柱形罐爆炸碎片拋射的MonteCarlo分析*-

劉振翼，黃 平，徐亞博

（北京理工大學(xué)爆炸科學(xué)與技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100081）

柱形罐爆炸碎片拋射的MonteCarlo分析*-

劉振翼，黃 平，徐亞博

（北京理工大學(xué)爆炸科學(xué)與技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100081）

在動(dòng)力學(xué)分析的基礎(chǔ)上，將二維體系內(nèi)的碎片軌跡方程擴(kuò)展到三維體系內(nèi)，將風(fēng)這一影響因素考慮在內(nèi)。以墨西哥事故中水平圓柱儲(chǔ)罐發(fā)生沸騰液體擴(kuò)展為蒸氣云爆炸（BLEVE）為例，利用Monte-Carlo法模擬出碎片的軌跡曲線，計(jì)算得到有風(fēng)和無風(fēng)情況下碎片拋射距離的概率分布，得到一般情況下風(fēng)對(duì)碎片危害的影響較小。計(jì)算了無風(fēng)情況下碎片碰撞目標(biāo)容器的概率，得到碰撞概率隨罐間距的增大而呈現(xiàn)嚴(yán)格的指數(shù)衰減趨勢(shì)，通過此關(guān)系式可以計(jì)算出符合安全要求的罐間距。研究結(jié)果對(duì)于提高儲(chǔ)罐的安全性、緩解和控制碎片產(chǎn)生的風(fēng)險(xiǎn)具有一定的指導(dǎo)意義。

爆炸力學(xué)；沸騰液體擴(kuò)展為蒸氣云爆炸；Monte-Carlo法；碎片；柱形罐

1 引 言

危險(xiǎn)設(shè)施由于裝載過量、腐蝕及火災(zāi)等原因產(chǎn)生的爆炸除了產(chǎn)生沖擊波，一部分能量還會(huì)轉(zhuǎn)化為碎片的動(dòng)能。這種具有動(dòng)能的碎片在飛行過程中有可能造成人員傷亡或目標(biāo)設(shè)備的損壞，進(jìn)而造成更大的災(zāi)難事故，這種現(xiàn)象被稱為多米諾效應(yīng)或連鎖效應(yīng)。由于多米諾事故的嚴(yán)重性，歐盟的塞維索法令I(lǐng)I對(duì)重大危險(xiǎn)源的多米諾效應(yīng)做出專門規(guī)定，要求重大危險(xiǎn)源企業(yè)提交的安全報(bào)告中要有多米諾效應(yīng)分析的內(nèi)容，可能產(chǎn)生多米諾效應(yīng)的企業(yè)之間要共享信息等［1－5］。火災(zāi)熱輻射、爆炸沖擊波和碎片是造成多米諾效應(yīng)的主要原因，本文中將研究碎片造成多米諾事故這部分內(nèi)容。荷蘭的應(yīng)用技術(shù)研究院和美國的化學(xué)工藝安全中心給出了碎片拋射距離的經(jīng)驗(yàn)計(jì)算公式。U.Hauptmanns［6－7］通過對(duì)事故碎片的隨機(jī)和不確定性進(jìn)行分析，利用Monte-Carlo方法得到爆炸碎片到達(dá)不同距離的概率曲線。G.Cozzani等［8］在U.Hauptmanns的基礎(chǔ)上，考慮目標(biāo)的影響，得到爆炸碎片碰撞目標(biāo)容器的概率。文獻(xiàn)［9-11］采用類似文獻(xiàn)［7-8］的方法來計(jì)算碎片的拋射范圍。

本文中，將在前人研究的基礎(chǔ)上，考慮風(fēng)向和風(fēng)速，將目前通用的二維體系內(nèi)的碎片軌跡方程擴(kuò)展到三維體系內(nèi)，利用Monte-Carlo法得到柱形罐爆炸碎片在有風(fēng)和無風(fēng)情況下到達(dá)不同距離的概率曲線，及撞擊不同距離處的目標(biāo)容器的概率，并對(duì)2種情況下的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較分析。

2 三維體系內(nèi)碎片軌跡方程

將事故源、碎片和目標(biāo)放入三維體系中分析，如圖1所示。由于碎片與目標(biāo)相比通常較小，為簡化計(jì)算，忽略不計(jì)碎片的大小。由于碎片主要繞著質(zhì)心運(yùn)動(dòng)，因此可用質(zhì)心的軌跡和速度來代表整個(gè)碎片的軌跡和速度。參考系O-xyz的原點(diǎn)O為碎片質(zhì)心的初始位置（即事故源），其中xOy與地面平行，z軸與重力方向相反。向量vp代表碎片的初速方向，與xOy平面的夾角為φ，在xOy平面上的投影與x軸的夾角為θ。向量vw代表風(fēng)向，與x軸的夾角為φ，在此僅考慮與xOy面平行的風(fēng)。

