可轉換債券定價方法理論與實證探究

摘要:可轉換債券是一種比較復雜的金融工具，如何準確對其進行定價的問題始終沒有得到根本解決。當前中國學界普遍采用的方法是使用布萊克-斯科爾斯模型對可轉債進行估值，在本文中，筆者以Cox，Ross，Rubinstein(CRR)提出的二項樹模型為基礎，經過新的修正后，將其用于我國可轉債的定價估值，并根據當前轉債市場的真實數據輔以實例驗證。最后，對兩種定價模型的估值效果進行了比較并提出了可能出現偏差的原因。

關鍵詞:可轉債定價;布萊克-斯科爾斯模型;二項樹模型;估值效果分析

可轉換債券是一種兼具債權憑證和股權憑證雙重性質的金融工具。一方面，在轉換期內，債券發行人必須按約定利率無條件還本付息;另一方面，在債券到期時，其持有人有權按照約定條件將債券轉換為普通股，使債務資本轉變為權益資本，其自身也由公司債權人轉變為公司股東。

近年來，可轉債由于其靈活性高、融資成本低、融資金額大，可以減緩股東權益稀釋等優點，不論是對債券發行方還是對債券投資者來說，都具有較大的吸引力，因而在資本市場上被廣泛使用。然而可轉債由于內含轉換結構的復雜性，其準確定價問題始終沒有得到根本解決。Brennan， Schwartz和Ingersoll提出依據公司價值變化的隨機過程對可轉債進行定價，McConnel和Schwartz將信貸利差作為折現因子建立了新的可轉債定價模型，Tsiveriotis將可轉債的價值分解為權益部分和債權部分，Hung等則在可轉債定價模型中加入了對違約風險的度量，從而進一步提高了可轉債定價的準確性。總體而言，可轉債定價模型的研究不論是從理論意義還是從實際應用的角度來說，都具有重要的意義。

一、可轉債估值理論模型研究

可轉換債券由于兼具債權性和期權性，因此其理論價值應該等于它作為普通公司純債券的價值與它相應的看漲期權的價值之和，用公式表示為:

可轉換債券理論價值=純債券價值+轉股比例×看漲期權價值

假設純債券價值為S，轉股價格為K，看漲期權價值為f，則可轉債的價格V可以表示為:

下面本文將就這兩方面進行進一步討論。

(一)純債券價值估值

普通公司純債券價值是指可轉換債券若不具有轉換權利，其本身的債券性所具有的投資價值。純債券價值等于可轉換債券所有未來現金流(可轉債面值和每年利息值)的折現值之和，公式表示為:

其中，NPV為可轉換債券的純債券價值，F為可轉換債券面值，Ii為第i年可轉換債券年利息值(面值×票面利率)，T為可轉債期限，t為可轉債當期時間，r為折現率。

需要指出的是，純債券價值與無風險利率有關，而與可轉債標的股票的價格無關，它相當于一個普通可比債券的價值，反映了可轉換債券的最低價值。在到期日時，如果出售或者轉換債券的價值低于這個價值，則投資者將不會行使該出售或者轉換權利，而是選擇收回本金和每年利息。

(二)看漲期權價值估值

1.基于布萊克-斯科爾斯模型的可轉債估值

布萊克-斯科爾斯模型(Black-Scholes Model)由諾貝爾經濟學獎獲得者Fischer Black和Myron Schole提出，適用于看漲歐式期權的估值，該模型根據“無套利原理”(Arbitrage-free Principle)提出，即如果某個期權的價格偏離了布萊克-斯科爾斯模型所計算的價值，則市場上無風險套利的機會就會出現，而無風險套利的過程將使得期權的價格重新回歸至模型所計算的理論值。布萊克-斯科爾斯模型包括股票、債券、期權在內的以市價變動而定價的金融衍生工具的合理定價奠定了理論基礎，公式表示為:

f=Ps·N(d1)-X·e-rt·N(d2)

其中f為看漲期權價值， Ps為股票的當前價格， X為期權的執行價格， t為期權到期時間，為股票連續復利下年收益率的標準差， N(di)是標準正態分布小于di的概率(i=1，2)，r為無風險利率1。

布萊克-斯科爾斯模型的理論基礎是Black-Scholes微分方程和風險中性定價原理:

Black-Scholes微分方程:

在風險中性時，歐式看漲期權與看跌期權到期日的期望值分別為:

E[max(PT-PE)，0]

E[max(PE-PT)，0]

