有效利用數學課堂學習中的錯誤

1 問題的提出

在課堂教學中，教師反復強調的地方，學生還是會重復犯錯. 教學經驗豐富的教師，在教學預設的過程中，對學生可能出現的種種錯誤和易錯點作了充分的估計，但他們在課上更想做的是避免學生犯某些錯誤，以確保課堂教學的順暢. 這樣的做法是否正確呢，在課堂教學中，教師是應該盡量避免學生犯錯，還是應該讓學生充分暴露出他們的錯誤，有效利用學生的錯誤呢?

教育心理學中的很多觀點給了我們答案. 認知心理學派認為:錯誤是學習的必然產物，學生的知識背景、思維方式、情感體驗、表達形式往往和成人截然不同，他們在學習過程中出現各種各樣的錯誤是十分正常的.

建構主義的觀點認為，學生在數學課堂教學中出現錯誤是不可避免的，出現錯誤是學生學習數學的一個必不可少的環節. 那么，對待學生的錯誤，教師應該持有合理的和科學的錯誤觀(Labinowicz，1985). 因此我們應該重視教師對待學生錯誤的方式. [1]

心理學家蓋耶認為:“誰不考慮嘗試錯誤，不允許學生犯錯誤，就將錯過最富成效的學習時刻. ”教師要以一顆“寬容心”去對待學生在學習中出現的錯誤，有效利用學生所犯的數學錯誤，讓學生正確對待自己的錯誤，從糾錯中不斷完善自身的知識結構.[2]

從以上理論我們可以看出，出現錯誤是學生學習數學的一個必經階段，教師應該做的不是避免學生出錯，而是如何恰當的對待學生的錯誤，使學生出現的錯誤成為寶貴的課堂教學資源.

2 概念界定

何為錯誤呢?在哲學領域中將錯誤定義為主體與客體規律不相一致的認識或者實踐. 對于錯誤，《辭海》上的解釋是“過錯，不正確”，因此我們看出，錯誤是相對于“正確”這個概念而言的. 所謂正確，是指“符合實際或客觀標準”. 而對“符合實際或客觀標準”則有著不同的理解.[3]

數學學習錯誤指教師在教學中和學生在學習過程中，反映在各方面，出現違反教學結論或數學方法的現象.[4]

鑒于數學學習錯誤的范圍較廣，因此本文中筆者將重點定位于學生在數學課堂上所出現的錯誤. 通過一段時間的課堂觀察，分析了課堂上教師對待學生錯誤的方式，提出了自己的教學建議.

3 教師對待學生錯誤的方式

通過有目的的課堂觀察，發現課堂上教師對待學生的錯誤，有以下幾種可取的做法.

案例1:教師要通過學生所犯錯誤反思自己的教學

有一次聽一位老師講授圓周角，她在引入時問學生:“如圖，假如AB代表球門，你會選擇從C處射門還是從D處射門. ”她的本意是讓學生思考∠ACB和∠ADB哪個角大，就從哪個角射門，從而引出本節課的課題圓周角，以及比較圓周角和圓內其余角的大小. 有的學生的答案是從兩處射門都可以，因為這兩點到球門的距離相等. 還有的學生說會從C處射門容易，因為從D處射門守門員將更好防守. 學生的這些答案讓老師不知所措，她只好說學生錯誤理解了她的意思，應該是從哪里射門的角度更大就從哪里射門.

通過這一案例我們不難發現，學生的回答并不是完全沒有道理的. 只是那些都不是老師想要的答案. 因此我們必須首先意識到，課堂上的這些問題不能完全歸咎于是學生的錯誤，并不是和老師的答案不一致的就一定是錯誤的. 教師應該通過此類錯誤首先反思自己的教學，學生們為什么會答出“錯誤”的答案，而這些答案又具有一定的道理. 本節課的引入教師設計的很好，從學生感興趣的實際問題出發，引出圓周角的定義，還可以在后面引出同弧所對的圓周角相等后，再回到此題，通過比較同弧所對的圓周角和∠ADB的大小，回答引入時提出的問題. 最終使本節課前后呼應，課堂引入留有懸念，發人深思. 但學生們并不知道本節課要學習的內容，不會想到要比較兩個角的大小是很正常的. 再加上老師的提問不夠嚴謹、準確，導致學生錯誤理解了老師的意思，使本節課引入的設計黯然失色. 因此當學生出現錯誤時，教師要首先反思自己，在自己身上查找原因. 可能是教師的提問不夠準確，也可能是教師對某些知識確實沒有講清楚或強調的不夠.

