好的理解對(duì)象。當(dāng)你把菜花買回家中，它是一整顆，結(jié)結(jié)實(shí)實(shí)，白白脆脆，但下鍋之前，你一定會(huì)將其掰成一小朵一小朵。此時(shí)，自相似結(jié)構(gòu)就顯露出來(lái)，那“一小朵”與“一整顆”是多么相似啊，除了大小不同，幾乎是彼此的翻版。若你將整顆菜花與一小朵菜花放在沒(méi)有參照物的背景中分別拍攝兩張照片，估計(jì)還真難分出誰(shuí)是“老大”。

自然界中的分形結(jié)構(gòu)非常多見(jiàn)，比如人腦皮層、毛細(xì)血管分布、樹(shù)木枝干生長(zhǎng)、葉子脈絡(luò)等等結(jié)構(gòu)，因此分形理論也被譽(yù)為大自然的幾何學(xué)。對(duì)于分形理論的開(kāi)創(chuàng)性意義，美國(guó)著名物理學(xué)家惠勒還有驚人之語(yǔ)：“今后誰(shuí)不熟悉分形，誰(shuí)就不能被稱為科學(xué)上的文化人。”

發(fā)現(xiàn)“碎片”中的規(guī)律

1973年，曼德勃羅在法蘭西學(xué)院的課堂上，首次提出了分維和分形幾何的設(shè)想。但分形(Fractal)一詞的產(chǎn)生卻是在兩年之后的一個(gè)夏日夜晚。那天，夜色如水，這般寂靜時(shí)刻是最適合冥思苦想的，曼德勃羅任思緒漫延，并隨手翻動(dòng)他兒子的拉丁文字典，突然想到用Fractal概括他的最新理論。此詞源于拉丁文形容詞fractus，對(duì)應(yīng)的拉丁文動(dòng)詞是frangere(破碎)。此外與英文的fraction(碎片)及fragment(碎片)擁有相同的詞根。曼德勃羅是想用此詞來(lái)描述自然界中一大類復(fù)雜無(wú)規(guī)則的幾何對(duì)象，而這是傳統(tǒng)歐幾里德幾何學(xué)所不能描述的。例如，起伏不平的山脈、曲折復(fù)雜的海岸線、白衣蒼狗的浮云、九曲回腸的河流、橫縱交疊的血管、布滿繁星的夜空等。直觀地說(shuō)，這些對(duì)象都是分形。它們所呈現(xiàn)的曲線是極不規(guī)則或極不光滑的，但我們又對(duì)它們有所判斷，比如看到手繪的“山”的圖畫，我們不會(huì)錯(cuò)認(rèn)為是河流，說(shuō)明除了不規(guī)則之外，其中還有“規(guī)則”可循。

而對(duì)于“規(guī)則”的發(fā)現(xiàn)過(guò)程還要追溯到更早的1960年。曼德勃羅在研究棉價(jià)變化的長(zhǎng)期形態(tài)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了價(jià)格在大小尺度間的對(duì)稱性。在對(duì)尼羅河水位和著名的“英國(guó)海岸線”的數(shù)學(xué)分析中，同樣發(fā)現(xiàn)類似規(guī)律。經(jīng)過(guò)大量研究之后，他發(fā)現(xiàn)了“大自然的秘密”——自然界中很多現(xiàn)象從標(biāo)度變換角度表現(xiàn)出的對(duì)稱性。他將這類集合稱作自相似集，其嚴(yán)格定義可由相似映射給出，我們則可以通過(guò)上文中“菜花的故事”對(duì)“自相似集”進(jìn)行形象的理解。曼德勃羅認(rèn)為，傳統(tǒng)歐幾里德測(cè)度不能刻畫這類集的本質(zhì)，轉(zhuǎn)向維數(shù)的研究，發(fā)現(xiàn)維數(shù)是尺度變換下的不變量，主張用維數(shù)來(lái)刻畫這類集合。1975年，曼德勃羅第一部分形幾何著作，也是20世紀(jì)突破歐幾里德幾何之作《分開(kāi)：形狀、機(jī)遇和維數(shù)》出版。分形幾何建立以后，引起了許多學(xué)科的關(guān)注，因?yàn)樗粌H在理論上，而且在實(shí)用上都具有重要價(jià)值。

