教師如何引導(dǎo)學(xué)生在過程性教學(xué)中形成數(shù)學(xué)的直覺

摘 要:數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)性使教師引導(dǎo)作用不可忽視，教師在教學(xué)中需注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的合理組織， 教師的引導(dǎo)應(yīng)立足于本校學(xué)生特點(diǎn)導(dǎo)以解題策略，教師的選題要更有效引導(dǎo)學(xué)生的自主探索，形成數(shù)學(xué)的直覺。

關(guān)鍵詞:過程性;引導(dǎo);直覺

20世紀(jì)90年代以來我們正面臨一場國際范圍內(nèi)的課程改革運(yùn)動(dòng)，對(duì)于數(shù)學(xué)教師來講，怎樣使數(shù)學(xué)課程富有更大的啟發(fā)性，怎樣引導(dǎo)學(xué)生獲得獨(dú)立處理數(shù)學(xué)問題的能力，法國數(shù)學(xué)家I.dieudonne曾經(jīng)說過:任何水平的數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目的，無疑是使學(xué)生對(duì)他所要處理的數(shù)學(xué)有一個(gè)可靠的直覺，什么叫數(shù)學(xué)直覺?數(shù)學(xué)直覺就是學(xué)生對(duì)他所處理的數(shù)學(xué)問題有一個(gè)活生生的構(gòu)想和深刻的了解，這些構(gòu)想和了解，結(jié)合起來就是所謂直覺，作為引導(dǎo)者，主要著眼于通過一定的可操作性，促進(jìn)學(xué)生獲得數(shù)學(xué)直覺發(fā)生的可能性，那么如何使學(xué)生獲得這種直覺呢，我認(rèn)為可通過學(xué)生自主探索學(xué)習(xí)這樣的教學(xué)過程中來培養(yǎng)其數(shù)學(xué)的直覺。愛因斯坦說過:提一個(gè)問題比解決一個(gè)問題更重要。因而，發(fā)揮學(xué)生的主體作用是時(shí)代趨勢，但主體作用并非完全取代了教師的主導(dǎo)作用，應(yīng)該說其對(duì)教師在教學(xué)中的指導(dǎo)作用提出更高的要求。

一、數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)使教師引導(dǎo)作用不可忽視

美國科學(xué)基金會(huì)于1998年公布的《資深評(píng)估小組對(duì)美國數(shù)學(xué)科學(xué)的國際評(píng)估報(bào)告》中關(guān)于當(dāng)代數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)作如下描述:

數(shù)學(xué)是各類科學(xué)中最抽象、最基礎(chǔ)的科學(xué)，數(shù)學(xué)科學(xué)包括兩個(gè)主要方面:第一方面，也是較為抽象的方面，是對(duì)結(jié)構(gòu)模式以及模式的結(jié)構(gòu)和諧性的研究，探究抽象模式結(jié)構(gòu)中的對(duì)稱性和規(guī)則性是純粹數(shù)學(xué)的核心;第二個(gè)方面，對(duì)世界上物理學(xué)、生物學(xué)和商業(yè)中的事件式系統(tǒng)進(jìn)行建模研究，包括建立一個(gè)明確的數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決應(yīng)用性問題，也就是說，數(shù)學(xué)科學(xué)包括數(shù)學(xué)自身系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性，也包括通過數(shù)學(xué)建模來解決其它學(xué)科和生活中的數(shù)學(xué)問題。

可見，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)并非就是解題活動(dòng)，通過學(xué)生的自主探索，對(duì)知識(shí)形成過程有一定認(rèn)識(shí)，這樣容易形成對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)的掌握，并理解到數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與物理結(jié)構(gòu)有本質(zhì)的區(qū)別:數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是一種理想化的結(jié)構(gòu)，教師的經(jīng)驗(yàn)、專業(yè)在學(xué)生自主學(xué)習(xí)中起著關(guān)鍵的指導(dǎo)作用。如果把數(shù)學(xué)當(dāng)作音樂作品的話，學(xué)生是演奏者，那么教師就指揮者。