碎片在飛行過程中受重力、阻力和升力的聯(lián)合作用。由于引入升力會(huì)造成計(jì)算過于復(fù)雜，且升力只適用于端蓋，當(dāng)升力方向與端蓋軌跡的夾角超過10°時(shí)，升力可忽略不計(jì)，因此在實(shí)際計(jì)算中，為了簡化，升力不計(jì)在內(nèi)［7］。根據(jù)牛頓第二定律得到

式中：D是阻力，g是重力加速度，ap是碎片的加速度，mp是碎片的質(zhì)量。

對(duì)于空氣阻力的作用，Lees分析了3種情況：沒有阻力；阻力與碎片速度成正比；阻力與碎片速度的平方成正比。認(rèn)為在亞音速范圍內(nèi)，阻力與碎片速度的平方成正比這種情況是最合理的［10，12］。若考慮風(fēng)的影響，此時(shí)的速度應(yīng)為相對(duì)速度，即碎片速度與風(fēng)速之差，因此阻力的計(jì)算公式為

式中：ρa(bǔ)是空氣密度，CD是空氣阻尼系數(shù)，AD是迎風(fēng)面積，vre是碎片與風(fēng)的相對(duì)速度，kD是阻力系數(shù)。

在xOy平面內(nèi)僅存在阻力對(duì)碎片的影響，在豎直方向則要考慮阻力和重力的雙重影響，因此將式（1）擴(kuò)展，得到三維體系內(nèi)碎片的加速度方程為

式中：x、y是水平方向坐標(biāo)，z是豎直方向坐標(biāo)，t是碎片飛行時(shí)間，vw是水平方向恒定風(fēng)速。碎片在下降階段n＝1，在上升階段n＝2。

參考圖1，給出式（4）～（6）的初始條件，x、y和z方向的初速度和位置分別為

式中：v0是碎片的初速度。

將初始條件（7）～（9）代入方程（4）～（6），利用 MATLAB求解得到

x方向

3 不確定參數(shù)的確定

3.1 碎片初始速度

碎片的初速度

式中：Ek為碎片的初動(dòng)能，mp為碎片的質(zhì)量。

要計(jì)算碎片的動(dòng)能，需要計(jì)算儲(chǔ)罐爆炸時(shí)釋放的能量E。目前有很多模型可用來計(jì)算氣體儲(chǔ)罐和過熱液體儲(chǔ)罐能量，本文中采用 Baum 模型［6，7，13］

式中：V為儲(chǔ)罐體積，p1為儲(chǔ)罐爆炸時(shí)的壓強(qiáng)，p0為大氣壓，γ為比熱容。

儲(chǔ)罐爆炸壓強(qiáng)p1取決于爆炸情況：（1）超壓情況下，爆炸壓強(qiáng)為最大工作壓強(qiáng)×安全系數(shù)；（2）物理爆炸情況下，爆炸壓強(qiáng)為正常的操作壓強(qiáng)；（3）火災(zāi)情況下，爆炸壓強(qiáng)等于泄壓壓強(qiáng)的1.21倍［13］。由于在實(shí)際情況下很難確定儲(chǔ)罐爆炸時(shí)的真實(shí)壓強(qiáng)，所以儲(chǔ)罐爆炸壓強(qiáng)被當(dāng)作是隨機(jī)變量，通常認(rèn)為其在上述數(shù)值的90%～110%之間，且服從均勻分布［6，7］，數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中：p是計(jì)算中使用的容器爆炸壓強(qiáng)，Pa；εrand是［0，1］區(qū)間上的隨機(jī)數(shù)。

由于儲(chǔ)罐爆炸時(shí)，還要產(chǎn)生爆炸沖擊波、撕碎工藝設(shè)施等，只有部分能量轉(zhuǎn)化為碎片的能量，因此，碎片的初動(dòng)能［13］

式中：fk為動(dòng)能比例因子，其值服從［0.2，0.5］的右三角分布，且均值為0.3，數(shù)學(xué)表達(dá)式為

3.2 碎片的數(shù)量、質(zhì)量、形狀、能量和拋射角

對(duì)46次相關(guān)事故的分析表明，柱形罐爆炸產(chǎn)生的碎片數(shù)量N服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，其均值為0.855 16，標(biāo)準(zhǔn)差為0.524 48［7，14－16］，數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中：εrand，1、εrand，2是［0，1］區(qū)間上的2個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)數(shù)。