“知識(shí)流浪漢”的大眾科學(xué)

近代的數(shù)學(xué)和物理遠(yuǎn)離民眾的“生活世界”，它們以理想的狀態(tài)呈現(xiàn)，規(guī)則的點(diǎn)、線、面是科學(xué)家眼里理想的研究對(duì)象。然而，自然界里幾乎沒(méi)有理想對(duì)象，例如，地球不是球體，山嶺不是錐體，海岸線不是圓周，閃電也不沿著直線傳播。傳統(tǒng)科學(xué)家們“嚴(yán)肅冷酷，枯燥乏味”的研究工作無(wú)人理解。曼德勃羅的分形理論仿佛是科學(xué)與民眾之間的一道瑰麗彩虹，讓彼此兩岸連接成一。

他的獨(dú)特成就也與其人生經(jīng)歷密切相關(guān)。作為哈佛大學(xué)的“數(shù)學(xué)實(shí)踐講座”教授的曼德勃羅，高中畢業(yè)后，沒(méi)考大學(xué)，選擇了過(guò)流浪生活，他“拎著一些破舊而過(guò)時(shí)的書籍，以他自己的方式學(xué)習(xí)著，自我猜測(cè)著許多事情，做任何事均不采取理性或者半理性的方式”。自稱為“知識(shí)的流浪漢”的曼德勃羅其研究方法更是獨(dú)具特色，他從不追趕前沿，而喜歡收集過(guò)期刊物，從中發(fā)現(xiàn)未被重視的真知灼見(jiàn)，在故紙堆中成就創(chuàng)新理論，真可謂“溫故而知新”的超級(jí)典范。

分形理論作為“科學(xué)另類”的研究成果，最初受到科學(xué)界的拒絕，之后卻成為一門橫斷學(xué)科，廣受歡迎。比如物理學(xué)中的布朗運(yùn)動(dòng)：在顯微鏡下觀察落入溶液中的一粒花粉，會(huì)看見(jiàn)它不間斷地作無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)(布朗運(yùn)動(dòng))，這是花粉在大量液體分子的無(wú)規(guī)則碰撞(每秒鐘多達(dá)十億億次)下表現(xiàn)的平均行為。布朗粒子的軌跡，由各種尺寸的折線連成。只要有足夠的分辨率，就可以發(fā)現(xiàn)原以為是直線段的部分，其實(shí)由大量更小尺度的折線連成。對(duì)于折線連成的圖形，正是分形理論研究的對(duì)象，這無(wú)疑可以為研究布朗運(yùn)動(dòng)提供有效的計(jì)算模型。在物理學(xué)界，還將分形用于湍流和臨界現(xiàn)象；在生物學(xué)中，分形理論被用于分析細(xì)胞生長(zhǎng)；在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域，分形則能分析股票價(jià)格走勢(shì)……

對(duì)于普通民眾，分形更以藝術(shù)的形式與他們進(jìn)行形象、親切以及美的溝通。分形視覺(jué)藝術(shù)、分形音樂(lè)成為很多計(jì)算機(jī)藝術(shù)家探索的新領(lǐng)域。就連年輕人的T恤衫和街邊的海報(bào)上，也畫滿了分形圖案。只要你將分形藝術(shù)輸入搜索引擎，你就會(huì)看到極其瑰麗多姿，令人驚嘆的美麗畫面。曼德勃羅特別開(kāi)心地表示，“科學(xué)不是被人保存在牛津劍橋或是常春藤學(xué)校里的，科學(xué)是給大眾的。”

分形，如果用復(fù)雜的數(shù)學(xué)符號(hào)去解釋，恐怕令很多普通人望而卻步，但當(dāng)我們?cè)跍?zhǔn)備晚餐、切開(kāi)菜花的時(shí)候，想想關(guān)于自然世界的美妙構(gòu)造，想想溝通科學(xué)，想想自然與大眾的科學(xué)家曼德勃羅的可愛(ài)性情，似乎科學(xué)也在萬(wàn)家燈火與誘人飯香中散發(fā)出了親切的氣息。

責(zé)任編輯 林京