“直角三角形三邊的關系”教學實錄與評析

?四川省宣漢縣中小學教學研研室 趙緒昌

?四川省宣漢縣新華中學 劉 欣 劉小峰

“直角三角形三邊的關系”教學實錄與評析

?四川省宣漢縣中小學教學研研室 趙緒昌

?四川省宣漢縣新華中學 劉 欣 劉小峰

（教材選自華東師大版義務教育課程標準實驗教科書《數學》八年級上冊第十四章第一節“直角三角形三邊的關系”.）

【教學過程】

師：上課！同學們好！

生：老師好！

師：同學們，請看大屏幕（屏幕上呈現兩棵美麗的“勾股樹”，如圖①所示，學生興高采烈地看著大屏幕，學習積極性馬上就被調動起來.先欣賞圖①10秒后再讓學生欣賞圖②10秒.）

師：（屏幕上顯示圖①） 屏幕上的樹是由什么圖形組成的？

生1：（反應迅速）三角形.

生2：（興奮地）還有矩形.

師：能說細一點嗎？

生3：（思考了一下）直角三角形.

師：（欣賞地點一下頭）很好.

師：這兩棵樹看起來為什么這么漂亮呢？那是因為直角三角形的三邊有特殊的關系.（出示本節課的課題）在現實生活中直角三角形的三邊的關系有著廣泛的應用，請看例題（出示圖③）：

師：你如何求出示意圖中線段AB的長度？（學生沉思.）

師：為了解決這個問題，先請同學們在紙上用直角三角板隨便畫一個直角三角形（“直角”語氣重一點），再度量出所畫直角三角形三邊的長度.說一說這3個數的情況.（學生拿出直角三角板認真畫，教師到學生中間巡視.大部分學生很快就完成了要求，紛紛舉手.）

生4：2.8厘米，3.7厘米，4.6厘米.

生5：1.6厘米，2.8厘米，3.3厘米.

生6：6厘米，8厘米，10厘米.

師：看來大家所畫的直角三角形還比較標準.（面帶微笑，輕聲地）同學們，這3組數中，我們把較小的兩個數平方后加起來，再把最大的這個數平方，這兩個結果是否相等？

（學生拿出計算器認真地計算著，很快得出結果，紛紛舉手.）

生7：相等.（剛說完，有大部分學生又舉手.）

生8：不相等.

生9：不相等，但相差很小.

師：（表示認可）好，同學們都觀察得很仔細，回答都正確，我們可以猜想這兩個結果相等.究竟這個猜想是否正確呢？這節課我和同學們一起來研究直角三角形三邊的關系.（出示課題——直角三角形三邊的關系.）

師：我們一起先研究特殊的直角三角形（等腰直角三角形）三邊的關系.請看下圖（出示圖④）.

師：網格圖中的3個正方形Q、P、R的面積有什么關系？（學生觀察了一會兒，大部分舉手.）

生10：（驚喜）SP+SQ=SR.

（學生都紛紛點頭，表示同意.）

師：（投去贊許的目光）你觀察得很仔細.那么，正方形Q的面積是否等于BC2呢？

生：（自信地）等于.

師：同理，正方形P、R呢？

生：（異口同聲）SP=AC2，SR=AB2.

師：把SP+SQ=SR換為等腰直角三角形ABC的邊的等式.這個等式是怎樣的？

生11：（得意）AC2+BC2=AB2.

師：很好（停頓）.AC、BC、AB在Rt△ABC中是什么邊？

生12：AC、BC是直角邊，AB是斜邊.

師：由此可得出什么結論？

生13：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

師：（看著大家，有意地）你們認為他說得完整嗎？

生14：在等腰直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

師：說得對.（教師邊說邊充滿期待地看著學生，并出示圖⑤.）

師：在一般的直角三角形中，兩直角的平方和是否等于斜邊的平方和呢?

師：請同學們在網格圖中動手畫出三邊為3、4、5個單位長度的直角三角形，然后分別以它的三邊長作正方形，觀察3個正方形有什么關系?

（動手操作.出示圖⑥.）

師：觀察圖⑥，如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到:正方形Q、P的面積為多少？（很多學生舉手.）

生15：SP=9，SQ=16.

師：SR呢？怎樣計算？

生16：（思考片刻）可以數方格，還可以采用割補法.

師：(征求意見的語氣)大家同意嗎？

生：（點頭）嗯！

師：（讓學生在網格圖中實際畫一畫、數一數）請看屏幕：（動畫演示.把圖中的正方形R逆時針方向旋轉，使一邊與網格線重合）問：正方形R的面積等于多少？

生：（不約而同地說）25.

