投資組合VaR分解的應用研究

摘要:針對VaR的不足，Garman M.于1997年提出了成分VaR和邊際VaR。采用德爾塔——正態法度量投資組合的VaR、邊際VaR和成分VaR，使用假設檢驗法對模型進行回測的研究結果表明，該計算方法下的VaR模型有效，邊際VaR和成分VaR能為資產管理者提供更多有關投資組合風險的信息。

關鍵詞:德爾塔——正態法;邊際VaR;成分VaR;假設檢驗法

中圖分類號:F830.59 文獻標志碼:A 文章編號:1673-291X(2010)05-0098-04

現代投資組合風險管理高度依賴于定量技術來描述金融市場的行為。風險管理者一方面通過20世紀70年代發展起來的金融衍生品進行了許多風險管理的創新，另一方面創立了許多用于識別和量化風險的高級風險管理模型。在歐美等發達國家證券市場，對投資組合的風險管理是投資基金等機構投資者風險控制的核心，其主要思想是:利用風險量化技術來識別風險因子，計算未來的風險值，然后通過各種方法對風險值進行管理。經過幾十年的發展，投資組合風險管理的理論與方法已相當成熟，主要包括三種思路:一是Markowitz資產組合理論框架下的投資組合風險管理，二是建立在Black-Scholes模型上的衍生工具風險管理理論，三是VaR風險管理理論。

國內外許多學者關于VaR的研究，風險管理投資組合主要聚焦于投資組合風險價值(VaR)的估計，較少關注投資組合VaR的變量;國內學者的研究，也僅有極少數涉及到VaR的分解問題。然而，對于機構投資者來說，在日常交易和資產管理過程中，除把握資產組合整體市場風險外，了解投資組合中各資產的VaR的大小、變動某一資產權重對投資組合的VaR將產生怎樣的影響，具有重要的價值。因此，本文重點研究投資組合的成分VaR和邊際VaR。

一、VaR的分解

VaR(Value at Risk)即風險價值，是一種度量和管理風險的工具，最早由J·P·Morgan銀行針對市場風險計量技術的不足而提出，該模型提出后迅速在投資機構中得到了廣泛應用。VaR作為一個統計概念，本身不過是個數字，在《風險價值VaR》一書中，菲利普·喬瑞定義VaR為:在一定的置信水平下和一定的目標期間內，預期的最大損失。公式表示為(1.1)，其中ΔP為某一金融資產在一定持有期的價值損失額，VaR為置信水平α下可能的損失上限。

Prob(ΔP

可以使管理層以非常清楚的方式，向股東傳達公司面臨的風險，使投資者有效地配置資源，因此，金融機構使用VaR方法可以有效地進行風險管理。但是，當需要了解某一投資組合中各資產的VaR大小，以及變動某一資產權重對投資組合整體的VaR將產生怎樣的影響時，單純的VaR無法提供充分的信息。當投資組合的VaR值異常高時，如何通過調整投資組合的頭寸來減輕投資組合的風險?什么頭寸組成了最大的風險因子?什么頭寸能對沖風險?這些僅僅利用VaR是無法了解和掌握的。為了滿足資產管理者的這類需求，Garman M(1997)提出了成分VaR和邊際VaR。

1.邊際VaR——ΔVaRi

邊際VaR用于衡量投資組合中某項資產的變化對投資組合VaR的影響，是組合中某項資產增加一單位時引起的投資組合VaR的變化值。記第i項資產在投資組合中的權重為xi，邊際VaR為ΔVaR，則有(1.2)。邊際 VaR(ΔVaRi)刻畫了各項資產對投資組合VaR的邊際貢獻，反映組合資產頭寸變化的靈敏度，為交易管理者決策下一筆資金投資于何種資產以獲得更好的收益提供了有效的信息。

ΔVaRi=(1.2)

