“等腰三角形”教學研究

說明 :本文以青島#8226;泰山出版社出版的《義務教育課程標準實驗教材#8226;數學》(七—九)(以下簡稱《教材》展開討論.

1 教材分析

八年級上冊第1章是“軸對稱與軸對稱圖形”，“等腰三角形”是本章第4節的內容.本節是在學習了軸對稱圖形、線段和角的軸對稱性的基礎上安排的.主要內容是:(1)通過探索活動認識到等腰三角形的軸對稱性;(2)在實際探索中發現等腰三角形的性質;(3)研究已知底邊和底邊上的高作等腰三角形的方法.

等腰三角形的軸對稱性及“兩個底角相等”、“三線合一”，是等腰三角形的重要性質，是今后證明角相等、線段相等及兩條直線垂直的重要依據.教材通過剪紙、折疊、觀察、思考等一系列的探究活動，在問題串的引導下，由學生發現并概括出這些性質，這都是要求學生必須牢固掌握的.

等邊三角形是等腰三角形的特殊情況，它除了具有等腰三角形的性質外，還具有自己的特殊性質:(1)有三條對稱軸;(2)每個角都等于60°.等邊三角形的性質實際上也是“等腰三角形的兩個底角相等”的問題，只是由于等邊三角形的三條邊都相等，所以它的三個內角也相等，再由三角形內角和定理，可推出它們都等于60°.

由于有關證明的知識教材安排在八年級下學期，所以教材中的例題1對“等邊三角形的每個內角都等于60°”采取了說明的方式，這個說理過程實際上是對這一結論的嚴格的推理證明.教材從本節開始，在例題、練習與習題中逐漸增加了說理訓練的要求，以便發展學生的推理能力，并且為八下學習的邏輯推理證明作必要的鋪墊.“挑戰自我”欄目中用正方形白紙折等邊三角形的問題，既是一個具有挑戰意義的問題，又是一個有趣的智力游戲.

已知底邊和底邊上的高作等腰三角形是尺規作圖問題，這個作法分四步:

(1)作線段AB，使AB=a;

(2)作線段AB的垂直平分線EF，交AB于點D;

(3)在射線DE上截取線段DC，使DC=h;

(4)連結AC、BC.

△ABC就是所求作的等腰三角形.

可見，上述作法實際上包含兩個基本尺規作圖問題:其中的(1)、(3)兩步是作一條線段等于已知線段，第(2)步是作已知線段的垂直平分線.

在對教材作以上分析的基礎上，可以確定出本節課的教學目標是:

1.經歷探索等腰三角形的性質的過程，掌握等腰三角形的軸對稱性、等腰三角形“三線合一”、等腰三角形的兩個底角相等等性質.

2.經歷探索等邊三角形的軸對稱性和內角性質的過程，掌握這個性質，并會作出合理的說明.

3.掌握已知底邊和底邊上的高用尺規作等腰三角形的方法.

教學重點:等腰三角形的性質.

教學難點:利用等腰三角形的性質說明“等邊三角形的每個角都等于60°”.

教學課時:2課時.

2 學情和學法分析

2.1 學生在學習中常見的認識誤區和思維障礙

(1)對等腰三角形的軸對稱性理解不深刻

關于等腰三角形的軸對稱性要求同學們做到全面理解，既要認識到它是軸對稱圖形，又要說出其對稱軸來，為此，同學們應明確以下兩點:①等腰三角形是軸對稱圖形;②等腰三角形的對稱軸是底邊的垂直平分線.對于第①點，同學們通過動手操作可以很容易發現，而對于第②點則往往出現認識、理解不深刻的現象，從而導致錯誤.常出現下面的錯誤認識“等腰三角形是軸對稱圖形，其對稱軸是底邊上的高”.

(2)不能正確理解“三線合一”的性質

等腰三角形的“三線合一”的性質是指等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高和底邊上的中線重合.這里的“線”都是指線段，對于這一點，初學的同學往往出現認識上的問題，如出現類似下面的錯誤判斷:

因為等腰三角形底邊上的中線也是底邊上的高，所以也是底邊上的垂直平分線.

事實上，在等腰三角形中，頂角平分線、底邊上的高和底邊上的中線是同一條線段，它垂直于底邊，而底邊的垂直平分線是垂直于底邊的直線，這是兩個不同的概念.

2.2 學法指導

(1)鼓勵學生自主探究，自己歸納、總結、發現等腰三角形的性質.對于等腰三角形的性質，教師可通過適當的素材(問題串)，給學生提供思考的空間，鼓勵學生自己獨立解答，然后進行相互交流，在相互交流中加深對等腰三角形性質的理解.

(2)引導學生在獨立思考的基礎上進行合作交流.為防止出現對等腰三角形的性質理解不深刻的現象，可在同學們總結、歸納出等腰三角形的性質后，給出一些判斷性的問題，讓學生去甄別真假.

(3)注重認識結構的優化.關于等腰三角形的概念在七年級下冊已經學過，學完等腰三角形的性質以后，引導學生進一步加深對等腰三角形有關概念的認識，以擴充學生原有的數學認識結構.