案例2:引導學生出錯，加深其印象

在新人教版七年級下冊數學教材《第六章平面直角坐標系》中，有一類題目學生經常容易出錯. 已知點P(n，-3)、點Q(5，m)，直線PQ平行y軸，求m，n的取值. 以往的學生大多數會認為n=5，m為任意實數. 因此在講授平行坐標軸的直線上的點的特點時，我并沒有直接告訴學生結論，而是想辦法引導學生出錯，并讓他們自己改錯，加深其印象. 在授課時，我先讓學生在平面直角坐標系中描出點(5，-3)、(2，-3)、(-1，-3)、(0，-3)、(3.7，-3)，后讓學生觀察這些點有什么特點，學生能發現他們都在一條平行x軸的直線上. 接著我會問他們平行x軸的直線上的點有什么特點，學生回答這些點的縱坐標相同. 總結了平行坐標軸的點的特點后，我出示此題，這樣有很多學生都掉進了“陷阱”. 當我告訴他們答案錯誤時，全班同學都十分驚訝. 我試著讓他們舉個反例，再提示他們這是“兩個”點所在的直線平行坐標軸. 有的學生便意識到此題中還要求m≠-3，這樣很多學生恍然大悟. 我進一步追問如果兩個點所在的直線平行x軸，那么這兩個點的坐標有什么特點?有的學生提到他們的縱坐標相同. 馬上有同學補充到不但縱坐標相同，還要求橫坐標不同，否則就成同一個點了. 這時我準備往后講，還有一個學生在舉手，他的回答給了我很大的啟發，他說不僅要求縱坐標相同，橫坐標不同，而且還要求縱坐標不為零，因為如果縱坐標為0，兩點就在x軸上了，而不是平行x軸. 我萬萬沒有想到學生會將平行坐標軸的兩點的特點補充的如此精確.

教育心理學中提到，使學生產生認知沖突是激發學生學習興趣的一個很好的教學策略. 認知沖突是指學生的原有認知結構與所學新知識之間無法包容的矛盾. 當學生得到某些不一致的結論時，他們會有進一步探索完善的欲望[1]. 因此教師可根據學生的這些心理特點，先引導學生“出錯”，激發學生的學習興趣，這樣將有助于學生進一步探究、完善所學知識，自己總結學習方法.

案例3:寬容對待學生的錯誤，分析其合理成分

在學習勾股定理時有一類題:已知直角三角形的兩邊長分別是3和4，那么第三邊的長是多少?學生經常容易出錯，他們會認為是5. 教師在聽到學生的這類錯誤時往往都很氣憤，尤其是當學生在這個知識點上重復犯錯時. 但認真分析便可發現，學生犯此類錯誤是有原因的，因為他們從小學就知道勾3股4弦為5，而上中學3、4、5又是最常見的勾股數，所以他們一看到3和4就固然會想到第三邊是5. 在數學中有很多學生所犯的錯誤都揭示了，學生的錯誤是有一定的合理成分的. 有的是學生已有知識的一種負遷移，如很多學生認為(a+b)²=a²+b²，其中有些學生是受所學乘法分配律的影響. 有的是因為學生沒有認識到定理、結論等成立的條件，如有的學生會根據x²=5x推出x=5，而忽視了等式性質中兩邊除以的數不能為0這一前提條件. 由此看出，教師不能忽視學生的錯誤，要分析學生產生錯誤的原因，這樣可以使學生認識到自己的錯誤原因所在，避免其重復犯錯.4 研究結論與教學建議 4.1 研究結論

通過有意識的觀察課堂上，學生出現的錯誤，分析學生錯誤產生的原因，以及教師對待學生錯誤的方式，我們可以得出以下結論:

(1)大多數教師接受“課堂上學生會犯錯誤”這一事實.

