數學直覺思維讓課堂教學更顯效

數學直覺思維是對抽象的數學對象的一種直接領悟和洞察，是在具備一定的數學素養和數學知識積累過程中形成的一種思維能力，它有著直接性、快速性、跳躍性、個體性、堅信感、偶然性、非邏輯性、創造性、或然性等特點.我認為數學課堂教學不但離不開學生數學直覺思維的培養，而且更需要用好數學直覺思維去解決數學問題，這樣才會使課堂教學更顯效.為此，筆者在教學實踐中，對數學直覺思維的運用作了些探索.

一、數學美感，激發直覺思維動力，數學課堂興趣盎然

數學直覺的本質就是某種“美的意識”或“美感”.數學美充滿了整個數學領域，而這些數學美是引起數學直覺的動力，是產生數學直覺的重要條件.我們在教學實踐中應充分展現數學美、挖掘數學美或創造數學美，引導學生按照美的規律去想象、去判斷.

例1已知函數f(x)=，那么f (1)+ f (2)+ f ()+ f (3)+ f ()+ f (4)+ f ()=.

分析:本題如果逐個代入求值，顯然比較麻煩且費時較多，但如果憑直覺發現，本題有著和諧的對稱美，且2×=3×=4×=1，就會意識到采取自變量的互補配對策略，f (2)+ f ()、 f (3)+ f ()、 f (4)+ f ()的結果應該相同.

由 f (2)=， f ()= f (2)+ f ()=1，計算并發現一般規律f (x)+ f ()=1，從而得出答案是3.

數學中有很多問題有著和諧的對稱美，解題時若能挖掘與利用這種關系，往往會有意想不到的收獲.在解某些數學問題時，針對其中的式子f (x)的特點，為其配湊一個合適的式子 f ()，使得由f (x)和 f ()之間的運算產生一些有用的關系式，往往能促使問題向有利的方向轉化，進而解決問題.

二、數形合璧，誘導直覺思維動機，數學解題如虎添翼

縱觀多年數學高考試題，巧妙運用數形結合的思維方法解決一些抽象的數學問題，有著事半功倍的效果.由數思形，由數想形，利用圖形的直觀誘發直覺，對培養學生的數學直覺思維非常有幫助.提高了數形直觀思維能力，學生在解答有關數或形的數學問題時就如虎添翼.

1. 數變形，眼中有數，心中有圖

在學習數學抽象的概念時，若把它的屬性用恰當的圖形加以展示，相信會給學生帶來直觀、形象和清晰的視覺沖擊，從而使學生的直覺思維能力得以提升和發揮.

例2如果實數x和y滿足方程(x-2)2+y2=2，求的最大值.

分析:從整體上觀察題設中的方程和所求式，可以發現:已知圓的方程，求幾何意義為斜率的代數式的最大值.憑直覺可知，相切時取最大值.

不妨設點A(x，y)在圓(x-2)2+y2=2上，圓心為C(2，0)，半徑等于(如圖1)，則是點A與原點連線的斜率.當OA與⊙C相切，且切點A落在第一象限時，kOA有最大值，即有最大值.

因為CA=，OC=2，所以OA==.

所以()max=tan∠AOC=1.

在學習數學時，學生如果能做到眼中是數，心中有圖形，那么必然會在觀察圖形的過程中增強學生的想象力，促使學生產生接近于實際的直覺猜想，提高直覺感知能力.在解題時，構造出恰當的幾何圖形常常能得出令人拍案稱奇的巧妙解法，而且數形結合也是誘導學生數學直覺思維動機的一個極好的切入點.

2. 形化數，眼中有圖，心中有數

在平面幾何和空間幾何中，我們也常常在“覓數”中找到捷徑，即在觀察圖形時，既要定性也要定量.換言之，借助圖形來完成某些題時，僅畫圖示“意”是不夠的，還必須反映出圖形中的數量關系.

例3圓x2+y2+2x+4y-3=0上到直線x+y+1=0的距離為的點共有幾個?

分析:由平面幾何知，到定直線l:x+y+1=0的距離為的點的軌跡是平行l的兩條直線.因此問題就轉化為判定這兩條直線與已知圓的交點個數.將圓方程變形為:(x+1)2+(y+2)2=8，知其圓心是C(-1，-2)，半徑r=2，而圓心到定直線l的距離為，由此判定平行于直線l且距離為的兩條直線中，一條通過圓心C，另一條與圓C相切，所以這兩條直線與圓C共有3個公共點(如右圖2).

可見，數形結合的實質就是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維和形象思維結合起來，在解決代數問題時，聯想到它的圖形，從而啟發思維，找到解題之路;或者在研究圖形時，利用代數的性質，解決幾何的問題.

三、經驗積累，豐富直覺思維源泉，數學課堂百花齊放

數學直覺思維是人腦對數學對象、結構以及關系的敏銳的想象和迅速的判斷，盡管有偶然性的特點，但并不是憑空臆想的，而是依靠過去的知識經驗以及對有關知識本質的認識，從而從整體上把握問題的實質，進而分析問題，解決問題.因此，學生對數學知識的經驗積累是培養直覺思維能力的基礎.在日常教學中，我們不難發現，成績好的學生在解數學題時，知道題意和條件后，解題思路馬上在他們的腦海中涌現.為什么這些學生思維如此敏捷呢?原因是因為他們大腦中積累了比一般學生更多的知識，故快速反應的數學直覺就應運而生.

