從三項基本功到數學教師的專業成長(三)

三、“善于比較與優化”與數學教師的專業成長

前面關于如何提高學生提出問題能力的論述顯然已從一個角度清楚地表明了優化對于數學學習的特殊重要性。這就是指，學生提出問題的能力(以及解決問題的能力)必定有一個逐步提高的過程，并且主要是一個不斷優化的過程。更為一般地說，這也正是數學思維發展的一個基本途徑。因為，按照現代的研究，數學思維的發展可以概括為橫向的擴展與縱向的發展。而后者則清楚地表明了數學學習活動的間斷性：“它必須重新組織、重新認識，有時甚至要與以前的知識和思考模式真正決裂”(M.Atique，“What call we learn from educational research at the university level.?”，The Teaching and Learning at University Level：An ICMI Study，ed，by D，Hohon et et，al.，Kluwer， 2001)。從而，這主要地也就可以被看成一個不斷優化的過程。

顯然，從這樣的角度去分析，以下的論述就過于簡單了：“數學，對學生來說，就是利用自己的生活經驗對數學現象的一種‘解讀”’(轉引自衡鋒，“‘錯題’演繹的精彩”，《小學數學教學》，2007年第10期)。因為，如果采用皮亞杰的術語，這正是這方面的一個基本事實：盡管“同化”可以被看成數學學習的一個重要內涵，這并就直接關系到了數學學習對于學生而言能否真正成為一種有意義的活動，但從總體上說，數學學習主要又是一個“順應”的過程，這也就是指，隨著數學學習活動的深入，我們應當幫助學生不斷對已有的認知框架，包括對已建立的觀念作出必要的擴展與重組。

由此可見，這就是數學中“優化”的兩個基本涵義：(1)我們應當積極地去尋找更為簡單、更為迅速的算法或解題方法，更加方便、更為實用的表征方法，更具普遍性的結果，等等。(2)我們應及時糾正各種不恰當或錯誤的觀念，包括對知識與認知結構等作出必要的調整與發展。

由以下關于語文教學與數學思維的對照我們即可更好地理解優化對于數學學習的特殊重要性：“如果說語文教學是一種以情感帶動知識學習的‘情知教學’，那么，數學教學就主要是‘以知貽情”’，也即希望通過數學學習能夠“幫助學生養成一種新的精神：它并非與生俱來，而是一種后天養成的理性精神；一種新的認識方式：客觀的研究；一種新的追求：超越現象以認識隱藏于背后的本質(是什么，為什么)；一種不同的美感：數學美(羅素形容為“冷而嚴肅的美”)；一種深層次的快樂：由智力滿足帶來的快樂；一種新的情感：超越世俗的平和；一種新的性格：善于獨立思考，不怕失敗，勇于堅持……”(鄭毓信，“數學的文化價值何在、何為?”《人民教育》，2007年第6期)。

從而，這也就是我們在當前應當注意防止的一種跡象，即在數學教學中不自覺地采取放任自流的態度，如滿足于“多樣化”而忽視了必要的優化，甚至將“創新”等同于“標新立異”，將“教學的開放性”理解成了“完全放開”。

當然，作為問題的另一方面，我們又不應將所說的“優化”理解成強制的統一，而應使之成為學生的自覺行為。從而，我們就應當允許學生在學習過程中表現出一定的“路徑差”和“時間差”，并從這一角度去理解“多樣化”的主要意義：不同對象的比較正是優化的一個基本途徑。應該指出的是，按照瑞典著名教育家馬飛龍(F.Matron，原譯為馬登)的觀點，后者事實上也可被看成學習的本質所在：(1)學習就是鑒別。“以某種方式學習認識事物或現象就是從對象中區分出一些主要特征并將注意力同時聚焦于這些特征。”(2)有比較(差異)才能鑒別。“鑒別意味并僅僅意味著主體依據自己先前的關于多多少少有所差異的對象的認知而從物質的、文化的或感覺的世界中辨認出、察覺到了某個特征。”這也就是指，“鑒別依賴于對差異的認識”(詳見The Intemational Encyclopedia 0f Education，second edition，Vo1.8，Pergamon，1994)。