2.成分VaR——CVaR

成分VaR是投資組合中某項資產被剔除而導致的投資組合VaR變化量(式1.3)，刻畫組合中單項資產對投資組合 的總貢獻，反映組合中具有較大風險的資產頭寸和較大對沖作用的資產頭寸。對投資組合中的某項資產而言:其CVaR<0時，可以對沖組合其余部分的風險;CVaR>0時增加組合的風險，如果把它從組合中剔除，組合的VaR值將減少;CVaR=0時對組合的風險沒有貢獻，剔除它組合的CVaR將不會改變。

VaR≡∑CVaRi(1.3)

二、邊際VaR與成分VaR的德爾塔——正態法度量

傳統的VaR計算方法主要有三種，即德爾塔——正態法、歷史模擬法和蒙特卡羅模擬法。德爾塔——正態法假定組合回報服從正態分布，利用正態分布的良好特性——置信度與分位數的對應性計算的組合的VaR等于組合收益率的標準差與相應置信度下分位數的乘積。歷史模擬法的核心在于根據市場因子的歷史樣本變化，模擬證券組合的未來損益分布，利用分位數給出一定置信度下的VaR估計。蒙特卡羅模擬法則假設資產價格的變動依附于服從某種隨機過程的形態，利用電腦模擬，在目標時間范圍內產生隨機價格的途徑，依次構建資產報酬分布，進而計算VaR。三種方法中，歷史模擬法和蒙特卡羅模擬法適用于投資組合中含期權類工具的風險度量，而德爾塔——正態法計算簡單，適用于投資組合中不含期權類工具的風險度量。

針對中國證券市場沒有期權的現狀，本文選擇德爾塔——正態法進行投資組合的風險度量。邊際VaR和成分VaR的估計，可以分投資組合收益率服從多元正態分布和不服從正態分布兩種情況進行分析，而德爾塔——正態法假定投資組合收益率服從多元正態分布，因此，可以直接從正態分布的情況進行分析。

1.VaR

本文主要研究不含期權類資產的投資組合，而德爾塔——正態法對于期權不占主導地位的投資組合是一個快捷而有效的VaR衡量方法。該方法假設收益率服從為正態分布，且與基本風險因素呈線性關系，利用基本公式可得到VaR(式2.1)。其中，ω為資產組合的初始價值;μ為期望收益的數學期望;σ為期望收益的標準差;c為標準正態分布的分位數。

VaR=-ω(μ+cσ-μ)=-cσω(2.1)

2.邊際VaR

當資產組合收益率服從正態分布時，邊際VaR的計算公式為(2.2)。其中，式中，ΔVaRi為第i種資產的邊際VaR，σp為投資組合的標準差，Coν(Ri，Rp)為投資組合收益率與第i種資產收益率的協方差，α為給定置信水平，c1-α表示1-α對應的標準正態分布分位數。

ΔVaRi=c1-α×(2.2)

3.成分VaR

德爾塔——正態法情況下，當組合收益率服從正態分布時，成分VaR的計算公式為(2.3)。其中，CVaRi為第i項資產的成分VaR，rω表示第i項資產在投資組合資產中所占比例，ωi表示投資組合中第i項資產的價值。

CVaRi=ΔVaRi×rω×ωi(2.3)

式(2.3)表明，組合中各資產的成分VaR相加等于投資組合的VaR。因此，第i項資產對投資組合的風險貢獻率為CVaRi /VaR。

4.VaR的調整

采用德爾塔——正態法度量VaR的假設，是組合收益率服從標準正態分布。然而，多數金融數據存在較明顯的“尖峰厚尾”現象，當組合收益率分布的峰度系數較高時，德爾塔——正態法計算的VaR會產生較大誤差。因此計算VaR之前，要對組合收益率的分布進行檢驗:若為正態分布，則直接使用(2.1)、(2.2)和(2.3)計算該組合的VaR;若非正態分布，則計算VaR 時應進行相應調整。調整后的組合VaR、ΔVaRi和CVaRi計算公式為:

VaR=-αθσω(2.4)

ΔVaRi=c1-α×θ×(2.5)

CVaRi=ΔVaRi×rω×ω(2.6)

