亥姆霍茲線圈磁場的探究

朱業俊,陶小平,孫臘珍

(中國科學技術大學a.工程科學學院;b.物理學院,安徽合肥230026)

1 亥姆霍茲線圈磁場分布

勻強磁場在物理學的理論分析和實驗研究中都起著十分重要的作用.亥姆霍茲線圈是由1對半徑都為R、同軸放置,且間距a等于半徑R的圓線圈構成的,由于它結構簡單又能產生均勻性較好的磁場,因而成為磁測量等物理實驗的重要組成部件.對于2個線圈的中軸線磁場,如圖1所示,由畢奧-薩伐爾定律,可以得到[1-2]

圖1 亥姆霍茲線圈

圖2 中軸線上磁感應強度圖像

2 單匝線圈的空間磁場分布

如圖3所示,對于空間中任意一點P,從線圈上一點A到P的矢量為

微元導線長度為

圖3 單匝線圈示意圖

只考慮xOy平面內的磁場分布,令z=0,所以

令

由畢奧-薩伐爾定律得[3]

其中

用Mathmatic做出單匝線圈x方向的磁場分布如圖4所示.

圖4 單匝線圈x方向的磁場分布

3 亥姆霍茲線圈的空間磁場分布與模擬

用Mathmatic模擬x方向的磁感應強度分布隨線圈距離的變化如圖5所示.

圖5 亥姆霍茲線圈x方向磁感應強度隨線圈距離變化

從圖5來看,在a=R時,x方向上磁場強度均勻程度最好.

下面再來考察y方向的磁感應強度.用Mathmatic模擬y方向的磁感應強度分布隨線圈距離的變化如圖6所示.

圖6 亥姆霍茲線圈y方向磁感應強度隨線圈距離變化

由圖6的計算圖形可見By/B0～10-2數量級,而Bx/B0～1數量級,所以在考慮磁場大小時,基本可忽略y方向.從而也證明亥姆霍茲線圈中心附近磁場勻強特性符合實驗室要求.

4 亥姆霍茲線圈空間磁場勻強特征的定量描述

從圖5～6中可以形象地看出亥姆霍茲線圈的勻強磁場特性,但這只是定性的描述,現在將定量描述亥姆霍茲線圈的勻強磁場特性.定義磁場絕對偏差系數

圖7 亥姆霍茲線圈的絕對偏差分布

5 雙線圈與三線圈的磁場穩定性對比

在雙線圈中a=R時取得最佳勻強磁場效果.如保持原線圈位置不動,在中間加一載流線圈,如圖8所示,磁場是否要更加均勻?經過反復計算,當a=1.520 1R,I中間=0.531 46I0時,磁場分布最均勻[4],如圖9所示.

圖8 三載流線圈

從圖10可以看出三線圈明顯優于雙線圈的磁場均勻性.并且造價成本三線圈也就多了1個線圈,但是為實驗室提供了更加精確、更加均勻的磁場.如果需要更均勻的磁場,則需要用更加精準的儀器,而不是幾個線圈了.

圖9 三線圈磁場分布

圖10 三線圈與亥姆霍茲線圈磁場絕對偏差比較

6 2塊載荷平行轉動圓板構成亥姆霍茲線圈的可能性

均勻載荷圓板做勻角速度旋轉會產生磁場.如果將2個這樣的圓板平行放置,使其載荷相等,等角速度轉動,構成類似亥姆霍茲線圈的結構,如圖11所示.容易求得均勻載荷圓板勻角速度旋轉所產生的磁場為

圖11 均勻雙載荷圓板

2塊平行載荷旋轉板的合磁場在軸線上分布為

作出中軸線上的磁場分布如圖12所示.

圖12 2個平行共軸載荷旋轉圓盤中軸線上的磁場分布

從圖12可知,磁場隨x/R變化太快,不能產生符合實驗室要求的均勻、穩定磁場.如只要求較小的磁場,則通過增大平行板間距,還是有可能的.隨著距離增大,中心磁場將越來越小.

7 結束語

亥姆霍茲線圈能在中心點附近空間產生比較均勻的磁場.三載流線圈也能在空間中產生均勻的磁場,并且比亥姆霍茲線圈產生的磁場更均勻.近距離的2塊平行均勻載荷平板勻角速度轉動時不能產生均勻磁場,但在不要求較大磁場時,增大距離也有可能產生較均勻的磁場分布.

[1] 胡秋友,程福臻,葉邦角.電磁學與電動力學(上冊)[M].北京:科學出版社,2007:120-126.

[2] 張玉明,威博云.電磁學[M].合肥:中國科學技術大學出版社,2008:213-226.

[3] 曾曉英.亥姆霍茲線圈磁場的均勻性分析及誤差估算[J].物理實驗,2000,20(5):38.

[4] 昝會萍,陳東立.平行共軸三線圈磁場均勻性分析[J].陜西師范大學學報(自然科學版),2002,(2):41-44.