淺說數(shù)學(xué)分解的思維與方法

分解是人類思維活動中常用的思維與方法，在數(shù)學(xué)思維活動中，它表現(xiàn)為把一個數(shù)學(xué)對象的構(gòu)成元素、元素間的內(nèi)外關(guān)系、發(fā)展過程分解成不同的部分，借以分析問題、解決問題、表述問題的思維及方法.那這種分解的客觀基礎(chǔ)及切入點是什么，分解的原則是什么，在數(shù)學(xué)活動中又有哪些表現(xiàn)呢?

一、數(shù)學(xué)對象構(gòu)成特點的差異是數(shù)學(xué)對象能分解的客觀基礎(chǔ)及切入點

為什么能用分解的思維和方法解決數(shù)學(xué)當(dāng)中的問題呢?因為任一個數(shù)學(xué)對象，都是具有一定結(jié)構(gòu)性的事物，有著不同的構(gòu)成元素，元素間也有著不同的內(nèi)外關(guān)系，發(fā)展過程也存在著不同的階段性，有著多種多樣的表達(dá)形式，正是這些差異為分解數(shù)學(xué)對象提供了客觀基礎(chǔ)，使得分解數(shù)學(xué)對象成為可能.因此，我們對數(shù)學(xué)對象的分解就是對它的構(gòu)成元素、元素之間的關(guān)系，甚至數(shù)學(xué)對象的不同發(fā)展階段進(jìn)行分解.

例如，對于有理數(shù)集這個數(shù)學(xué)研究對象，它的構(gòu)成包括這個數(shù)集的一個個有理數(shù)以及它們個體之間的運算關(guān)系等.我們就可以從這些不同的側(cè)面分解出不同的結(jié)果.首先從構(gòu)成有理數(shù)集的元素——有理數(shù)來分解，有理數(shù)集可分為正有理數(shù)集、零及負(fù)有理數(shù)集.其次從元素個體間的運算關(guān)系來分解，有理數(shù)集的運算可分為加、減、乘、除、乘方以及大小比較等運算.或者從對有理數(shù)的認(rèn)識發(fā)展過程來分解，有理數(shù)集也可分為整數(shù)集與分?jǐn)?shù)集.

二、分解的科學(xué)性、集中性、簡明性是對數(shù)學(xué)對象分解的基本原則

1.科學(xué)性原則

對數(shù)學(xué)對象的分解必須依據(jù)數(shù)學(xué)概念、定理、法則，以確保分解的合理性及正確性.

2.集中性原則

對數(shù)學(xué)對象的分解中，必須使得數(shù)學(xué)對象的主要特征、條件信息等更為突出、更為集中.

3.簡明性原則

對數(shù)學(xué)對象的分解，越是簡單、明了越好，越能反映數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)及聯(lián)系，有利于問題的解決.

只有在分解數(shù)學(xué)對象的活動中，遵循以上的原則，才能使數(shù)學(xué)活動不但正確有效，而且簡便快捷.

三、數(shù)學(xué)分解的思維與方法

(一)分解數(shù)學(xué)對象的具體方法和技巧

常見的是利用代數(shù)式的概念、運算、公式、法則進(jìn)行恒等變形的分解.如:

1.數(shù)的分解

就是利用運算的定義、公式、法則把一個數(shù)表達(dá)成幾個數(shù)的代數(shù)式.如:

質(zhì)因數(shù)的分解:30=2×3×5;帶分?jǐn)?shù)分解:123=1+23=2-13.

帶分?jǐn)?shù)分解在分?jǐn)?shù)計算中的巧用:91819×15=(10-119)×15=150-1519=14969.

2.單項式的分解

就是利用單項式的定義、運算法則把一個單項式表達(dá)成幾個單項式的代數(shù)式的形式，如:10x2y=(2xy)#8226;(5x)=6x2y+4x2y等.

3.多項式分解常見的有因式分解及拆項分解.如:

x4-4x+3=x4-x-3x+3(拆項分解)

=x(x3-1)-3(x-1)(因式分解)

=x(x-1)(x2+x+1)-3(x-1)(因式分解)

=(x-1)(x3+x2+x-3)(因式分解)

=(x-1)[(x3-1)+(x2+x-2)](拆項分解)

=(x-1)[(x-1)(x2+x+1)+(x-1)(x+2)](因式分解)

=(x-1)2(x2+2x+3)(因式分解).