其中，PT為到期日時期權商品市場價格，PE為期權商品執行價格。

和許多其他定價模型一樣，布萊克-斯科爾斯模型是建立在一系列有關經濟環境和股票價格的假設之上的，主要包括:

1)期權標的物的價格變動遵循一般化的維納過程，即其價格服從對數正態分布;

2)股票可以賣空，且賣空者將得到交易中的全部利益;

3)期權標的物的價格波動率為已知的常數;

4)期權是歐式期權，即只有在到期日才能夠執行;

5)存在一個固定的無風險利率;

6)不存在交易費用和稅收等;

特別地，布萊克-斯科爾斯模型沒有考慮到期權在到期日之前被執行的情況，因此該模型通常只適用于歐式期權的定價，若使用該模型對美式期權進行定價，則會出現較大的偏差。

2.基于二項樹模型的可轉債估值

二項樹模型(Binomial Options Pricing Model)由Cox，Ross，Rubinstein最先提出，它既可以用于歐式期權的估值，又可以用于美式期權的估值。該模型將可轉債期限分割為n個相等且間隔為t的時間段(每個時間間隔稱為一個二項期)，然后通過研究每個二項期后的股票價格，使用等效替代的方法來計算待估值期權的價格。事實上，由于該模型應用廣泛、比較直觀且易于理解，因此它已經成為當今金融界最廣泛使用的金融衍生品定價模型之一，公式表示為:

其中f為看漲期權價值，Ps為股票的當前價格， X為期權的執行價格，t為一個單位二項期，n為觀察期，u為一個單位時間股票價格上漲的比例，d為一個單位時間股票價格下跌的比例，p為股票價格上漲的概率，1-p為股票價格下跌的概率，r為無風險利率。

下面簡要推導說明二項樹模型的看漲期權公式:

首先考慮只有一期的二項樹。由于Ps是股票的當前價格，u為一個單位時間股票價格上漲的比例，d為一個單位時間股票價格下跌的比例，因此在一個二項期t之后，股票的價格只有上漲或下跌兩種情況，并且，若股價上漲，則在該時間點股價為u Ps;若股價下跌，則在該時間點股價為d Ps。

這里，我們估值的原理是:構造一個投資組合，使得該投資組合的回收在股價上漲或下跌的情況下，與待定價期權的回收都完全相同，則此時必有該投資組合的價值與期權的價值也相同。

構造的投資組合是:買進△股相同公司的股票2，并且以無風險利率借入B元債券。

設δ為連續股利收益率，r為無風險收益率，上漲情況下期權價值為Vu，下跌情況下期權價值為Vd。

若第一期后股票的價格上漲為u·Ps，根據期權價值=構造的投資組合價值，有:

Vu=u·Ps·△·eδt+B·ert(1)

若第一期后股票的價格下跌為d·Ps，同理根據期權價值=構造的投資組合價值，有:

Vd=d·Ps·△·eδt+B·ert(2)

聯立以上(1)(2)兩式，解出△和B，可得:

由于在當期時刻(T0)，此投資組合的價值為購買股票和債券所需的現金流，也就是我們最終要估值的期權的價值，設這個值為f，則有:

f=e-rt[p·Vu+(1-p)Vd](4)

上式即為一期情況下期權估值的表達式，其中 ，

Vu=max(u·Ps-X，0)，Vd=max(d·Ps-X，0)

同理，在兩個二項期2t之后，股票漲跌后的價格只有三種情況，分別是u2·Ps，u·d·Ps，d2·Ps。以此類推可知，在n個二項期nt之后，股票的價格有n+1種情況，可以統一表示為:

Psn=ukdn-kPs，k=1，2，…，n

此時期權的內在價值即為股票價格和行權價格中的較高者，即max(ukdn-kPs-X，0)。

對于這種n個二項期的期權價值計算，我們選擇采取“倒推法”，即沿著二項樹倒向逐級推出前一期期權價值的方法。具體原理是:由于我們可以借助構造的投資組合的價值計算出第n期的每個結點上的期權價值(共n+1個)，將其逐項帶入公式(4)中，便可以計算出第n-1期的每個結點上的期權價值(共n個)，再次帶入公式(4)，即可以計算出第n-2期的每個節點上期權價值(共n-1個)……以此類推，進行迭代計算，最終必定可以計算出在第0期(即現在時點)的期權價值，該值即為所求的目標期權的當前價值。在實際計算中，該過程可以通過計算機編程實現。