師：（肯定的語氣）是等于25，這三個正方形的面積有什么關系？

生17：SP+SQ=SR.

師：很好，把SP+SQ=SR換為直角三角形ABC的邊的等式.這個等式是怎樣的？

生：（心領神會，馬上回答）AC2+BC2=AB2.

（學生點頭，表示同意.）

師：由此可以得到什么結論？

生18：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

師：（看著大家，有意地）你們認為他說得完整嗎？

生19：在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

師：精彩！（邊說邊伸出大拇指，給學生以真誠的鼓勵）圖中的Rt△ABC是等腰直角三角形嗎？

生：（齊答）不是，是一般的Rt△ABC.

師：因此可以得到以下結論（出示圖⑦）.

師：我們再來驗證一下這個結論（出示圖⑧）.

師：斜邊的長度是多少？可采用哪些方法度量？

生20：用刻度尺.（有幾個學生舉手，想補充.）

生21：和網格上的險段進行比較.

師：（面向學生21）你真聰明！確實還可以通過旋轉與網格上的線段進行比較.（把斜邊繞下方端點旋轉一定角度，使之與網格線重合，得出斜邊等于13的結果.）

師：（讓學生嘗試后）利用勾股定理可以計算直角三角形中各邊的長度（出示圖⑨）.

師：①②中的已知什么邊求什么邊？

生22：已知兩直角邊求斜邊.

師：（給學生一定作業時間，抽生回答，集體糾正錯誤.出示第二個練習如下圖.）

師：圖中的①②已知什么邊求什么邊？

生23：已知一直角邊和斜邊，求另一直角邊.

師：（給學生一定作業時間，抽查學生回答，集體糾正錯誤）回到引題（課件回到圖③）：問：解決這個問題就是求示意圖中Rt△ABC的什么邊？

生：（齊答）斜邊.

師：怎樣列式？

師：當斜邊不明確時怎么辦？（教師故意停頓，等待學生回答.）

生26：（心神領會，馬上回答）分情況討論.

師：（肯定的語氣）是的，請看（邊說邊出示練習）.

師：隨著問題的解決，本節課的學習也即將結束，同學們，學習了本節課，你們有哪些收獲？

（馬上有學生舉手.）

生27：知道了直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

生28：還知道了怎樣利用勾股定理解決實際問題.

師：（鼓勵）很好.請繼續思考.（邊說邊出示下一個圖片.）

生：（齊聲）不是，勾股定理是針對直角三角形而言的.

師：看來，大家對勾股定理理解得非常好，真是太棒了.

師：這節課就到這.下課，同學們再見！

【教學反思】

1.欣賞圖片，激發興趣.通過欣賞美麗的“勾股樹”圖案以及2002年在我國北京召開的國際數學家大會的會徽圖案，讓學生了解我國古代輝煌的數學成就，引入課題.接下來，讓學生在紙上隨便畫一個直角三角形，用刻度尺量一量三邊的長度，找一找這三個數據是否具有特殊性，讓學生初步作出猜想.這樣，一方面激發學生的求知欲望，另一方面，也對學生進行了學習方法指導和解決問題能力的培養.

2.分析探究，得出猜想.通過對網格圖中的等腰直角三角形到一般直角三角形中三邊關系的探究，讓同學們體驗由特殊到一般的探究過程，學習這種研究方法.

3.確定猜想成立，得出定理.在這一過程中，學生充分利用學具去嘗試解決，力求讓學生自己探索，先在小組內交流，然后在全班交流，盡量學習更多的方法.

4.反思歸納，總結升華.一是讓學生自己回顧總結本節課的收獲.（當然多數為具體的知識和方法）.二是教師要引導學生學習科學家敏銳的觀察力和勤于思考的作風，不斷提高自己的數學素養，適時對大家進行思想教育.

5.練習鞏固.主要練習勾股定理在求直角三角形的邊和解決現實生活中的實際問題的應用；規范解題格式.

本節課的優點：①重點突出，難點突破；②能力要求適中；③學生能回答教師提問；④層次分明，密度合理，安排嚴謹；

本節課的缺點：①異地上課，課件準備不充分；②多媒體無動畫功能，造成課件中的圖形、線段該旋轉的動不起來，直觀性不強.