其中，θ=1+ψ1n(k/3)，k是資產組合收益分布的峰度，ψ是與概率值相關的常數(對99%置信度，ψ=0.4)。θ反映投資組合收益率分布峰度，由Bangia、Diebold、Schuermann、Stroughair等人在1999年提出，主要用于處理金融數據的“尖峰厚尾”問題。若分布是正態分布，則k=3，θ=1模型不需要調整;否則需重新計算θ，相應地調整模型。

三、VaR精確性的檢驗方法

只有能準確預測風險的VaR模型才是有效的，因此，建立模型之后需要對其精確度進行檢驗，回測技術正是驗證VaR模型精確度的一類方法的統稱。Jorion(2005)將回測定義為:回測是用來檢測實際損失與預期損失是否一致的有效統計方法，包括把VaR的歷史預測與相關的組合收益率進行系統的比較。回測技術可以檢驗VaR模型的精確度，能發現建模中存在的問題和導致檢驗失敗的原因，為VaR模型的改進提供一些方法。迄今為止有三類回測方法。

1.指標評價法

Hendricks(1996)選取12種VaR計算方法，對每種方法計算電腦隨機組合的1000個資產組合的VaR值;然后構建10個指標來比較各種VaR方法的差異。之后，Engel(1999)、Sinha et al(2000)、Bredin et al(2002)等根據不同需要建立評價指標，對各類VaR進行評價。但是，指標評價法是在模型準確的條件下，根據設計指標工具更全面的觀察和比較各個VaR模型的特點和效率，不適合單個模型精確性的評價。

2.比較評價法

比較評價法以Lopez(1998，1999)為代表。他提出根據管理者的偏好來構建損失函數，根據損失函數的大小排序，借此評價VaR模型:將管理者的某些具體要求定義成某些數值或函數，然后將VaR估計值依據這些要求進行分配或處理。這種方法提供了一種相對的評估方法來對VaR估計值進行比較，但放棄了統計檢驗的諸多優勢，不適合于單個VaR模型的檢驗與評價。

3.假設檢驗法

該方法主要通過假設檢驗的方式，來接受或拒絕一個VaR模型。自從Kupiec(1995)提出經典的Kupiec檢驗之后，以這種方式來評價VaR模型的研究文獻最多。

既然VaR建立在特定置信水平之上，那么一種最直觀的聯想就是，在某些情形下數值會落到圖形之外。因此，檢驗VaR模型的一種最簡單方法是考察失效率，即在給定樣本中 被超越的次數。給定一個T天的VaR圖形，定義N為例外情況的數目，則N/T為失效率。對于給定的置信水平α，失效率應為1-α的無偏測量(即當樣本量增大時失效率逐漸趨向于 (1-α)，且例外的個數應服從經典的貝努里試驗，即例外個數服從B(T，p)二項分布。但是，關鍵問題在于，在有限樣本下，N/T相對于p的偏離大小達到什么程度時，才可以認為是由模型失效而不是偶然因素所導致。基于這種思路，最經典的檢驗方法是Kupiec提出的似然比檢驗。對于B(T，p)而言，為檢驗原假設p=N/T(成立即表示模型失效不是由偶然因素導致)是否成立，Kupiec(1995)構造了似然統計量(3.1)。當原假設成立時，LRuc近似服從自由度為1的卡方分布。因此，給定顯著性水平，即能根據LRuc的值判斷是否拒絕原假設。

(3.1)

四、實例

為了通過投資組合的ΔVaRi和CVaRi分析組合總體市場風險的內在結構，探究組合的每一項資產及其相應調整、變化對組合整體風險的影響程度，選擇中國聯通、萬科A、民生銀行和中國石化構成一個投資組合，投入1 000萬元人民幣，且假設四只股票在投資組合中占比相同，即向每只股票投入250萬。

1.投資組合日收益率的正態性

首先，根據2007年6月至2007年11月共101個每日收盤價，根據計算每只股票的日收益率，其中，Pi，t為第i只股票第t個交易日的收盤價， 為第i只股票第t個交易日的日收益率(i=1，2，3，4， t=1，2，……，101)。其次，計算每只股票的日平均收益率Ri，t、方差σi2和標準差σi，以及方差—協方差矩陣(表1、表2)。最后，根據和計算投資組合的日平均收益率和標準差，分別為Rp =0.0063179，σp=0.0200749。