3 教學建議

全日制義務教育《數學課程標準(實驗稿)》(以下簡稱《標準》)指出:有效的數學學習活動不能單純地依靠模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式.所以，我們應下力氣改進學生的數學學習方式，本節內容是進行教學方式改革的良好素材.

3.1 注重實驗操作

《標準》指出:“學生的數學學習內容應當是現實的、有意義的、富有挑戰性的，這些內容要有利于學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數學活動.”等腰三角形的性質，是學生通過剪紙、折疊、觀察等活動，在對教材給出的一系列問題進行思考的基礎上概括出來的，所以，教學中要注重實驗操作.因為學生在動手實驗的基礎上，既能從中發現等腰三角形的性質，還能體驗到問題的結論和方法之間的精彩過程，以已有的知識和經驗為基礎進行積極“和諧”的建構過程，從而把新的學習內容正確地納入到已有的認知結構中去.

為了讓學生自主發現、得到等腰三角形的性質，教材是讓學生通過下面的實驗歸納得到的:如右圖，用紙剪一個等腰三角形ABC，將三角形對折，

使它的兩腰AB與AC重合，記痕跡與底邊BC的交點為D，

把紙展開后鋪平.思考下面的問題:

(1)等腰三角形ABC是軸對稱圖形嗎?

(2)∠BAD與∠CAD相等嗎?為什么?

(3)∠B與∠C相等嗎?為什么?

(4)折痕所在直線AD與底邊BC有什么位置關系?

(5)線段BD與線段CD的長相等嗎?

(6)你能總結一下折痕所在直線AD具有的性質嗎?

學生通過剪紙、折疊、觀察、思考等探究活動，在以上6個問題的引導下，能自主發現并概括出等腰三角形的軸對稱性及“兩個底角相等”、“三線合一”等重要性質，這是今后證明角相等、線段相等及兩條直線互相垂直的重要依據.

3.2 尊重學生的主體地位

在歸納等腰三角形性質的實驗中，“剪等腰三角形”是關鍵的一步，在這個活動中，教師應鼓勵學生獨立完成，如果學生在剪等腰三角形的過程中，遇到了困難，教師可給以提示和引導，在學生剪出等腰三角形，可讓學生總結出這一方法:

在紙上任意畫一個角A，在∠A的兩邊上用圓規分別截取AB和AC，使AB=AC.連結BC，沿AB，BC，CA剪下，就得到等腰三角形ABC.

3.3 使用合作交流的學習方式

對于問題(1)，先由學生自己思考、猜想，然后相互交流自己的看法，師生共同總結出等腰三角形的性質——等腰三角形是軸對稱圖形，等腰三角形的對稱軸是底邊的垂直平分線.這個性質包含兩部分，前面的部分說明等腰三角形是軸對稱圖形，后面的部分是說明對稱軸的位置或是怎樣形成的，這一點同學們往往不夠重視，從而出現這樣或那樣的錯誤.一個圖形的對稱軸是一條直線，既然等腰三角形是軸對稱圖形，就需要進一步明確對稱軸的位置.這條直線就是等腰三角形底邊的垂直平分線.一定要向同學們交代清楚等腰三角形的對稱軸是一條直線，而不是線段，這樣學生就不會誤認為等腰三角形的對稱軸是底邊上的中線了.

問題(2)—(5)反映了等腰三角形的“三線合一”和“底角相等”的性質.這些結論的獲得過程都可以采用合作交流的學習方式，可在學生充分思考、猜想、討論的基礎上，通過全班交流加以肯定.

在引導學生“已知底邊和底邊上的高用尺規作等腰三角形”時，應先引導學生回顧已經學過的四種基本尺規作圖，然后就本作圖題展開討論，通過交流使學生認識到:問題的關鍵是作出等腰三角形的三個頂點，在作出線段AB=a后，關鍵是確定頂點C的位置.

3.4 加強對學生推理能力的培養

《標準》認為推理能力主要表現在三個方面:(1)能通過觀察、實驗、歸納、類比等獲得數學猜想，并進一步尋求證據、給出證明或舉出反例;(2)能清晰、有條理地表達自己的思考過程，做到言之有理、落筆有據;(3)在與他人交流的過程中，能運用數學語言、合乎邏輯地進行討論與質疑.教材中的幾何內容是培養學生推理論證能力的主要素材.關于嚴格的證明問題，教材在八下才學習，但從本節課開始就應加強對學生推理能力的訓練.所以教材安排的例1實質上就是一道推理題，教學中宜分四步進行:(1)教師應鼓勵學生用自己的語言進行說明;(2)學生之間進行交流;(3)讓學生用合乎邏輯的語言完整的敘述出來;(4)教師嚴格的按照邏輯推理的格式加以板書.

在已知底邊和底邊上的高用尺規作出等腰三角形后，教師要引導學生明確作法的合理性:在作出的△ABC中，AB=a，CD⊥AB且CD=h，又因為點C在AB的垂直平分線上，所以CA=CB，從而△ABC就是所求作的等腰三角形.這個說明過程也包含著推理的過程，對培養學生的推理論證能力非常有益.

以上是我們對“等腰三角形”這一節課的備課研究，希望我們的研究能對教師的教學起一點拋磚引玉的作用，分析不到位的地方請讀者批評指正.