根據(jù)P.L.Holden等［14］的結(jié)論，碎片質(zhì)量占總質(zhì)量的比例服從貝塔分布，且參數(shù)a＝0.412 13，b＝1.392 6。貝塔分布的概率密度函數(shù)為

式中：x為［0，1］區(qū)間上的隨機(jī)變量。

柱形罐爆炸可產(chǎn)生端蓋和彈片2種碎片形式。由于很難精確確定端蓋和碎片的比例，一般采用20%的端蓋和80%的彈片［7］。

假設(shè)加載在每個(gè)端蓋上的能量相等，加載在第i個(gè)彈片上的能量占總動(dòng)能的比例［7］

式中：I是總彈片數(shù)量；mi是第i個(gè)彈片的質(zhì)量。

端蓋和彈片的水平角θ均服從均勻分布［7，14－15］，如圖2所示。其中

20%在［30°，150°］內(nèi)，數(shù)學(xué)表達(dá)式為

30%在［150°，210°］內(nèi)，數(shù)學(xué)表達(dá)式為

20%在［210°，330°］內(nèi)，數(shù)學(xué)表達(dá)式為

30%在［330°，30°］內(nèi)，數(shù)學(xué)表達(dá)式為

圖2 柱形罐爆炸碎片的水平角分布Fig.2 Horizontal angle distribution of fragment from cylindrical vessel explosion

端蓋的垂直角φ服從［0°，10°］內(nèi)的均勻分布，數(shù)學(xué)表達(dá)式為

彈片的垂直角φ服從［0°，90°］內(nèi)的均勻分布，數(shù)學(xué)表達(dá)式為

3.3 阻力系數(shù)

碎片拋射阻力系數(shù)取決于碎片的幾何形狀、表面粗糙度和碎片與拋射方向的夾角，其數(shù)值一般在2.9×10－4～2.1×10－3之間。由于阻力系數(shù)較難確定，R.Pula等［17］采用5種阻力系數(shù)，分別為0，2.9×10－4，6.0×10－4，1.21×10－3和2.0×10－3，計(jì)算出5種阻力水平下碎片飛行時(shí)間對(duì)應(yīng)的飛行高度及不同初始速度對(duì)應(yīng)的拋射距離，得到拋射距離隨阻力系數(shù)的增加而減小，且當(dāng)初速度小于35m／s時(shí)，阻力作用在碎片拋射距離上的作用非常小，幾乎可以忽略不計(jì)。2.9×10－4和6.0×10－4這2種情況對(duì)應(yīng)的阻力系數(shù)較小，接近無阻力，而2.0×10－3適用于超音速的范圍。由于爆炸碎片一般在低音速范圍內(nèi)（200m／s左右），因此建議采用1.21×10－3作為阻力系數(shù)。本文中阻力系數(shù)均采用1.21×10－3。

3.4 儲(chǔ)罐充裝水平

儲(chǔ)罐爆炸能量主要來自2部分：儲(chǔ)罐上方的蒸氣膨脹和儲(chǔ)罐下方的液體汽化膨脹（蒸氣爆炸）。由于前者在儲(chǔ)罐內(nèi)只占很小的一部分，計(jì)算時(shí)可忽略不計(jì)。

液化石油氣汽化膨脹爆炸的能量［10］式中：i1是液化石油氣在儲(chǔ)罐破裂時(shí)的壓力或溫度下的焓，i2是液化石油氣在大氣壓下的焓，s1是液化石油氣在儲(chǔ)罐破裂時(shí)的壓力或溫度下的熵，s2是液化石油氣在大氣壓下的熵，Tb是液化石油氣在大氣壓下的沸點(diǎn)，ρl是液化石油氣密度，lf是充裝水平；V是儲(chǔ)罐容積。

由式（32）看出，充裝水平lf直接影響儲(chǔ)罐的爆炸能量。lf越高，儲(chǔ)罐爆炸能量越大，碎片的拋射距離也就越遠(yuǎn)，反之，lf越低，爆炸能量越小，拋射距離也就越近。一般假設(shè)lf在0.1～0.8倍儲(chǔ)罐總?cè)萘康姆秶鷥?nèi)，且均勻分布［8－9］，數(shù)學(xué)表達(dá)式為