教師意識到出錯是學生學習知識的一個必經階段，因此大多數教師對待學生的錯誤比較理智.

(2)找到學生錯誤產生的原因是幫助學生改錯的關鍵，也是避免學生重復犯同一錯誤的根源所在.

(3)教師對學生錯誤的歸因不夠合理.

首先少數教師會分析學生錯誤的合理成分. 其次大多數教師將學生的錯誤歸因于學生本身，或知識，而少數教師認識到教師的水平，特別是教師的知識水平其實也是導致學生出錯的重要原因. 有研究結果表明，一部分教師自身在知識的掌握上也存在著一些問題. 如吳麗華、王艷梅[5]調查顯示20%的教師在較高觀點下理解教材內容有困難;29%的教師認為掌握新大綱和教材的內容、設計提問、講概念、揭示規律上有困難;5%的教師基本上不了解有關的數學史知識;39%的教師感覺到需要拓寬和加深學科知識.

(4)大多數教師非常重視對學生錯誤的糾正，但糾正形式欠佳.

很多教師糾正學生錯誤的形式是教師的直接糾正和其他同學的糾正，有很少一部分教師選擇讓學生自己糾正. 4.2

教學建議

(1)數學課堂上學生出現錯誤的原因與學生、知識、教師都可能有關系，因此教師應理智地對待學生的數學錯誤，不能單方面歸咎于學生. 要認真分析學生出錯的原因，特別是要反思自己的教學，發揮自己的主觀努力減少學生出錯的可能性.

(2)大多數教師不會無視學生的錯誤，但有相當一部分教師沒有認真分析學生的出錯原因，分析學生錯誤的合理成分. 大部分教師在對待學生錯誤的方式上還不夠完善. 有一項對15名教師的研究結果如下:

從表中可以看出當學生作業出現錯題時，教師經常的做法是讓學生自己改，或多做幾道題. 而教師的正確做法是首先分析學生錯誤產生的原因，幫助學生分析根源所在，教師要講清學生的錯誤，糾正錯誤，以便其改正錯誤，減少此類錯誤的出現次數.

(3)教師要讓學生在改錯的過程中處于主體地位，首先給學生顯露錯誤的機會，其次給學生認識錯誤的機會，最后給學生自己改正錯誤的機會.

(4)教師要對學生的錯誤進行適當的歸納、整理和總結，這樣才能有效利用這些錯誤，使之服務于教學.

參考文獻

[1]張大均.教育心理學[M].北京:人民教育出版社，2004.

[2]潘振嶸.嘗試錯誤——學習的“催化劑”[J].數學通報，2003，(9).

[3] 中國社會科學院語言研究所詞典編輯室.現代漢語詞典(2002年增補本)[M].北京:商務印書館，2002.5:1607.

[4]《數學辭海》編委會.數學辭海(第一卷)[M].山西教育出版社、東南大學出版社、中國科學技術出版社，2002.8.

[5]吳麗華，王艷梅.新課程背景下高中數學教師素質的調查與分析[J].數學通報，2006，(3):5.

[6]陳向明.質的研究方法與社會科學研究[M].北京:教育科學出版社，2006.

[7]周曉虹.現代社會心理學—多維視野中的社會行為研究[M].上海:上海人民出版社，1997.

[8]數學課程標準研制組.全日制義務教育數學課程標準解讀[M].北京:北京師范大學出版社，2002.

[9]周謙.心理科學方法學[M].北京:中國科學技術出版社，1994.

作者簡介吳萬嶺，女，北京人，1980年12月生，碩士，中教二級. 主要研究數學教育.