勝負之間 奧妙無窮

概率是高中數學新教材的新增內容，是概率論的最初步知識.學生在學習中最常遇到的概率問題就是勝負的問題.一方面，勝負問題在概率的起源中起了重要的推動作用，另一方面它能很好地考查學生對基本概念的理解和基本思想方法的掌握程度.

【例1】 甲投球投進的概率是0.8，乙投球投進的概率是0.6，各投3次，設每人都只投進2次的概率分別為a和b，則().

A.a>b B.a

很多學生不假思索選了A.

他們覺得甲投球的命中率明顯高于乙，均為3投2中，當然水平高的可能性大了.

果真如此嗎?

分析:甲、乙二人投球可看成相互獨立事件，投球3次可看成獨立重復試驗.

設事件A:甲3投2進;

設事件B:乙3投2進.

P(A)=P3(2)=C23×0.82×0.2=0.384，

P(B)=P3(2)=C23×0.62×0.4=0.432.

說明:甲的整體水平明顯高于乙，但并不是說在任何一種情況下，都是甲獲勝的可能性大.不要忘了，具體情況還要具體分析.

【例2】 甲、乙二支水平相當的球隊進行比賽，按三局兩勝制判定勝負，求甲隊獲勝的概率(在有些題目中還加上了條件:3局必須打完).

學生在討論后形成了以下兩種代表性意見:

(1)由于一場比賽中兩隊獲勝的概率均為12，

設事件A:甲隊獲勝.

將一局比賽看作一次試驗，那么三局比賽便可看作三次獨立重復試驗.甲獲勝，按“三局兩勝”制，在三次獨立重復試驗中，甲獲勝就是事件A至少發生兩次.

P(A)=P3(2)+P3(3)=C23×(12)2×12+C33×(12)3=12，

從而乙方獲勝的概率等于P(B)=12.

(2)如果采用三局二勝制，則甲在下列兩種情況下獲勝:甲凈勝兩局，比賽結果為2∶0;或前兩局中甲、乙各勝一局，第三局甲勝，比賽結果為2∶1，上述兩種情況互斥，故在三局兩勝制下甲獲勝的概率為:P(A)=(12)2+C12×(12)×(12)×(12)=12.

兩種情況的結論相同.

探究:在第二種解法中，不一定打完3場比賽，這對結果有沒有影響呢?

由于一場比賽中兩隊獲勝的概率均為12，結果可能是巧合.

不妨從一般情況來分析:

設一場比賽中甲隊獲勝的概率為p(0

按方法一:

P(A)=P3(2)+P3(3)=C23×(p)2×(1-p)+C33×(p)3=3p2-2p3.

按方法二:

P(A)=(p)2+C12×p×(1-p)×p=3p2-2p3.

當p=12時，即為剛才討論的情況.

這表明“三局兩勝”制是公平的比賽制度.是否一定打完3場比賽，即條件:3局必須打完，對于結果并沒有影響.

這時又有學生提出了一種解決方案，那些將信將疑的學生頓時恍然大悟.

用示意圖可分析如下:

用表示一場比賽中甲隊獲勝，用表示一場比賽中甲隊失敗.則:

解法一中的情形可表示為:

解法二中的情形可表示為:

顯然，

完全等價.在前兩場獲勝的情況下，第三場比賽打與不打一樣，均為甲隊獲勝，此為必然事件.真是山重水復疑無路，柳暗花明又一村.

按照同樣的思路，可說明:五局三勝或者2n+1局中先勝n+1局者勝，對于雙方是公平的，任何一方獲勝的概率均為12.在體育比賽中，一局定勝負，偶然因素較多，不能較好地展示雙方實力，故比賽組織者通常采用“三局兩勝”或“五局三勝”制決定勝負，既令參賽選手滿意，又能讓觀眾接受.

原本簡單的問題，竟隱藏著這么多的奧秘，這就是初等數學的魅力.

(責任編輯 金 鈴)