表3中顯著水平Sig>0.05，接受原假設，該投資組合日收益率服從正態分布。

2.投資組合的VaR、邊際VaR和成分VaR

投資組合日收益率服從正態分布，因此，在95%的置信水平下直接采用(2.1)、(2.2)和(2.3)計算組合的VaR、邊際VaR和成分VaR (表4)。

表4表明:(1)通過組合投資可以分散風險——組合的VaR為3.31%，遠小于四只股票的VaR總和5.57%。(2)四只股票中邊際VaR從大到小依次為中國石化(3.97%)、萬科A(3.5%)、中國聯通(3.11%)和民生銀行(2.62%)，即變化1單位的中國石化，組合風險值會變化0.0397單位;如果想減少1元的風險值，可以通過減少25.17(=1/3.97%)元的中國石化股票來實現。(3)四只股票中中石化的成分VaR最大，為0.99，如果刪除它，能減少0.99單位組合的VaR值;其余依次為萬科A(0.88)、中國聯通(0.78)和民生銀行(0.66)。(4)四只股票在投資組合中的風險比重由大到小依次為中國石化(30.08%)、萬科A(26.51%)、中國聯通(23.57%)和民生銀行(19.84%)。

結論(2)、(3)和(4)表明，當投資者需要調整組合的風險或者調整資金頭寸時，可以根據邊際VaR和成分VaR的大小來調整投資組合。

3.模型回測

為檢驗該VaR模型的精確度，采用投資組合2005年12月1日至2008年10月21日共700個交易日的收益率進行模型回測(不包括計算VaR的日收益率數據)。700個交易日中有28個交易日的日收益率絕對值大于3.31%，在95%的置信水平下，根據式(3.1)構造統計量:

LRuc=-21n[(1-0.05)700-280.0528]+21n{[1-(28/700)]700-28(28/700)28}=1.577

因此，接受原假設(p=N/T)，即該模型能夠準確預測投資組合的VaR。因此，該投資組合的VaR模型較為準確，計算結果可用于分析組合的投資風險。

五、結論

許多學者關注VaR方法的理論及應用研究，但這些研究很少關注投資組合VaR的變量。當需要了解某一投資組合中各資產的VaR大小以及變動某一資產權重對投資組合的VaR將產生怎樣的影響時，單純的VaR無法提供充分信息，因而，Garman M(1997)提出成分VaR和邊際VaR。

本文采用德爾塔——正態法對VaR、邊際VaR和成分VaR進行度量，使用假設檢驗法對模型精確性進行回測。選擇深滬兩市四只股票構建投資組合的研究結果表明:該投資組合的VaR模型較為準確;通過邊際VaR和成分VaR，可以分析每只股票對投資組合VaR的邊際貢獻和總貢獻，掌握組合總體市場風險的內在結構，探究組合的每一項資產及其相應調整、變化對組合整體風險的影響程度。因此，通過將投資組合的VaR分解為邊際VaR和成分VaR，能提供更多風險信息，可以用于了解資產組合中每一項資產及其相應調整、變化對整體風險的影響，識別組合全部風險暴露中風險的主要來源，為風險管理者改進整體風險狀況、評估投資機會、分析資產調整對組合的影響提供重要指導，有助于在瞬息萬變的金融市場中更快更好地做出投資決策。

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Research on the portfolio VaR decomposition application

HU Rong-cai，LONG Fei-feng

(Statistics collage，Hunan university，Changsha 410079，China)

Abstract: VaR for the lack of， Garman M. in 1997， and marginal VaR components made VaR. Using Delta - Normal France metric portfolio VaR， marginal VaR and component VaR， the use of hypothesis testing the model back-tested results show that the method of calculating VaR model under the effective， marginal VaR and component VaR for asset managers to provide more information on investment portfolio risk.

Key words: Delta - Normal France metric; marginal VaR; component VaR; hypothesis testing