二、可轉債估值應用實例

本文中選擇浙江龍勝(600352)在2009年發行的規模為125000萬元、面值為100元的龍盛轉債(110006)作為以上有關估值模型討論的應用實例。可轉債的基本數據如下:

根據以上數據，可以得到用于計算的對應變量值: 3

F=100，X=8.9，T-t=4.5，I1=1.0，I2=1.2，I3=1.4，I4=1.6，I5=1.8

對股票價格波動率σ的估計:

浙江龍勝可轉債的發行日期為2009年09月14日，為消除可轉債發行對股價的影響，這里我們選擇債券發行前從2008年09月01日至2009年08月31日一年的股票價格來計算波動率。

設ui (i=1，2，…，n)為股票第i日的連續復利收益率，為ui的標準差，則 即為股票價格日波動率，公式表示為:

計算出股票價格日波動率 以后，就可以計算出股票價格年波動率σ，計算公式為:

股票價格年波動率σ=股票價格日波動率

代入相關數據，最終計算結果為浙江龍盛股票價格年波動率 σ=0.2268。

對貼現率i的估計:

貼現率應等于企業發行純債券所要求的回報率，由于當前中國企業發行債券都有相應的評級和擔保，因此在不考慮額外的信用風險的情況下，可以認為交易所相應期限的企業債券收益率即為可轉換債券定價的貼現利率。這里，我們選擇同期債券比較收益率3.85%作為貼現率i的估計。

對無風險利率r的估計:

國際上對于無風險利率的估計，一般采用短期國債收益率來替代計算。這里，我們也同樣遵循這一原則并考慮了信用風險溢酬之后，采用2009發行的一年期憑證式國債票面利率2.60%來作為無風險利率r的估計值。

(一)純債券價值

如上所述，可轉債的純債券價值等于可轉換債券所有未來現金流(可轉債面值和每年利息值)的折現值之和，公式表示為:

針對本例，由以上數據選擇，具體計算過程如下:

因此可以得到可轉債的純債券價值為90.64767元。

(二)看漲期權價值

1.基于布萊克-斯科爾斯模型的可轉債估值

浙江龍盛2010年4月13日股票收盤價Ps為13.69元，相關數據如下:

Ps=13.69，X=8.9，r=2.6%，σ=0.2268，t=4.5

通過NORMSDIST函數，可以計算得到:

N(d1)=0.916008， N(d2)=0.815291

每份看漲期權的價值為:

f=13.69×0.916008-8.9×e-0.026×4.5×0.815291=6.08524

轉股比例為11.2，因此11.2份看漲期權的價值為:

6.08524×11.2=68.154688元

基于布萊克-斯科爾斯模型計算，最終可以得到2010年4月13日龍盛轉債的理論價值:

可轉換債券理論價值=90.64767+68.154688=158.80元(保留至百分)

2.基于二項樹模型的可轉債估值

對于二項樹模型來說，這里為了簡單直觀地表示出二項取值的過程，取變量值n=5。其他數值保持不變，分別為:

Ps=13.69，X=8.9，r=2.6%，σ=0.2268，n=5，t=0.9

對于一個單位時間股票價格上漲的比例u，一個單位時間股票價格下跌的比例d的取值，將根據該公司股票年化波動率在連續復利條件下進行計算，即:

u=e，d=e-

代入上文中數據，可得u=1.24006，d=0.80641。

對于一個單位時間后股票上漲的概率p，計算表達式為:

代入數據，可得P=0.50101。

單位時間間隔(一個二項期)方面，取n=5，t=0.9代入(*)式，有:

每份看漲期權價值f=6.12688:

11.2份看漲期權的價值: 6.12688×11.2=68.62106

此，我們最終可以得到2010年4月13日龍盛轉債在二項樹模型下的理論價值為:

可轉換債券理論價值=90.64767+68.62106=159.27(保留至百分位)

在以上計算中，筆者為了簡要直觀地說明使用二項樹模型對可轉債估值的過程，選取了變量值n=5。在實際計算中，迭代的次數越多，估值效果將會越準確。因此，為了準確定價，實際計算時通常會選取n=100以上的迭代次數，這種方法可以保證計算結果更加接近可轉換債券的真實價值4。

分別使用布萊克-斯科爾斯模型(BSM)和二項樹模型(BOPM)在n=5和n=100的情況下，根據浙江龍勝的股票價格5，計算出龍盛轉債從2010年4月1日至2010年4月15日期間的理論價值，結果匯總如下