4 Monte-Carlo法計(jì)算拋射碎片碰撞目標(biāo)的概率

在儲(chǔ)罐爆炸事故中，計(jì)算拋射碎片碰撞目標(biāo)的概率，需要考慮以下參數(shù)：爆炸時(shí)儲(chǔ)罐壓力、儲(chǔ)罐爆炸能量、裝載程度、初始能量轉(zhuǎn)化為碎片能量的比例、碎片數(shù)目、碎片形狀和質(zhì)量、碎片拋射角、阻力系數(shù)、風(fēng)速和風(fēng)向等因素，這些參數(shù)都是隨機(jī)變量，具有一定的不確定性，具體數(shù)值在一定的區(qū)間范圍內(nèi)。由于參數(shù)存在不確定性，在實(shí)際計(jì)算中，若用常規(guī)的點(diǎn)估計(jì)很難得到一個(gè)可信的結(jié)果，而Monte-Carlo法采用大量的抽樣對(duì)隨機(jī)變量和不確定性進(jìn)行模擬，可以解決參數(shù)的不確定性問題。

為了簡化計(jì)算，分析中忽略目標(biāo)的形狀，認(rèn)為只要碎片落在目標(biāo)的外切立方形區(qū)域即算撞擊到目標(biāo)，這種假設(shè)正好可彌補(bǔ)一部分因忽略碎片大小而產(chǎn)生的誤差。當(dāng)參數(shù)和目標(biāo)數(shù)據(jù)已知后，用Monte－Carlo方法進(jìn)行數(shù)值模擬，將這些參數(shù)代入碎片軌跡方程，計(jì)算出碎片從拋射到落地間的軌跡曲線，當(dāng)軌跡與目標(biāo)的外切立方體有交集時(shí)，n取1，當(dāng)無交集時(shí)，n取0。用此方法，模擬Nsim次即可得到碰撞概率Pimp，計(jì)算公式為

式中：Nsum為1次模擬中產(chǎn)生的碎片數(shù)目；Vtar為目標(biāo)的外切立方形區(qū)域；Vfrag為碎片的拋射軌跡；Nsim為模擬次數(shù)。

5 案例分析

以墨西哥城BLEVE事故中盛裝丙烷的水平柱形罐為案例，模擬計(jì)算中所需參數(shù)見表1［7］，表中r0、d0、m0、ρ0分別表示柱形罐的半徑、厚度、質(zhì)量和密度。圖3～7分別給出了計(jì)算和事故數(shù)據(jù)的比較、模擬的碎片軌跡、有風(fēng)和無風(fēng)情況下碎片拋射距離的概率分布、落點(diǎn)分布及無風(fēng)情況下碎片碰撞目標(biāo)容器的概率。

表1 柱形罐的參數(shù)值或分布Table 1 Cylindrical vessel’s process parameters

圖3給出了計(jì)算和事故數(shù)據(jù)之間的比較。可以看出，在當(dāng)前給定的計(jì)算參數(shù)下，模擬結(jié)果跟實(shí)際數(shù)據(jù)一致性較好。圖4是模擬儲(chǔ)罐爆炸碎片被拋射的空間分布情況。表明通過Monte-Carlo方法可以清楚地掌握每個(gè)碎片的飛行軌跡，為以后計(jì)算奠定基礎(chǔ)。

圖3 計(jì)算和事故數(shù)據(jù)間的比較Fig.3 Comparison between the probabilities of fragment ranges to be reached and calculation

圖4 模擬碎片軌跡圖Fig.4 Fragment trajectory of simulation

圖5是在有風(fēng)和無風(fēng)情況下碎片拋射距離的概率分布。為了更有代表性，計(jì)算采用了2種風(fēng)速，即±5m／s和±30m／s。“＋”表示風(fēng)速與爆炸點(diǎn)O到目標(biāo)I方向相同，“－”表示風(fēng)速與爆炸點(diǎn)O到目標(biāo)I方向相反。由圖5可知，當(dāng)風(fēng)速為5m／s時(shí)，風(fēng)對(duì)碎片拋射距離的影響可忽略不計(jì)，是由于風(fēng)速與碎片速度（200m／s左右）比較相對(duì)較小。當(dāng)風(fēng)速為30m／s時(shí)，對(duì)碎片拋射距離的影響比風(fēng)速為5m／s時(shí)大，這表明當(dāng)風(fēng)速提高時(shí)，風(fēng)對(duì)碎片拋射距離的影響也隨之增加。

圖5 有風(fēng)和無風(fēng)情況下碎片拋射距離的概率分布圖Fig.5 Comparison between the probabilities of fragment ranges to be reached with and without wind