例如:在高中數(shù)學(xué)中應(yīng)用性問題如何指導(dǎo)學(xué)生建模

問題1 已知探照燈的軸截面是拋物線x=y2，圖1表示平行于對(duì)稱軸(y=0)的光線與拋物線上的點(diǎn)P、Q的反射情況，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為a(a>0)，a取何值時(shí)，從入射點(diǎn)P到反射點(diǎn)Q的光線的路程PQ最短。

問題2 電影放映機(jī)上的聚光燈泡的反射鏡的軸截面是橢圓的一部分(圖2)燈絲在焦點(diǎn)F2處，而且燈絲與反射鏡的頂點(diǎn)A的距離|F2A|=1.5厘米，橢圓的通徑|BC|=5.4厘米，為了使電影機(jī)片門獲得最強(qiáng)的光線，燈泡應(yīng)安在距片門多遠(yuǎn)的地方?

我先讓學(xué)生分組討論，接下來

引導(dǎo)學(xué)生識(shí)模:讀題抽象出數(shù)學(xué)問題。

引導(dǎo)學(xué)生析模:尋找基本數(shù)量及其關(guān)系，注意已知量，發(fā)現(xiàn)未知量，挖掘隱含問題是關(guān)鍵、難點(diǎn)。

引導(dǎo)學(xué)生建模:通過數(shù)學(xué)符號(hào)法，把幾何模型或文字轉(zhuǎn)化為數(shù)字模型。

引導(dǎo)學(xué)生解模:利用數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)性，對(duì)所建的模型進(jìn)行求解。

引導(dǎo)學(xué)生驗(yàn)?zāi)?是否符合實(shí)際生活的情況。

最后引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié):依據(jù)拋物線鏡面和橢圓鏡面的光學(xué)性質(zhì)，利用拋物線和橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，并借助于均值不等式等知識(shí)使問題獲解。對(duì)以上五個(gè)過程進(jìn)行反思，使整個(gè)問題的解決得到升華。培養(yǎng)學(xué)生發(fā)生可靠數(shù)學(xué)的直覺.

學(xué)生自主探索過程中，對(duì)教師自身的學(xué)科能力、跨學(xué)科的知識(shí)輻射抽象為數(shù)學(xué)的能力提出更高的要求，這就要求數(shù)學(xué)老師對(duì)數(shù)學(xué)本身系統(tǒng)性有較強(qiáng)掌控能力，還要求對(duì)跨學(xué)科知識(shí)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模有較強(qiáng)的能力，從而培養(yǎng)的學(xué)生才符合當(dāng)今社會(huì)各行各業(yè)人才對(duì)數(shù)學(xué)的要求。

二、從校本出發(fā)選用學(xué)習(xí)方法，解題策略的應(yīng)對(duì)引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)

作為引導(dǎo)者選用學(xué)習(xí)方法也是關(guān)鍵，因此選用方法時(shí)，努力達(dá)到教學(xué)目標(biāo)的方法，它應(yīng)該具有以下特征:

1.這些方法至少要讓學(xué)生有一些創(chuàng)造或改造數(shù)學(xué)知識(shí)的有限經(jīng)驗(yàn)，沒有一點(diǎn)那種體驗(yàn)，學(xué)生就不能從接受知識(shí)中取得進(jìn)步。

2.這些方法給予學(xué)生的不只是一種獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的途徑，還要讓學(xué)生檢查和證實(shí)他們自己的信念，沒有這種體驗(yàn)，學(xué)生仍將依賴權(quán)威而無法在他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中做到自主。

從本校學(xué)生的特點(diǎn)來看，本校地處晉安區(qū)，學(xué)生在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)只重結(jié)果不重過程，因此在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中遇到很多問題，我所教兩個(gè)班的中考成績較好，但仍有這種問題，我選用了自主探索的學(xué)習(xí)方法。通過學(xué)生自主學(xué)習(xí)的過程，對(duì)概念形成有一定的認(rèn)識(shí)，但對(duì)形成思維上升為解題能力仍有困難，這時(shí)教師的引導(dǎo)作用要體現(xiàn)出來。例2010福州高三期末質(zhì)檢21.

