幾何變換在初中幾何解題中的應(yīng)用

摘 要:結(jié)合具體的題目，探討軸對(duì)稱變換、平移變換及旋轉(zhuǎn)變換等數(shù)學(xué)思想和方法在解決初中幾何問(wèn)題中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞:幾何變換;軸對(duì)稱變換;平移變換;旋轉(zhuǎn)變換

在舊教材里涉及幾何變換的題目不多，新教材則明顯增添了許多有關(guān)平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)及位似圖形等內(nèi)容。八年級(jí)上冊(cè)第三章《圖形的平移與旋轉(zhuǎn)》里列舉了諸多我們身邊具有平移、軸對(duì)稱及旋轉(zhuǎn)等特征和規(guī)律的生活實(shí)例，如旋轉(zhuǎn)小木馬、蕩秋千、小火車、滑梯……在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中利用旋轉(zhuǎn)、平移的不變性及軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)特點(diǎn)來(lái)解決一些條件比較復(fù)雜或分散的幾何題目，是學(xué)生較難把握的一個(gè)難點(diǎn)。教材中，幾何變換的核心問(wèn)題就是把圖形進(jìn)行變換，把一般的分散的幾何條件集中在一起轉(zhuǎn)化為特殊的圖形，或者把一個(gè)位置上的圖形通過(guò)幾何變換轉(zhuǎn)化為另一個(gè)位置上的相應(yīng)圖形，然后運(yùn)用圖形變換的“不變性”使問(wèn)題得以解決。利用幾何變換解題時(shí)，通常不需要對(duì)整個(gè)圖形進(jìn)行變換，只需對(duì)圖形中的有關(guān)部分進(jìn)行變換，使相關(guān)的隱含或一般條件集中在一起化為特殊關(guān)系，這樣有利于問(wèn)題的解決。通過(guò)幾何變換把一般條件化為有利條件，同時(shí)讓有用的條件保持不變。

一、利用軸對(duì)稱變換解題

如果問(wèn)題所給圖形是軸對(duì)稱圖形，或者隱含軸對(duì)稱，則可作對(duì)稱軸，運(yùn)用軸對(duì)稱變換的一些相關(guān)性質(zhì)去解題。如果問(wèn)題中的圖形某一部分關(guān)于一條直線對(duì)稱或具備可以構(gòu)成軸對(duì)稱的特征條件時(shí)，我們可以嘗試作軸對(duì)稱變換，這樣就可以通過(guò)適當(dāng)?shù)倪w移把分散的條件集中在適當(dāng)?shù)奈恢谩?/p>

例1 如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD是中線，CF⊥AD于E，交AB于F。求證:∠ADC=∠FDB。

分析:注意到等腰直角三角形是軸對(duì)稱圖形，便可作斜邊的高CH交AD于G，則△ACH和△BCH都是等腰直角三角形，H是AB的中點(diǎn)，連接DH，則DH是等腰直角△BCH的對(duì)稱軸。根據(jù)對(duì)稱性，實(shí)際上只需要證明△DGH≌△DFH。因此，該問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為證明HG=HF。

證明:做AB的高CH交AD于G，連接DH。

∵CF⊥AD

∠GHF=∠GEF=90°

∴GEFH四點(diǎn)共圓

∵∠AGH=∠CFH∠ACB=90° AC=BC

∴H是AB的中點(diǎn)，從而AH=HB=CH

∴△AHG≌△CHF

∴HG=HF

∵AD是中線，即D為BC的中點(diǎn)

∴AC∥HD，從而HD⊥BC，即HD是等腰直角△CHB的頂角的平分線

∴∠GHD=∠FHD∴△DGH≌△DFH

∴∠GDH=∠FDH∴∠ADC=∠FDB

例2 如圖2，在△ABC中，AB>AC，自BC的中點(diǎn)M作直線垂直于∠A的平分線AD，交AB于E，交AC的延長(zhǎng)線于F。求證:

(1)BE=CF=(AB-AC)

(2)∠BME=∠CMF=(∠ACD-∠B)

分析:AD是∠BAC的對(duì)稱軸，為了得到位于∠BAC兩邊上的線段差A(yù)B-AC，可作C點(diǎn)關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)C′，此點(diǎn)就落在AB上，且有AC=AC′，EC′=CF，BE=EC′。同時(shí)，由于對(duì)稱軸的關(guān)系，有∠ACD=∠AC′D。因此，該問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為:∠BME=∠CMF=∠BDC′=∠C′CD。

證明:

(1)∵AD是∠A的平分線，可作C點(diǎn)關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接C′D

∴AC=AC′，DC′=DC，∠ACD=∠AC′D

∵EF⊥AD

∴AE=AF，從而EC′=CF，CC′∥EF

∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)

∴BE=EC′

∴BE=CF=(AB-AC′)=(AB-AC)

(2)∵DC= DC′

∴∠DCC′=∠DC′C=∠C′DB=(∠AC′D-∠B)= (∠ACD-∠B)

∵CC′∥EF

∴∠BME=∠CMF=∠DCC′

∴∠BME=∠CMF=(∠ACD-∠B)