在教學直線與圓錐曲線的問題時，我舉了一道常見的例題:

例4設直線l:y=kx-1與雙曲線x2-3y2=1交于A，B兩點，以AB為直徑的圓恰好過原點，求k的值.

分析:通過對問題的分析后，很多學生馬上想到OA⊥OB，這一初中知識為解此題提供了直覺的源泉，緊接著學生的思維便活躍起來，順理成章地便設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2+y1y2=0.這一形式的出現使學生意識到，只需將直線方程和雙曲線方程聯立成方程組，消去y和x再運用韋達定理代入上式即可.仔細觀察又可以轉化為:y1y2=(kx1-1)(kx2-1)=k2x1x2-k(x1+x2)+1，所以只需消去y，由上可以得到關于k的方程，從而解出k的值.

量的積累是質的飛躍的前提，豐富的數學知識的積累是產生直覺思維的源泉，沒有對圓的性質等相關知識的正確把握，則不可能有此題的直覺判斷.

四、鼓勵猜想，培養直覺思維信心，數學課堂充滿創新

直覺思維是一種瞬間思維，它是邏輯的凝結、簡縮和躍進，而其過程往往是不清晰的，但將這些思維環節展開時，可以看到不少是發散思維、類比、歸納和聯想的結果，因此教學中要全面介紹形象思維、邏輯思維和直覺思維，使學生能從整體上把握問題.

例5在一次數學測試后，一位學生對一道求值題的解答引起了在場幾位教師的爭論.

函數f (x)是定義在(0，+∞)上的單調函數，且f (xy)= f (x)+ f (y)，f (4)=1.

(1)求f (16)的值; (2)證明:f (xn)=nf (x)(n∈N+).

解:看到f (xy)= f (x)+ f (y)，憑直覺馬上想到了f (x)=logax，而f (4)=1，所以，f (16)=log416=2，f (xn)=log4 xn=nlog4 x=nf(x).

教師甲:該同學采用投機取巧的辦法，沒有采用賦值法的步驟來求解，考查不出該生對用賦值法求解抽象函數問題的掌握情況，因此不能給分，否則會造成不良后果.

教師乙:雖然該學生沒有采用賦值法的步驟來解題，但畢竟看出了抽象函數所對應的一個具體函數，因此可以給一定的分數，給予鼓勵.

教師丙:該生解法過程完整，應給滿分.

教師甲:禁止采用投機取巧，強調按課本要求的格式完成.

教師乙:鼓勵按照采用賦值法的步驟來解題的同時，適當觀察抽象函數對應的函數模型，最后應按照課本要求完成解題格式.

教師丙:強調直覺，只要能把問題解決并且理由充足即可.

教學中，教師沒有必要強迫學生的思考方式、表達形式一定要如自己所想.相反，應該把直覺思維在課堂中明確地提出，制定相應的活動策略.當遇到學生的奇思妙想時，不要輕易地說“不”，對于學生的大膽設想應給予充分肯定，對其合理成分及時給予鼓勵，愛護、扶植學生的自發性直覺思維，也許只有這樣，才能呵護他們可貴的直覺思維，才會讓我們的學生在獲得知識的同時，變得更聰明.

“跟著感覺走”是教師經常講的一句話，其實這句話里已蘊涵著直覺思維的萌芽，只不過我們大家沒有把它上升為一種思維觀念.我們應該把直覺思維冠冕堂皇地在課堂教學中明確的提出，制定相應的活動策略，從整體上分析問題的特征.

五、善于反思，彌補直覺思維“漏洞”，數學教學更加嚴謹

數學是一門嚴謹的學科.直覺是一種不經過分析、推理的認識過程而直接快速地進行判斷的認識能力，學生的數學直覺思維由于受心理因素和認知水平的限制而時常產生錯誤，因此養成反思的習慣，可以彌補學生思維的漏洞.

例6已知x+y=1，求證:xn+yn≥(n∈N+).

分析:看到本題學生會憑直覺毫不猶豫地想到數學歸納法.方法雖不錯，但似乎缺少點什么.深入分析已知條件會有如下巧解:

設x=+t，y=-t，則有xn+yn=(+t)n+(-t)n=2[C 0n()n+C 2n()n-2t2+…]≥(n∈N+)

本題如果停留在經驗的基礎上不深入發現已知條件的特征，就得不到上述美妙的證法.

在解決數學問題的過程中，邏輯思維與直覺思維是相互補充、相互作用的，偏離任何一方都會制約一個人思維能力的發展，在數學教學中，培養學生辯證運用邏輯思維與直覺思維的自覺意識，是發展數學思維能力的一個重要方面.

直覺存在于邏輯方法運用過程的整體或局部.通常在我們接觸問題之后，首先就有一個依靠直覺判斷選擇策略、制定計劃的階段，然后才能動用邏輯思維進行邏輯推理和集中思維以使認識逐步深入.而在局部的前進過程中思維受阻后，則仍需依靠直覺思維去重新探索、猜測和想象，使思維發散直至找到新的正確思路.在這個過程中，就主要傾向而言，直覺思維是數學發現的重要方法，而邏輯思維則是解決問題的基本方法.因此，在具體的數學思維過程中，我們應加強這兩種思維方式辯證運用的自覺意識，特別是要重視直覺思維在解決問題時的指引方向和調整思路的重要作用.

責任編輯羅峰