對流擴散方程的非一致網格有限差分方法

曹廣滿,王彩華,齊海濤

(1.天津師范大學數學科學學院,天津 300387;2.天津大學電子信息科學學院,天津 300072)

對流擴散方程的非一致網格有限差分方法

曹廣滿1,王彩華1,齊海濤2

(1.天津師范大學數學科學學院,天津 300387;2.天津大學電子信息科學學院,天津 300072)

構造了一種二階非等距網格差分格式,給出了截斷誤差及其穩定性.數值算例給出了幾種不同網格處理情形下的計算結果,和已有的差分格式進行比較,表明新格式具有較好的平均誤差分布.

離散差分格式;對流擴散問題;Taylor公式;非等距差分格式

對流擴散問題廣泛應用于物理領域,例如電磁場理論、流體力學、彈性力學、量子力學、電子器件模擬、化學反應、控制理論及其他同類領域.其一般模型的形式為:

其中,u=u(x)為待求量,ε為正常數,α,β為邊界值,并設a(x),b(x)和f(x)充分光滑.若假設a(x),b(x)滿足a(x)≥η0＞0,a′(x)≥0,b(x)≥η1＞0,則式(1)可寫為形式更一般的非齊次常微分方程邊值問題:

對于上述問題的數值求解方法有很多,其中有限差分方法以其構造格式簡捷、形成線性代數方程組較為容易因而研究最為廣泛.目前文獻較多給出的是等距網格剖分情形,如文獻[2—5].文獻[6]介紹了一種非等距網格剖分方法,文獻[7]則給出了指數B樣條構造方法等來處理這類兩點邊值問題.

本課題組針對對流擴散問題,從方程本身出發,反復求導并利用 Taylo r公式推導出了一類緊致差分格式,通過與大量差分格式的數值比較,驗證了該差分格式有較高的精確性[8—10].但這些研究都是等距情形.本研究延用以前的思想,從式(3)出發構造出一種非等距二階差分格式,該格式同時也可以在等距剖分下進行計算,最后利用所推導格式進行了數值算例求解.

1 非等距差分格式

考慮兩點邊值問題:

其中,u=u(x)為待求量,ε為一常數,α,β為邊界值,并設A(x)＞0,f(x)充分光滑.

為進行數值比較,先給出等距情形下的中心差分格式.將區間I=[0,1]等距剖分為N等分,步長h=1/N,節點集為Ih:0=x0,x1,…,xN=1.記u0,u1,…,uN為方程(4)在剖分節點的準確值,U0,U1,…,UN為要采用的離散差分格式在剖分節點的計算值.由 Taylor公式有

2 幾種非等距網格處理方法

1)簡單分塊均勻網格

先將區間I=[0,1]等距剖分為N等份,步長

例1兩種差分格式最大誤差見表1.

表1 數值算例1兩種差分格式最大誤差比較Table 1 Comparison of maximal errors of two finite difference schemes in numerical example 1

例2 奇異擾動邊值問題

算例2兩種等距差分格式最大誤差見表2.

說明:表2給出的計算結果表明,在等距剖分情況下,本研究推導的格式與中心差分格式相比仍然具有較好的計算效果.

例3 兩點邊值問題例3在幾種不同網格處理方法下的最大誤差及平均誤差見表3.

表2 數值算例2兩種等距差分格式最大誤差比較(N=32)Table 2 Comparison of maximal errors of two uniform finite difference schemes in numerical example 2(N=32)

表3 數值算例3在幾種不同網格處理方法下的最大誤差及平均誤差比較(N=100,ε=10-2)Table 3 Com parison of maximal errorsand average errors of severalmesh schemes in numerical example 3(N=100,ε=10-2)

y100=1得到計算結果.例3幾種差分格式均將區間分為100份.計算結果表明本研究格式無論是等步長還是變步長剖分處理,均得到了較好的計算效果.

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Non-un iform fin ite difference scheme method for convection-diffusion equations

CAO Guangman1,WANG Caihua1,Q I Haitao2

(1.College of Mathematical Science,Tianjin Normal University,Tianjin 300387,China;2.College of Electronic Information Science,Tianjin University,Tianjin 300072,China)

A second-o rder non-uniform finite difference scheme is constructed,and the truncation error and its stability are given.Several different mesh methods are used to deal w ith the p roblem,and the results show that comparing with the existing finite difference schemes the non-unifo rm finite difference scheme illustrates a better distribution of the average error.

discrete difference scheme;convection-diffusion equations;Taylor formula;non-uniform finite difference scheme

O241.8

A

1671-1114(2010)01-0007-04

2009-09-20

國家自然科學基金資助(60876009);天津市應用基礎及前言技術研究計劃重點項目(09JCZDJC16600)

曹廣滿(1982—),男,碩士研究生.

王彩華(1973—),女,副教授,主要從事微分方程數值解方面的研究.

(責任編校 馬新光)