4.分式分解最常見的是把一個真分式分解為幾個形式更為簡單的既約真分式之和.如:

3x-9(x2-1)(x-2)+2x+1+1x-2

=x+5x2-1-1x-2+2x+1+1x-2

=3x-1-2x+1+2x+1

=3x-1.

用到了分式分解:3x-9(x2-1)(x-2)=x+5x2-1-1x-2=3x-1-2x+1-1x-2.

5.函數(shù)分解在有關(guān)數(shù)學(xué)函數(shù)的問題中，通?？蓪瘮?shù)的定義域、值域、解析式進(jìn)行分解.如化簡函數(shù):y=∣x-3∣-∣x+1∣.

解:

y=4，當(dāng)x≤-1時;2-2x，當(dāng)-1

6.方程及方程組的分解

在解高次方程及方程組時，有時可通過對方程及方程組的分解達(dá)到降次的目的.如解方程(組):

(1)x2-x-2=0.

解:(x-2)(x+1)=0，

x-2=0或x+1=0.

解之得:x=2或x=-1.

(2)x+y=1，x2-4y2=0.

解:方程可化為:

x+y=1，(x+2y)(x-2y)=0.

即x+y=1，x+2y=0，或x+y=1，x-2y=0.

解之得x=2，y=-1，或x=23，y=13.

7.解不等式中的分解

在解某些高次不等式時，通過對高次不等式分解進(jìn)行降次求解.如解不等式:

2x2-x-1<0.解:可分解為(2x+1)(x-1)<0，再分解、組合為:

2x+1<0，x-1>0，或2x+1>0，x-2<0.

8.數(shù)列求和中的分解

在求一些數(shù)列的和時，也可以分解數(shù)列的項，再重新組合進(jìn)行求和，如:

(1)拆項求和法求數(shù)列{an｝:11×2，12×3，13×4，…，1n×(n+1)的和.

解:Sn=11-12+12-13+13-14+…+1n-1n-1=1-1n-1.

(2)分組求和法求數(shù)列{an｝:2#8226;5，5#8226;8，…，(3n-1)(3n+2)的和.

解:Sn=2#8226;5+5#8226;8+…+(3n-1)(3n+2)

=Σnk=1(9k2+3k-2)

=9Σnk=1k2+3Σnk=1k-2n(分解成三個新數(shù)列和)

=9#8226;n(n+1)(2n+1)6+3#8226;n(n+1)2-2n

=n(3n2+6n+1).

其次，對幾何圖形的分解，在幾何問題中也是一種常見的方法與技巧.也就是把一個復(fù)雜的幾何圖形分解成一些簡單、易懂的圖形，從而使問題容易得到解決.

【例1】 如圖1，四邊形ABCD中，∠B=90°，AB=BC=2，CD=3，DA=1，

求四邊形ABCD的面積.

分析:顯然四邊形ABCD不能直接求其面積，采用分解圖形法，可連結(jié)BD或AC，但連結(jié)AC比連結(jié)BD分解出來的三角形已知條件更為集中，故連結(jié)AC更為簡便.

圖1

解:連結(jié)AC.

∵Rt△ABC中，AB=BC=2，

∴AC=22.

∵DA=1，

∴DA2+AC2=1+8=9，而CD2=9，

∴∠CAD=90°.

∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△CAD=12×22+12×22=2+2.

(二)分解數(shù)學(xué)對象的思維方法

在解決數(shù)學(xué)問題中，分解的基本思維方法就是分析數(shù)學(xué)對象的結(jié)構(gòu)特點，比較它與數(shù)學(xué)概念、運算、公式、法則的差異，確定分解思路，把復(fù)雜問題分解為簡單問題、高級問題分解為低級問題、陌生問題分解為熟悉問題，整體問題分解為部分問題，確保數(shù)學(xué)問題容易解決.

【例2】 化簡4+2102-3+5.

分析:如果用分母有理化方式進(jìn)行化簡，則計算過程太繁，改用約分方法化簡.需在分子上分解出分母“2-3+5”的因式，利用210=252、(3)2=(5)2-(2)2的分解創(chuàng)造條件，把分子“4+210”分解成(2+5-3)(2+5-3)，從而解決問題.

