構建有思維厚度的數學課堂

計算是數學的重要組成部分，是學生終身發展必備的知識之一。新一輪的課程改革對計算教學的價值重新定位，加強了口算及估算的教學，提倡算法多樣化，從而改變了過去注重技能掌握的單一局面，消解了學生對計算的枯燥感和人文性弱的弊病。審視目前的數學課堂教學，計算教學仍有被邊緣化和異化的傾向:一方面縮短算理的探究時間，以讓位于各種變式練習;另一方面過分強調算理多樣化，整個課堂成了部分優生的表演場，等到熱鬧過后才發現大部分學生連最基本的計算方法也沒有掌握，計算成了無根之萍。那么如何讓計算教學，真正成為學生發展和提升的平臺?下面我以“分數除以分數”的教學(蘇教版教材第十一冊第58頁)為例，談談對計算教學的思考。

教學片斷:

1.創設情境，引出新知。

量杯里有升果汁，茶杯的容量是升。這個量杯里的果汁能倒滿幾個茶杯?

2.交流反饋，探索新知。

生1:我通過畫圖的方法，知道這杯果汁可以倒3杯。(解法一)

師:通過畫圖尋找問題的答案是一種方法，但有時候畫圖不一定方便。

生2:我通過計算得出，可以倒3杯的。算式是÷===3杯。(解法二)

師:分數除以分數，用分母相除的商作為分母，分子相除的商作為分子，這樣計算可以嗎?

生2:我想是可以的，因為這樣計算的商和正確結果一樣，都是3。

師:這種猜想值得提倡，如果能夠證明你的猜想是正確的就更好了。

生3:分數乘分數的計算方法是把分母相乘的積作分母，分子相乘的積作分子，現在已知兩個因數的積和其中的一個因數，求另一個因數，可以把積中的分母、分子分別除以一個因數的分母和分子。比如:×==，÷==。(解法三)

師:運用乘除運算間的關系，對剛才的猜想進行了證明，非常精彩。

生4:我是把算式中的分數都化成小數來計算的，算式是÷=0.9÷0.3=3(杯)。(解法四)

生5:我是根據商不變的性質把算式轉變成整數乘法后再計算，算式是:÷=×10÷×10=3(杯)。(解法五)

生6:我是根據分數除以整數的計算法則來類推的，算式是÷=×=3(杯)。(解法六)

師:運用類比推算分數除以分數的方法，真不簡單!

3.嘗試比較，獲取新知。

師:這么多的解法真是五花八門啊。你比較喜歡哪一種?(學生發表意見，解法2、3、6得到多數人的認可。)下面就請你們用自己喜歡的方法嘗試計算:÷。(學生嘗試計算并反饋)

生7:我先是選擇解法2，就是分子相除、分母相除的方法。可是這里分子相除的商是個小數，而分母相除的商除不盡。于是我便試著用方法6，計算過程是÷=×=

生8:這里分母相除不是整數，我便先通分再除÷=÷==。

師:真棒，這種積極思考、不解決問題不罷休的數學精神還真是令我欽佩啊!

生9:我是選擇解法4的，但是這里的除數不能化成有限小數，所以，我就沒有辦法算下去了。

師:(鼓勵)不錯啊，只要認真思考、積極動腦就是好樣的，有時學習的這種過程比結果更重要啊。

生10:我一開始就是選擇了解法6，這樣一下子就算出了結果。

師:我們的同學真是出色。對于剛才的方法，請大家談談各自的看法。

生11:我覺得把分數先化成小數再相除的方法，適用于分子、分母能化成有限小數的分數除法。如果遇到不能化成有限小數的分數除法就麻煩了。

生12:我選擇把分數除法轉化成分數乘法的方法。這樣計算就比較方便了。

生13:我認為分子相除、分母相除的計算方法在計算例題這樣的題目時比較簡便，但是遇到除不盡時也是比較麻煩的。

師:可是剛才不是通分了嗎?

生13:通分之后可以算出得數，但是還是比較繁瑣，轉化成乘法不就得了，又不是做分數加減法。

師:(轉向剛才提出通分方法的同學)你覺得他說的有道理嗎?如果再讓你作一次選擇呢?

生14:我覺得他的意見有道理，一般情況下把分數除法轉化成分數乘法的方法計算比較方便。但是有時候用分母相除、分子相除的方法計算也很方便。就像例題一樣，不需要顛來倒去的，很快就可以算出正確結果。所以，我認為還是要具體情況具體分析。

師:好一個“具體情況具體分析”，看來選擇什么樣的計算方法還要根據不同的題目來確定，你們認為呢?

……

教學反思:

1.讓學生思維在計算中生長

“分數除以分數”是“分數除法”單元的例4，從單元內容看和“分數乘法”相銜接，遵循了從易到難，循序推進的規律;從計算法則的教學編排來看，先是分數除以整數、整數除以分數，再到分數除以分數，最后才形成包攝性強的分數除法法則。

教學時，我跳出了認知技能的框框，不把法則的得出、技能的形成作為唯一的目標，而更關注學生的學習過程，讓學生在自身實踐探索的過程中實現發展性目標。教學時圍繞例題÷重點展開探索，提供自主學習機會，給學生充分思考的空間和時間，允許并鼓勵他們有不同算法，尊重他們的想法，讓他們在相互交流、碰撞、討論中，進一步明確算理。重點探究后，并不急于得出計算法則，而是繼續讓學生實際練一練，允許他們選用自己認為合適的方法進行計算。雖然整節課都沒有刻意追求得出所謂形式上的計算法則，但學生所說的不就是算理算法的核心嗎?這樣的計算教學，學生獲得的將不僅僅是計算法則、計算方法，重要的是能積極地體悟算理、內化技能，促進數學素養的發展。

2.讓學生思維在計算中發展

算法多樣化是《數學課程標準》中的一個重要思想，由于學生有著不同的知識背景和思考角度，他們的差異是客觀存在的，對同一個計算問題，由于學生認知水平和認知風格的不同，常常會出現不同的計算方法，這正是學生具有不同個性的體現。當學生對于“÷”的嘗試計算，出現多種不同的思維方式:有的受到分數乘法的影響，想到用“分子相除，分母相除”的方法進行計算，甚至還發明了“先通分、再相除”的計算方法;有的學生由“分數除以整數，用分數乘整數的倒數”想到分數除以分數也可以轉化成乘法來計算等等，這說明每個學生都有自己的知識經驗。當學生呈現多種算法后，如果不及時地進行優化，學生的思維只能在原有的低水平上簡單重復。因此，我鼓勵學生敢于發表意見、堅持己見的同時，又適時、積極地介入，合理引導學生通過優化而自覺地放棄繁雜的、低層次的算法。由于他們是在積極地參與整個學習活動，從而充分發揮了潛在的創造力，用智慧去引燃智慧，從而真正意義上獲得“一雙數學的眼睛，一個數學的頭腦”，用自己的思維方式進行自由的、多角度的思考，實現有意義自主建構。