圖6是柱形罐爆炸碎片的落點(diǎn)分布。從圖中可清楚地看出，水平圓柱形容器的軸方向產(chǎn)生的碎片數(shù)量相對(duì)較多。因此如果目標(biāo)處在水平圓柱形的［150°，210°］和［330°，360°］這2個(gè)區(qū)域內(nèi)具有較大的危險(xiǎn)性。在實(shí)際工廠布局時(shí)應(yīng)盡量避開這2個(gè)區(qū)域，而選擇在［30°，150°］和［210°，330°］這2個(gè)區(qū)域內(nèi)會(huì)相對(duì)安全。

圖7是碎片碰撞一定距離的目標(biāo)的概率，本文中采用的目標(biāo)為與初始事故容器一樣的水平圓柱形容器。從圖中看出，碰撞概率隨罐間距的增加而逐漸減小，且碰撞概率Pimp與罐間距R的關(guān)系式為：Pimp＝0.035 7e－0.0548R，且相關(guān)系數(shù)為0.946 7。可以看出，碰撞概率隨罐間距的增大而呈現(xiàn)嚴(yán)格的指數(shù)衰減趨勢(shì)。當(dāng)R＞70m時(shí)，Pimp＜10－3，當(dāng)R＞100m時(shí)，Pimp＜10－4。如果將連鎖效應(yīng)控制在10－4以內(nèi)，則要求R＞100m，此時(shí)100m可作為此安全標(biāo)準(zhǔn)下的罐間所需的安全距離。同樣，如果將連鎖效應(yīng)控制在10－3以內(nèi)，則要求R＞70m，此時(shí)70m可作為此安全標(biāo)準(zhǔn)下的罐間所需的安全距離。

圖7 無風(fēng)情況下碎片碰撞目標(biāo)容器的概率圖Fig.7 The impact probabilities of fragment on object with no wind

圖6 落點(diǎn)分布圖Fig.6 Projectile distribution

6 結(jié) 論

（1）將二維體系內(nèi)的碎片軌跡方程擴(kuò)展到三維體系內(nèi)，由此可將風(fēng)速和風(fēng)向等影響因素考慮在內(nèi)，并且計(jì)算了有風(fēng)和無風(fēng)情況下碎片被拋射的距離。通過分析看出，在一般情況下，風(fēng)對(duì)碎片拋射距離的影響較小。

（2）通過模擬得到的碰撞概率與罐間距的關(guān)系式，可以計(jì)算出符合安全要求的罐間距。這對(duì)于提高儲(chǔ)罐的安全性，有效緩解和控制碎片產(chǎn)生的風(fēng)險(xiǎn)，具有一定的指導(dǎo)意義。

（3）只對(duì)碎片碰撞目標(biāo)的概率進(jìn)行了分析，而未考慮目標(biāo)被碰撞之后的失效概率。為了定量評(píng)價(jià)由碎片造成的多米諾風(fēng)險(xiǎn)，目標(biāo)的失效概率是一個(gè)非常重要的因素，值得進(jìn)一步深入的研究。

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Monte-Carlo analysis of the projectile fragments from cylindrical tank boiling liquid expanding vapor explosion accident＊

LIU Zhen-yi，HUANG Ping，XU Ya-bo
（State Key Laboratory of Explosion Science and Technology，Beijing Institute of Technology，Beijing100081，China）

The generation and flight of fragments are stochastic and can cause more severe hazards.Studying on the domino effect study caused by the fragments from explosion is hotspot and difficulty.Based on dynamic analysis，the present work extended the two-dimensional fragment trajectory equation into three-dimensional system，and took wind into account.The present analysis took a cylindrical tank in Mexico City with boiling liquid expanding vapor explosion as an example，and the trajectory of fragment was simulated by Monte-Carlo method.Seen from the probabilities of fragment ranges to be reached with／without wind，wind has less impact on the hazard caused by fragments.The impact probability of a fragment on a target with no wind was attained，impact probability with the tank showed the increase of distance between the strict exponential decay trend，and through this relationship，the tank spacing in compliance with safety requirements can be calculated.The paper provides a method which is of great significance for the risk assessment and control of fragments from the explosion of cylindrical tanks.

mechanics of explosion；boiling liquid expanding vapor explosion；Monte-Carlo method；fragment；cylindrical tank

16July 2009；Revised 14September 2009

LIU Zhen-yi，zhenyiliu＠bit.edu.cn

（責(zé)任編輯 曾月蓉）

O389；X937 國標(biāo)學(xué)科代碼：130·35

A

2009-07-16；

2009-09-14

國家科技重大專項(xiàng)基金項(xiàng)目（2008ZX05054）

劉振翼（1975— ），男，博士后，講師。

1001-1455（2010）06-0569-08

Supported by the National S＆T Major Project（2008ZX05054）