【教研組評析】

這節課的特點是設計起點高、探究性強、實施難度大、教學價值高，是一節成功的探究課.具體體現在以下兩個方面：

第一，這節課較好地體現了新課程理念.從教學設計到教學實施都立足于學生，從學生的生活經驗、學習經驗及實際情況出發，特別是在內容安排和問題設計上，教師做到了“以生為本”，關注學生學習的起跳點、關注學生學習的需求點、關注學生學習的優勢點.這節課學生學習的起跳點就是勾股定理的歸納，這節課學生的需求點就是學生的探究欲望，這節課學生的優勢點是學生有較高的思維水平.從電桿拉線問題的設計來看，充分體現了教師重視數學知識的形成、重視對學生應用數學意識的培養.從教學實施情況來看，教師注重過程性教學，并將知識、技能、思想、方法、策略等蘊含于教學過程之中.另外，教師根據教學內容恰當地選擇了教學方式，做到突出探究式教學，兼顧講授式教學，教學實施過程比較自然合理.應該說，新課程理念在這節課上得到了較充分的體現.

第二，從教學設計上看，具有生成性，體現了教學創新的意識.這節課是華師大版八年級上冊第十四章勾股定理的新授課.對勾股定理這一章來說，從課標要求到教材內容設置起點都比較低——一方面表現在知識點少即僅有勾股定理的內容，另一方面表現能力要求單一，即運用勾股定理解決簡單的實際問題.教師在沒有現成、固定的教學練習情況下，設計一節探究課確實是一件比較困難的事.劉老師能知難而上，深入研究課標、反復研讀教材，根據學生實際情況，利用教材資源和學生的智慧資源設計出這節課的練習內容，具體來說，圖⑨上的練習是對教材中例題的繼續與延伸，做到了依靠教材又超越教材，有助于學生質疑、發現、解決問題等能力的提高.總之，這節課的內容具有生成性和創造性.

本節課的優點：

①重視知識形成過程，實施有效教學；②引導學生，了解教材；③師生交往互動；④學生學習熱情高，思維積極，發言踴躍.

本節課的缺點：

①滲透德育教育不夠；②沒有運用多種手段創設問題情境；③教學手段應用不很適當、先進性不夠；④課堂作業設計形式單一，創新性不強.（四川省宣漢縣新華中學 數學教研組）

【教研員評析】

我個人認為：第一，從教學實施過程來看，較好地發揮了學生的主體作用，教師的主導作用.這節課的活動模式是：先動手畫一畫，量一量——然后對數據進行觀察，產生猜想——再探究歸納規律——利用定理解決實際問題，以這樣一個活動主線展開教學過程.在每個活動環節中，特別是在學生探究解決問題方案的過程中，教師能走進學生，與學生一起討論、交流，發現并收集學生在活動中所遇到的對問題認識的疑點、處理問題的難點、解決問題的亮點.具體表現在：得出網格圖中的正方形R的面積時，學生用了兩種方法：第一種是割補法，學生分別取零補整等情況進行探究；第二種是旋轉法，利用動畫進行探究.在此教師不僅發揮了一個組織者、引領者的作用，同時發揮了一個參與者與合作者的作用.學生作為活動的主體，由于有充分的獨立思考時間，學生的各種思維也被有效激活，為合作交流奠定了有利基礎.特別是對得出結論的處理，學生既有觀察、質疑、猜想，又有探究、交流，充分調動了學生參與活動的積極性，激發了學生探究問題的強烈欲望.而P51練習2中不僅能檢測學生的數學知識，還大大促進了學生數學能力的提升.在教學實施過程中，不僅體現了教師的教學指導力度，還凸顯了學生的參與廣度以及學生的思維深度.

第二，從教學方式操作的效果來看，教師對探究式教學理解得比較深刻.具體表現在：內容選擇具有較高的探究價值——思考性、挑戰性、生成性、開放性.另外教師對探究式教學的操作步驟安排得比較合理：安排了質疑、猜想、探究等環節.教師恰當地引導學生質疑、鼓勵學生用自己的方式解決問題、恰到好處地運用合作交流，激活了學生的參與積極性與創造欲望，這是探究式教學所極力倡導的教學效果，這節課做到了學生是知識的發現者、探究者和擁有者.

第三，對這節課談兩點建議：1.獨立思考是學生回答問題的前提，因此建議抽問前要給學生充分的獨立思考時間；2.在動手操作后應給予學生充分的交流展示的時間與空間，讓學生揭示自己的思考方法、思維過程，使所有參與探究的學生對問題都能理解掌握，使探究活動更有實效性.

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?編輯/張燁