為了使優化真正成為學生的自覺行為，我們在教學中又應特別重視總結與反思的工作，特別是，應幫助學生清楚地認識“批判性自我反思”的重要性。值得指出的是，我們事實上也可從這一角度去理解“適當舉例”與“適當提問”的重要性。例如，由于已形成的觀念不可能通過簡單的示范就能得以糾正。因此，如何能夠通過適當的舉例與提問在學生頭腦中引發必要的觀念沖突就有著特別的重要性。另外，這顯然也就是上面所提到的“同與不同”與“回頭看”這樣兩個提問策略的主要作用：借此我們可有效地促進必要的比較與自覺的反思。(從而，對于所說的“數學教師的三項基本功”我們也就不應看成它們是互不相干的，而是有著密切聯系的。)

以下再從專業成長的角度進一步指明“比較與優化”的重要性。

首先，優化顯然也可被看成改進數學教學的一個基本途徑，特別是。這更可被看成一線教師日常工作的一個真實寫照：“年年歲歲花相似，歲歲年年花不同。”的確，年年歲歲教同樣的內容，這難道不是一種簡單的重復勞動嗎?但是，這又正是教學工作的創造性質的具體表現：通過不斷的實踐與優化，我們的教學工作才有可能不斷取得新的進步，從而真正做到“年年歲歲花不同”。當然，認真的總結與反思又應被看成實現優化的主要途徑。例如，后者也可被看成以下實例給予我們的一個主要啟示。

這是河南省濮陽市第四中學展開的一項教改實驗(詳見“一場改變學校命運的課堂教學革命”，《人民教育》2009年第6期)，推動這項改革的是校長孫石鎖，他在這方面的一個基本認識是：“只強調學生的主體性，課堂太‘活’；只強調教師的主導性，又太‘死”’；“我們就搞一個‘半死不活’的”。具體地說，從2007年春季開學伊始，學校搞起了“生生互動——師生互動——反饋檢測”的三段式教學改革，正是通過積極的實踐與不斷的總結和反思這項改革才不斷取得了切實的進步。

實踐與總結(1)：“小組內的學生不知道怎樣互動，不是談天說地，就是亂哄哄地講，不僅沒有調動學生自主學習的積極性，還分散了學生的注意力，降低了學習效率。”

反思：“是啊，一上課就‘動’，就討論。沒有內容!沒有載體!‘互動’什么呢?”

優化：“有必要在‘生生互動’前加上一個‘學生自學’環節。一上課，先讓學生自己看幾分鐘課本。看完了，讓他們提問題，老師圍繞這些問題展開教學。”

實踐與總結(2)：“可是。這樣的課聽下來，離教學重點往往還有十萬八千里。要照學生的問題走，根本完不成教學任務……”

優化：“學校想了個辦法：讓教師寫‘教學內容問題化教案’。”“‘教學內容問題化教案’是讓老師知道自己該教什么，讓學生知道自己想學什么。這是三段式教學法的主線……老師和學生都應以問題為中心進行雙向的互動，實現雙主體的雙互動。”

以下則是相關教師的一些體會：“必須預設學生會提到什么問題。當學生闡述不清的時候，老師要把材料明晰化，幫學生闡述清楚；學生提的問題比較籠統的時候，老師要把問題細化：學生提的問題跨度大的時候，教師也要能縱橫馳騁，指點江山。”“學生能自己解決的問題盡量讓學生自己來解決，而學生沒有發現的問題老師又要抓住時機適當地提出來，這樣就很好地處理了學生提出的問題與自己預設的問題之間的關系，既尊重了學生，調動了他們的積極性，又不是完全跟著學生跑，保證了教學目標的完成。”

其次，理論思想的多元化與比較同樣應當被看成努力提高教師自身理論水準的基本途徑。特別是，我們應當堅持自己的獨立思考，包括必要的批判，而不應該迷信專家，更不應該盲目地去追趕各種時髦潮流。