解:原式=4+2102-3+5

=4+(2+5)2-(2)2-(5)22-3+5

=(2+5)2-(3)22-3+5

=2-5+3.

【例3】 如圖2，∠C=∠EDB=90°，∠A=45°，∠E=30°，AB=DE=6，求四邊形DBCF的面積.

分析:四邊形DBCF不是平行四邊形及梯形，給出的條件不能直接求解四邊形的面積，可用分解的思維，把它分割成三角形面積來求.一是連結(jié)BF，分割成△BDF與△BFC.二是把四邊形DBCF看作是由△ABC分割出△ADF而形成.

圖2

解:在△EDB中，∵∠EDB=90°，∠E=30°，DE=6，

∴DB=DE#8226;tan30°=6×33=23.

∴AD=AB-DB=6-23.

又∵∠A=45°，

∴∠AFD=45°，得FD=AD.

∴S△ADF=12AD2=12(6-23)2=24-123.

在等腰直角三角形ABC中，斜邊AB=6，

所以S△ABC=14AB2=9.

∴S四邊形BCFD=S△ABC-S△ADF=9-(24-123)=123-15.

(三)分解在一般認(rèn)識論上的思維方法

我們把思維從數(shù)學(xué)問題再擴(kuò)大到一般問題時，就會發(fā)現(xiàn):當(dāng)一個問題作為整體難以解決時，采取分而治之的分解策略，往往會相對容易些.正如波利亞所說:“當(dāng)問題比較困難時，我們可能感到很有必要進(jìn)一步把問題再分為幾個部分，用某個新方式重新組合成某個新的更好解決的問題.”這種分而治之的思想已經(jīng)是具有指導(dǎo)意義的一般認(rèn)識論上的思維方法，它可以從問題本身、問題的條件、問題的外延、實現(xiàn)目標(biāo)的途徑等切入分解.

比如“泡茶”這個常見的生活問題.如何節(jié)省時間泡好一壺茶呢?

當(dāng)時的情況是:開水沒有，水壺要洗，茶壺茶杯要洗，火生了，茶葉也有了.怎么辦?

先把“泡茶”這件整體工作分而治之，分解成“洗水壺、燒開水、洗茶壺、洗茶杯、拿茶葉”五個流程，估算每個流程的時間，再組合成不同的方案進(jìn)行考察.如圖3:

圖3

方案一:洗好水壺，灌上涼水，放在火上;在等待水開的時間里，洗茶壺、洗茶杯、拿茶葉;等水開了，泡茶喝.

方案二:先做好一些準(zhǔn)備工作，洗水壺，洗茶壺茶杯，拿茶葉;一切就緒，灌水燒水;坐待水開了泡茶喝.

方案三:洗凈水壺，灌上涼水，放在火上;坐待水開;水開了之后，急急忙忙找茶葉，洗茶杯茶壺，泡茶喝.

哪一種辦法省時間?經(jīng)過把“泡茶”問題分解比較研究，當(dāng)然是方案一省時間.

圖4-1

【例4】 如圖4-1，有一塊邊角料，其中每個角都是直角，試用一條直線將其分成面積相等的兩部分.

分析:經(jīng)過矩形中心的任意一條直線可把矩形的面積兩等分，而這個圖形不是矩形，用整體思維不能解決這個問題.采用分解思維，把這個圖形分成兩個矩形來解決.有三種方法，分別找出分割后兩個矩形的中心，連結(jié)兩個中心的直線把它分成面積相等的兩部分，如圖4-2.

圖4-2

綜合上述，我們可以這樣認(rèn)為，數(shù)學(xué)中的分解思維與方法，既是一種具體的方法與技巧，也是一種數(shù)學(xué)思維，推廣至一般，更是一種思想.分解的具體方法與技巧是基礎(chǔ)，分解的數(shù)學(xué)思維是核心，分解的思想是靈魂.如果我們在學(xué)習(xí)中，抓住分解的核心數(shù)學(xué)思維去指導(dǎo)基礎(chǔ)的具體方法與技巧，則分解的具體方法與技巧在解決問題時就會隨心而生、信手拈來.如果能將分解的核心數(shù)學(xué)思維升華至一種思想靈魂，那么我們就能在知識的天空隨心翱翔!

參考文獻(xiàn)

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(責(zé)任編輯 金 鈴)