已知函數(shù)f(x)=，g(x)=tx-t.

(I)(略)

(II)求證:當(dāng)t>0時(shí)，f(x)≥g(x)對(duì)任意正實(shí)數(shù)x都成立;

2010福州高三3月質(zhì)檢20

已知函數(shù)f(x)=x1nx畫f(x)=x1nx圖與y=m

(I)求f(x)的最小值;

(II)討論關(guān)于x的方程 f(x)-m=0(m∈R) 的解的個(gè)數(shù);

通過學(xué)生討論、探索，教師給予解題策略，引導(dǎo)學(xué)生 類比，得到知識(shí)的升華:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問題最終化歸為求函數(shù)的最值問題，再如2010省質(zhì)檢選擇題10:已知f(x)是定義在[a，b]上的函數(shù)，其圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且滿足下列條件:

①f(x)的值域?yàn)镚，且G[a，b];

②對(duì)任意不同的x、y∈[a，b]，都有|f(x)-f(y)|<|x-y|。

那么關(guān)于x的方程f(x)=x在[a，b]上的根的情況是A.沒有實(shí)數(shù)根

B.有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根

C.恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根

D.有無數(shù)個(gè)不同的實(shí)數(shù)根

20.已知函數(shù)f(x)=-x3+x2+bx+c，x<1a1nx，x≥1的圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)O，且在點(diǎn)(-1，f(-1))處的切線的斜率是-5。

(Ⅰ)求實(shí)數(shù)b、c的值;

(Ⅱ)求f(x)在區(qū)間[-1，2]上的最大值;

再讓學(xué)生探索求解，使之在學(xué)習(xí)過程中能自主順利完成，并產(chǎn)生興趣，這時(shí)再對(duì)題目進(jìn)行演變，學(xué)生從而對(duì)抽象化數(shù)學(xué)問題，能夠運(yùn)用相關(guān)知識(shí)對(duì)它進(jìn)行處理，獲取數(shù)學(xué)的直覺。在這里教師的引導(dǎo)起關(guān)鍵作用，為未來微積分學(xué)習(xí)打好良好的基礎(chǔ)。

三、教師的選題應(yīng)讓學(xué)生準(zhǔn)確地形成數(shù)學(xué)思維獲取可靠的數(shù)學(xué)直覺

因?yàn)榭荚囆问綄?duì)教學(xué)的影響非常深遠(yuǎn)，如何通過試題的考查，有效地引導(dǎo)課堂教學(xué)，使之不但重視結(jié)果，更重視過程，既重視核心的知識(shí)與技能考查，更重視數(shù)學(xué)的應(yīng)用和解決問題的能力提高，既重視學(xué)生通性通法的學(xué)習(xí)，更重視學(xué)習(xí)過程中的個(gè)性、體驗(yàn)和潛能等。傳統(tǒng)考試，常由主觀性試題和客觀性試題組成，客觀性試題一般由選擇題、填空題、判斷題等組成，這些試題答案、結(jié)構(gòu)相對(duì)固定，有助于用統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)考查學(xué)生學(xué)習(xí)情況，經(jīng)常用于客觀了解學(xué)生對(duì)某些學(xué)習(xí)內(nèi)容的考查，主觀性試題一般由計(jì)算、化簡、解方程(不等式)、作(畫)圖證明解答題等組成，由于這些主觀性試題過多地關(guān)注學(xué)生知識(shí)技能的掌握程度和應(yīng)用技巧，因而以接受式學(xué)習(xí)方式為主的教學(xué)中能有效考查學(xué)生的情況，但亦有不足的地方，如何通過有效的主、客觀性試題的考查，體現(xiàn)自主、合作、探究的學(xué)習(xí)方式，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)學(xué)科本身結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，我認(rèn)為在選題時(shí)應(yīng)遵循以下三個(gè)方面

