一類函數問題的難點突破

不可否認，數學中有一些難題，但有些“難題”同學們完全不用害怕，因為，它有比較明顯的突破方法.例如本文下面談及的問題，只要同學們掌握了思考的方法，則極易突破.請同學們看本文的分析.

題目 已知函數f(x)=x+，g(x)=x+lnx，其中a>0.若對任意的x∈[1，e](e為自然對數的底數)，使得f(x)≥g(x)成立，求實數a的取值范圍.

分析 該問題是同學們學習的難點，最主要的困難是無法理解題中條件“若對任意的x∈[1，e](e為自然對數的底數)，必有f(x)≥g(x)成立”的含義.思考下面的問題對同學們理解題意有很大的幫助，我們一起先看一下:

有兩個學生數相同的班級A、B，若f(x)，g(x)分別表示某次考試A、B兩個班級中學號為x的學生的成績，則f(x)≥g(x)表示什么意思?

相信同學們不難理解意思，是“在這次考試中，A班級中學號為x的學生的成績比B班級中學號為x的學生的成績都要好”.那么，同學們就可以類比理解題中條件的含義是:“對區間[1，e]內的同一個x值，函數值f(x)都大于等于g(x)，即f(x)-g(x)=-lnx都大于等于0”，進一步可以知道，在x∈[1，e]時，a2≥xlnx恒成立，故a2比xlnx在[1，e]上的最大值還要大.至此，同學們肯定看到了勝利的曙光，因為可以用導數的方法判斷出函數h(x)=xlnx在x∈[1，e]上是單調遞增的，從而得到函數h(x)=xlnx的最大值為elne=e，于是得到a≥.

通過對一個比較熟悉的問題的理解，幫助同學們突破了題目的難點!我們乘勝追擊，繼續來突破此類難題，請思考下面的2個變式.

變式1 已知函數f(x)=x+，g(x)=x+lnx，其中a>0.若對任意的x1，x2∈[1，e](e為自然對數的底數)，使得f(x1)≥g(x2)成立，求實數a的取值范圍.

分析 這個問題相當于A班級中學號為x1的學生的成績比B班級中學號為x2的學生的成績好，例如A班級中學號為1(或2，或3，…)的學生的成績比B班級中學號為1，2，3，…的學生的成績好，所以，可知A班級中任意一個學生的成績都比B班級中學生的成績好，即A班級中最差學生的成績比B班級中最好學生的成績還要好!于是可知變式2的條件的含義是“在[1，e]區間上，f(x)的最小值大于等于g(x)的最大值”.因為在x∈[1，e]時，g′(x)=1+>0恒成立，所以可以判斷出函數g(x)=x+lnx在區間[1，e]上是單調遞增的，于是得到區間[1，e]上g(x)的最大值為g(e)=e+1.如果同學們認為用求導數的方法也能順利的求出函數f(x)的最小值就錯了!我們試著解下去.

因為f ′(x)=1+，所以f(x)在區間(0，a)遞減，在區間(a，+∞)遞增.無法獲知f(x)在區間[1，e]上的單調性!攔路虎又出現了!怎么辦呢?只能分類討論.當e≤a時，f(x)在區間[1，e]上遞減，所以f(x)的最小值f(e)=e+≥e+1，得a≥，故a≥e;當1

變式2已知函數f(x)=x+，g(x)=x+lnx，其中a>0.若對任意的x1∈[1，e](e為自然對數的底數)，必存在x2∈[1，e]，使得g(x2)=f(x1)成立，求實數a的取值范圍.

(請同學們根據前面的分析，自己先試著思考和做一下本題，然后再接著看下去)

分析 同學們看出題中條件的含義是“函數f(x)在區間[1，e]上的任意一個函數值都能由函數g(x)在區間[1，e]上找到”嗎?實際上，就是函數f(x)在區間[1，e]上的值域是函數g(x)在區間[1，e]上的值域的子集!由變式1的分析我們不難得到函數g(x)在區間[1，e]上的值域是[1，e+1].同樣，由變式1的分析可知，因為當e≤a時，f(x)在區間[1，e]上的值域為[e+，1+a2]，所以e+≥1，1+a2≤e+1，解得a<，故此種情況不符合;當1

至此，我們從一個題目的難點的突破出發，通過對該題目的2個變式的進一步深入剖析，逐漸對這一類函數問題有了較為深入的理解，對問題的條件我們可以總結如下:

若對任意的x∈D，使得f(x)≥g(x)成立對任意的x∈D，f(x)-g(x)≥0恒成立;

若對任意的x1，x2∈D，使得f(x1)≥g(x2)成立f(x)的最小值≥g(x)的最大值;

若對任意的x1∈D，必存在x2∈D，使得g(x2)=f(x1)成立f(x)的值域g(x)的值域.

相信有了上面的認識后，同學們今后解題定能事半功倍，得心應手了!當然，從中同學們應該也能體會到，學數學關鍵是學習數學中的一些解題的思想，掌握了解數學題的思想，同學們就能以不變應萬變，從容地解題.文末提供一道練習從容，請同學們一試身手.

練習 已知函數f(x)=x+，g(x)=x+lnx，若在[1，e](e為自然對數的底數)上至少存在一點x0，使f(x0)>g(x0)得成立，求實數a的取值范圍.

提示 這個問題相當于A、B兩個班級中至少各存在一個同學號為x0的學生的成績，使得A班的學生成績比B班的學生成績要好，于是可知在[1，e]上至少存在一點x0，使得f(x0)>g(x0)成立，即f(x)-g(x)>0在[1，e]上有解，構造函數h(x)=f(x)-g(x)函數后，進一步等價于函數h(x)在[1，e]上的最大值大于0.由h′(x)=-在[1，e]上恒小于0知，函數h(x)在[1，e]上單調遞減，從而得h(x)在[1，e]上的最大值為a2，所以當a≠0時即滿足題意，即實數a的取值范圍是(-∞，0)∪(0，+∞).

練習的條件我們可以類似的總結為:若對至少存在一個x0∈D，使得f(x0)>g(x0)成立f(x)-g(x)>0在D內有解.

責任編校徐國堅