三、估值結果分析

根據估值結果對比表，可以直觀地觀察到兩種理論模型基本對可轉換債券的價值進行了比較準確的估計。進一步計算可知，使用布萊克-斯科爾斯模型估值的偏差范圍為-0.76%至4.80%，使用二項樹模型在n=5的情況下估值的偏差范圍為-0.53%至5.11%，在n=100的情況下估值的偏差范圍為-0.75%至4.79%，這個結果可以說明以下結論:

1)本文以上理論研究中，對可轉債定價模型的假設和相關變量的選取比較準確合理。

2)使用二項樹模型估值時，在迭代次數n增大時，可轉債估值的準確性有較大提高。

3)當n取值結果較大時，使用二項樹模型估值的結果和使用布萊克-斯科爾斯模型估值的結果將十分接近。

4)市場上龍盛轉債的實際價值可能被低估6。

正如上文所述，任何金融產品及其衍生品的定價模型均是建立在一系列理想情況的假設基礎之上的，而這些假設存在本身就會在一定程度上限制定價模型的準確性。在真實市場中，金融產品的實際價格還將受到很多其他因素的影響，可能會造成價值偏差的原因包括:

1)股票市場不完善。相關研究表明，我國的股票市場處于無效和弱有效性之間。公司與投資者之間的信息不對稱現象較為嚴重，在2010年股指期貨起始交易之前，市場上始終沒有做空機制，只能通過推高大盤指數和股票價格來通過價差獲取盈利，因此容易出現虛高和泡沫的現象。

2)債券市場弱流動性。目前中國債券尤其是可轉債市場還屬于新興發展階段，市場不夠成熟，流動性相對較弱，交易量相對較小，債券市場價格不能完全反映真實價值。

3)投資者不成熟。由于可轉債這種新型金融工具在我國發展的時間相對較短，市場規模較小，因此很多投資者對可轉債的認識嚴重不足，未對其內在價值進行充分挖掘。

4)贖回和回售條款7。在債券發行時，發行公司和交易者之間簽訂的協議中可能會包含贖回和回售條款，即在一定的觸發條件成立時，公司有權利(或義務)以某一提前設定的價格贖回(或回售)之前所發行的可轉換債券，這種條款的存在將會限制一般理論定價模型的準確性。

實際上，布萊克-斯科爾斯和二項樹這兩種期權定價模型都是建立在動態復制原理和無套利均衡原理之上。根據中心極限定理，當n趨向無窮大時，二項式分布將逼近正態分布，此時二項樹模型的定價結果也將逼近布萊克-斯科爾斯模型的定價結果8。

布萊克-斯科爾斯模型的建立進行了大量的假設，成立的條件相對苛刻，而且一般情況下只適用于歐式期權，因此其應用性受到一定的局限;二項樹模型的假設條件較少，使用范圍更廣泛，既可以用于歐式期權定價，也可以用于美式期權定價，但是其計算過程卻相對復雜。

投資者在對可轉換債券進行估值時，除了使用相關定價模型來計算其理論價值外，還應關注包括宏觀經濟環境、企業所在行業和具體發行公司情況在內的其他因素，來整體考慮可轉債的綜合情況，力圖可以更加準確地把握其真實價值。

參考文獻:

[1]Cox， J. C.， Ross， S. A.， Rubinstein， M. “Option Pricing: A Simplified Approach” [J]. Journal of Financial Economics，1979.

[2]Simon Benninga. Zvi Wiener. “The Binomial Option Pricing Model”[J]. Mathematica in Education and Research，1997.

[3]Benninga， S.， Financial Modeling[M]. MIT Press，1997.

[4]Robert L. McDonald. Derivatives Markets[M]. Pearson Education，2003.

[5]Keith Cuthbertson. Dirk Nitzsche. Financial Engineering: Derivatives and Risk Management[M]. John Wiley Sons，2004.

[6]ACCA. Advanced Financial Management[M]. Kaplan Publishing， 2009.

[7]王忠郴，趙迎東.金融市場計算技術[M].上海:立信會計出版社，2006.

[8]朱世武.金融計算與建模[M].北京:清華大學出版社，2007.

[9]姜禮尚.期權定價的數學模型和方法[M].高等教育出版社，2009.

[10]吳恒煜，趙平，期權定價公式的二叉樹推導與分析[J].中國證券期貨，2009(02):34-37.

(作者單位:英國牛津布魯克斯大學商學院 首都經濟貿易大學金融學院)