1.應(yīng)有助于課程改革目標(biāo)的落實(shí);

2.應(yīng)有助于體現(xiàn)新課程標(biāo)準(zhǔn)的學(xué)習(xí)要求;

3.應(yīng)有助于落實(shí)考試的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。

例如:M、N、P分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB、BC、DD1上的點(diǎn)，

1、若BM/MA=BN/NC，求證:不論點(diǎn)P在DD1上如何移動(dòng)，總有BP⊥MN

2、D1P:PD=1:2，且PB⊥平面B1MN，求二面角M-B1N-B的大小

3、棱DD1上是否存在這樣點(diǎn)P，使得平面APC1⊥平面ACC1?證明你的結(jié)論。

在選題時(shí)，我認(rèn)為本題綜合性強(qiáng)，通過學(xué)生對(duì)本題的探索，能有效體現(xiàn)學(xué)生的思維能力和和數(shù)學(xué)幾何法本身的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，我先讓學(xué)生自主探索，運(yùn)用邏輯推理法和向量法兩方面思考，最后我總結(jié):向量法和邏輯推理法都是解決立體幾何問題的方法，它們各有所長，也各有所短，它們之間有內(nèi)在聯(lián)系，如:第(2)小題中用法向量(因?yàn)榉ㄏ蛄恳熏F(xiàn)成)解題快，但邏輯推理法呢?其實(shí)兩個(gè)法向量也是兩個(gè)面的兩條垂線，從而二面角的平面角也可從兩線夾角中求出。教師在教學(xué)中需注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的合理組織，引導(dǎo)學(xué)生生成。以數(shù)學(xué)概念、基本原理和數(shù)學(xué)思想方法等為主干，知識(shí)之間具有自然、內(nèi)在的邏輯聯(lián)系，具有眾多生長點(diǎn)和開放面，并易于激活和遷移的數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

四、總結(jié)

作為學(xué)習(xí)的指導(dǎo)者教師在學(xué)生自主學(xué)習(xí)過程中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行分析，對(duì)知識(shí)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生看待問題時(shí)養(yǎng)成數(shù)學(xué)的直覺，從各種問題中抽象出數(shù)學(xué)問題。正如偉大的物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家牛頓說過:沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)。而數(shù)學(xué)的直覺的培養(yǎng)過程與教師在課堂上進(jìn)行開放題，探索性問題的教學(xué)分不開的。正如美國加州頒布新的數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)突出地強(qiáng)調(diào):將來的數(shù)學(xué)教材，必須為培養(yǎng)學(xué)生提出和解決復(fù)雜的、精細(xì)的，不可預(yù)見的問題能力，因此，教師引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的意義非凡。

正確引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)獲取數(shù)學(xué)的直覺，有助于學(xué)生身心健康，在筆者從事十多年數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生畏懼心理，對(duì)課堂的畏懼，對(duì)考試的畏懼，也就是對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)產(chǎn)生亞健康的心理，對(duì)學(xué)習(xí)起了很大阻礙，并對(duì)數(shù)學(xué)的前景用途產(chǎn)生了很大的懷疑，曲阜師范大學(xué)李如密教授認(rèn)為“綠色課堂，學(xué)生健康成長的教學(xué)環(huán)境?！苯處煹囊龑?dǎo)都應(yīng)以培養(yǎng)人的要求為出發(fā)點(diǎn)為歸宿，數(shù)學(xué)課程的實(shí)施應(yīng)達(dá)到智力與非智力因素的統(tǒng)一，以學(xué)生為本位，尊重學(xué)生，依靠學(xué)生，創(chuàng)建綠色的信息通道，綠色的人際交往，綠色的班級(jí)氛圍，讓學(xué)生在這樣的綠色生態(tài)課堂中自由、主動(dòng)、健康的發(fā)展。參考文獻(xiàn):

[1].周偉鋒.以生為本的中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2010，(1).

[2].韓龍淑，王新兵.數(shù)學(xué)啟發(fā)式教學(xué)的基本特征[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2010，(5).