探究數學解題的切入點

數學解題的切入點是解題的關鍵，是進入數學空間的鑰匙.只有尋找到解題的切入點，學生才能結合目標確定思維方向，形成完整的解題思路.本文將幫助學生在解題過程中尋找切入點.

一、從已知條件中尋找切入點

已知條件是解題的材料，充分利用條件間的內在聯系，是解題的必經之路.

【例1】 (1)已知f(x)=lg(x2-ax+a)的定義域為R，求a的取值范圍.

(2)已知f(x)=lg(x2-ax+a)的值域為R，求a的取值范圍.

解析:(1)f(x)=lg(x2-ax+a)的定義域為R等價于x2-ax+a>0在R上恒成立，

即開口向上的拋物線y=x2-ax+a與x軸無交點.

所以Δ=a2-4a<0，解得0

(2)f(x)=lg(x2-ax+a)的值域為R等價于y=lgu(其中u=x2-ax+a)的圖象要完整無缺，

即u要能取遍全體正數，

所以拋物線u=x2-ax+a與x軸有交點，

即二次方程x2-ax+a=0有實根.

所以Δ=a2-4a≥0.

解得a≥4或a≤0.

解決本題的關鍵是從已知條件切入，通過聯想進行合理轉化，把抽象的已知具體化，把生疏的命題轉化為熟悉的命題，一步一步走向所求所證的結論.

二、整體分析尋找切入點

整體意識可由直覺得到解決，直覺不同于邏輯.直覺是綜合的而不是分析的，它側重于整體上把握對象而不拘泥于細節的邏輯分析，它重視元素之間的聯系、系統的整體結構，從整體上把握研究的內容和方向.

【例2】 解方程3x+4x=5x.

解析:因為3、4、5是一組勾股數，所以x=2是原方程的一個解.原方程等價于(35)x+(45)x=1.

令f(x)=(35)x，g(x)=(45)x，它們在R上都是單調減函數，

當x>2時，(35)x+(45)x<(35)2+(45)2=1，

即原方程無大于2的實數解.

同理，原方程無小于2的實數解.

即原方程的解為x=2.

此數學問題的解決，不能從解方程的常規思路入手，必須觀察方程的整體特點，從其整體形式的某一方面進行直觀地聯想，進而形成完整的解題思路.

三、比較對稱尋找切入點

對稱關系廣泛應用于數學問題之中，利用對稱性往往能更簡捷地解決問題.

【例3】 設f(x)是定義在R上的偶函數，且f(1+x)=f(1-x)，當-1≤x≤0時，f(x)=-12x，則f(8.6)= .

解析:f(x)是定義在R上的偶函數，

∴直線x=0是y=f(x)的對稱軸.

又∵f(1+x)=f(1-x)，

∴直線x=1也是y=f(x)的對稱軸.

故y=f(x)是以2為周期的周期函數，

即f(8.6)=f(8+0.6)=f(0.6)=f(-0.6)=0.3.

四、結構分析尋找切入點

某些問題的形式結構中常常隱含著某種特殊的數量關系、位置關系或因果關系.對結構進行分析、加工和轉化，是解題的突破點.

【例4】 如圖1，第n個圖形是由正n+2邊形“擴展”而來(n=1，2，3，…)，

則第n-2個圖形中共有 個頂點.

圖1

解析:第1個圖形是由(1+2=3)3邊形的每條邊中間“生出”一個小三角形，因此共有3+32個頂點;

第2個圖形是由(2+2=4)4邊形的每條邊中間“生出”一個小四邊形，因此共有4+42個頂點;

因此按圖形結構的變化的規律性有:

第n-2個圖形是由(n-2+2=n)n邊形的每條邊中間“生出”一個小n邊形，因此共有n+n2個頂點.

五、透過幾何形象尋找切入點

形象是數學問題的幾何形式，解題時要把握形象的本質特征，或賦予問題中的數量關系以幾何意義，借助圖象作出透徹的分析，從而找出解題途徑.

【例5】 已知A={x│0≤x2+ax+a≤1}有且只有一個元素，則a= .

解析:設y=x2+ax+a，它是一條開口向上的拋物線.如圖:

圖2-1 圖2-2 圖2-3

圖2-1中沒有一個x值能滿足不等式0≤x2+ax+a≤1，即A為空集.

圖2-2中有且只有x=x0能滿足不等式0≤x2+ax+a≤1，即A中只有一個元素x0.

圖2-3中在區間[x1，x2]上全部實數都滿足不等式0≤x2+ax+a≤1，即A中有無數個元素.

因此，命題等價于“開口向上的拋物線y=x2+ax+a的頂點恰好落在直線y=1上”，所以有ymin=4a-a24=1，得a=2.

六、分析結論尋找切入點

結論是解題的最終目標，解決問題的思維很多情形下都是在目標意識下啟動和定向的.審視結論，要探索已知條件和結論間的聯系與轉化規律，善于從結論中捕捉解題信息，確定解題方向.

【例6】 (2008，四川)設數列{an}的前n項和為Sn，已知ban-2n=(b-1)Sn.

(Ⅰ)證明:當b=2時，{an-n#8226;2n-1}是等比數列;(Ⅱ)求{an}的通項公式.

解析:(Ⅰ)從要證的結論“{an-n#8226;2n-1}是等比數列”切入，我們只需證明an+1-(n+1)#8226;2n=q(an-n#8226;2

n-1)(q為非零常數)，這里沒有Sn，因此必須設法把已知條件ban-2n=(b-1)Sn中的Sn去掉，從而化為an+1=2an+2n，再對照要證的結論，僅觀察右邊可知還少了“-(n+1)2n”，因此應在左右兩邊都添上“-(n+1)2n”，從而化為an+1-(n+1)#8226;2n=2an+2n-(n+1)#8226;2n=2(an-n#8226;2n-1)，于是命題得證.

由題意知a1=2，且ban-2n=(b-1)Sn，ban+1-2n+1=(b-1)Sn+1，

兩式相減得b(an+1-an)-2n=(b-1)an+1，即an+1=ban+2n. ①

當b=2時，由①知an+1=2an+2n，于是

an+1-(n+1)#8226;2n=2an+2n-(n+1)#8226;2n=2(an-n#8226;22n-1)

又a1-1#8226;2n-1≠0，所以{an-n#8226;2n-1}是首項為1，公比為2的等比數列.

(Ⅱ)當b=2時，由(Ⅰ)知an-n#8226;2n-1=2n-1，即an=(n+1)2n-1;

當b≠2時，由①得

an+1-12-b#8226;2n-1=ban+2n-12-b#8226;2n+1=bnn-b2-b#8226;2n=b(an-12-b#8226;2n).

因此an+1-12-b#8226;2n-1=b(an-12-b#8226;2n)=2(1-b)2-b#8226;bn，得

an=2(n=1);12-b[2n+(2-2b)bn-1](n≥2).

從對(Ⅰ)的分析可以看出，此題要證的結論本身已經指明了解題的思維方向.把已知條件與結論對照，多余的設法去掉，缺少的設法添上，一步一步靠近結論，從而解決問題.

總之，數學的解題方法是多種多樣的，一道題目也許不止一個切入點.至于哪個切入點最有效，更適合自己，這就要求學生在學習的過程中及時總結和歸納，并結合自身的實踐經驗，使自身的數學思維能力再上一個新的層次.

(責任編輯 金 鈴)