例如，這顯然就可被看成著名數學教育家、以色列學者斯法德以下論述的主旨所在：“當兩個隱喻相互競爭并不斷相映證可能的缺陷，這樣就更有可能為學習者和教師提供更自由的和堅實的效果”，“理論上的惟我獨尊和對教學的簡單思維，肯定會把哪怕是最好的教育理念搞遭”(“On two metaphors for learning andthedangers ofchoosingjust one\"，Edu- cational Researcher，1998[27])。

最后，即如前面所已提及的，這正是人們當前的一項共識，即認為與“理論指導下的自覺實踐”這一傳統提法相比，我們應當更加提倡關于教學工作的這樣一個定位：“反思性實踐”。當然，后一立場并非是指我們應當完全否定理論對于實際教學工作的指導或促進作用，而主要是對予“理論至上”這樣一種傳統的反對。例如，從這一立場出發，在實踐中我們所應主要關注的就并非“是否與理論相符”，而應堅持“情境中的需要高于規則、模式甚至標準價值觀的規定”(威爾遜，“理論與實踐境脈中的情境認知”，載喬納森、蘭德主編，《學習環境的理論基礎》，同前)。另外，與單純強調理論的指導作用相對照，這也是“反思性實踐”的一個主要特征，即對于總結與反思、對于“實踐性智慧”的高度重視，包括對于實踐與研究一致性的堅持。

值得指出的是，后者事實上也可被看成數學教育的長期發展歷史，特別是歷次改革運動給予我們的一個重要啟示或教訓。這就正如香港中文大學黃毅英等先生所指出的：漫漫數教路，“期盼、失落、沖突、化解和再上路……”“當然我們可以抱怨，這些問題何以反復地出現……我們也可反過來看，教育本來就是一種感染和潛移默化。如果明白這點，也許我們走了近半世紀的漫漫數教路，一點也沒有白費，業界就正要這種歷練，一次又一次的反思、深化，在深層中成長……問題就是有否吸取歷史教訓，避免重蹈覆轍”(鄧國俊、黃毅英等，《香港近半世紀漫漫“小學數教路”》，香港數學教育學會，2006)。從而，如果說相對于20世紀90年代世界范圍內的課改高潮而言，現已在很大程度上進入了“后改革時期”，那么，認真的總結與反思也就是避免“鐘擺現象”的關鍵所在。進而，如果我們認定理論與實踐(專家與一線教師)的必要互動也是新一輪數學課程改革給予我們的又一重要啟示或教訓，那么，我們顯然也就應當更為積極地去展望以此為主要特征的“后課標時代”(對此并可見另文“展望‘后課標時代”’，同前)。

結束語：數學教師的三個境界

近期閱讀報刊，從“教育者的遐思”(劉鐵芳，《人民教育》，2008年第2期)一文中得到不少啟示，特別是其中提到了“教師人生發展的一些關鍵詞”：“3到5年的教師靠技術，這是教育技術的熟練期。5到8年的教師靠經驗，有了比較豐富的經驗，能熟練地完成教育目標。10年的教師靠藝術，教育不再是簡單的技術，而有了較嫻熟的教育藝術，教書育人逐步成為一種生活中的自然。10到15年的教師靠哲學，教師個人逐漸有了自己的教育哲學觀。15到20年的教師有了宗教情懷，對待教育有了一種神圣感。教育開始成為一種天職性的實踐。”

以上關于教師人生發展的分析有一定道理。但就自己的認識與感悟而言，筆者則愿更加強調教師的這樣三個境界：教書匠，智者，大師。事實上這可以被看成一個優秀教師必然經歷的成長途徑，即由唯一重視具體數學知識和技能的教學(這就是所謂的“教書匠”)轉而認識到應當更加重視學生思維方式的養成，從而能給學生帶來真正的智慧(這是“智者”的基本內涵)，直至能通過自己的教學活動給學生深層次的文化熏陶。筆者深信：只要我們能在上述方向作出切實努力，就一定可以不斷取得新的進步。無論我們是一個小學教師、中學教師還是大學教師，無論我們身處繁華的都市。還是偏僻的農村或山區，如果最終能夠實現上述的目標，就是一個真正的大師，我們的生命也因此具有真正的價值。愿我們大家都能在這一方向作出永不松懈的努力!(完)