二、利用平移變換解題

教材中提到“平移不改變圖形的形狀和大小”，我們利用平移變換可以將線段在保持平行且相等的條件下移動(dòng)位置，也可以在角保持大小和方向不變的條件下移動(dòng)位置，即利用平移變換的不變性解題。當(dāng)圖形中線段或角的位置分散，為了解題的需要，我們可以考慮用平移變換的方法把有關(guān)的線段和角移到一個(gè)有關(guān)的區(qū)域內(nèi)，使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化

例3 如圖3，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，AC⊥BD于E，M和N分別是AD和BC的中點(diǎn)，CF⊥AB于F。求證:MN=CF。

分析:注意到MN是中位線，要證MN=CF，只需證CF=(AB+CD)。這就需要把AB、CD放在同一個(gè)圖形上，使得條件相對(duì)集中。注意到AB∥DC，只需要把DC平移到和AB相接而構(gòu)成三角形。

證明:過(guò)點(diǎn)C作CG∥DB，交AB的延長(zhǎng)線于G。

∵AB∥DC

∴四邊形DCGB是平行四邊形

∴GC=BD，GC∥BD，DC=BG

∵AD=BC

∴梯形ABCD是等腰梯形

∴AC=BD，

∴AC=GC

∵AC⊥BD

∴AC⊥GC

∵CF⊥AB

∴CF是等腰直角三角形ACG斜邊上的高，即CF=1/2(AB+BG)=(AB+DC)

∵M(jìn)N是梯形ABCD的中位線，即MN=(AB+DC)

∴MN=CF

三、利用旋轉(zhuǎn)變換解題

我們知道旋轉(zhuǎn)變換也是三大幾何變換之一，通過(guò)適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)可以使一些毫無(wú)頭緒的疑難問(wèn)題迎刃而解。如果圖形中有兩條線段相等或兩組角相等，可考慮利用旋轉(zhuǎn)變換的方法把圖形中分散的條件加以集中，把未知問(wèn)題和已知條件之間的關(guān)系轉(zhuǎn)移到符合需要的位置上，這是問(wèn)題解決的關(guān)鍵。

例4 如圖4，設(shè)D為△ABC 的邊BC上的中點(diǎn)，P是AB上的一點(diǎn)，Q是AC上的點(diǎn)且，PD⊥DQ。求證:BP+CQ>PQ。

分析:所求證的線段之間條件分散，如果注意到D為△ABC的邊BC上的中點(diǎn)，且PD⊥DQ，把△CDQ旋轉(zhuǎn)到△BDQ′的位置，則有以下關(guān)系:CQ=BQ′，DQ= DQ′，PQ=PQ′。因此，問(wèn)題實(shí)際上就轉(zhuǎn)化為證明:BP+BQ′>PQ′。而這三者之間恰好是同一個(gè)三角形的三邊之間的關(guān)系。

證明:以D為中心，把△CDQ旋轉(zhuǎn)到△BDQ′的位置，連接P Q′。

則有:CQ=BQ′，DQ= DQ′。

∵PD⊥DQ

∴△PQQ′是等腰三角形，即PQ=PQ′。

∵BP+BQ′>PQ′

∴BP+CQ>PQ

例5 如圖5，P是等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，PA=3，PB=4，PC=5。求:∠APB的度數(shù)。

分析:已知線段PA、PB、PC條件比較分散，但這三者剛好滿足勾股定理。因此，能否把三者集中到一個(gè)三角形中是求解的關(guān)鍵。注意到△ABC是等邊三角形，如果以B為中心，把△BAP旋轉(zhuǎn)到△BCQ的位置，則有:BA=BC，BP=BQ，PA=CQ，∠APB=∠CQB。再注意到，∠PBQ=∠ABC=60°。因此，已知條件就轉(zhuǎn)移到△CPQ內(nèi)，根據(jù)三條線段之間的關(guān)系，可知∠PQC=90°，從而問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求∠CQB的度數(shù)了。

解:以B為中心，把△BAP旋轉(zhuǎn)到△BCQ的位置，連接PQ。則有:BA=BC，BP=BQ，PA=CQ，∠APB=∠CQB。

∵△ABC是等邊三角形，即∠ABC=60°

∴△BPQ是等邊三角形，即∠PBQ=∠BQP=60°

∴BP=PQ

∵PA=3，PB=4，PC=5

∴△CPQ是直角三角形，從而∠CQP=90°

∴∠CQB=150°

∴∠APB=150°

以上我們通過(guò)舉例說(shuō)明了幾種幾何變換在初中幾何解題中的應(yīng)用。然而，在實(shí)際解題過(guò)程中，有時(shí)往往需要結(jié)合具體的題目綜合運(yùn)用這幾種方法。至于位似變換，考綱的要求相對(duì)簡(jiǎn)單一些，而且有些題目也只是這幾個(gè)方法的延伸而已，如圖形的放大和縮小等問(wèn)題。在此，我們就不加以詳述了。

參考文獻(xiàn):

[1]於增輝.平移和旋轉(zhuǎn)在解題中的應(yīng)用[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2005，(4).