鄰近爆破對矩形巖柱穩定性影響的突變理論分析＊

閆長斌，王泉偉，李國權，符新閣，左宇軍

（1.黃河勘測規劃設計有限公司，河南 鄭州450003；2.大連大學材料破壞力學數值實驗中心，遼寧 大連430071）

1 引 言

矩形巖柱是地下開采方式中常用的巖柱布置型式之一。巖柱可以有效地維持采場和采空區頂板及圍巖的穩定性。實踐表明，巖柱失穩往往會導致地下采場或采空區的整體破壞，甚至造成更嚴重的關聯失穩［1］。巖柱的完好程度是判斷地下采場和采空區穩定性的重要標志［2－3］。地下采場或采空區穩定性取決于頂板與巖柱，對巖柱穩定性進行的研究分別從現場測試［2］、數值計算［4－5］和可靠性［6］等方面入手，已取得豐碩的研究成果，但往往只考慮靜荷載的作用和影響。事實上，由于爆破藥量較大，井下生產爆破對鄰近巖柱穩定性的影響不可忽視。在巖柱優化設計時，考慮爆破動載的影響，更符合生產實際、更安全可靠［7］。

巖柱失穩是一個非連續、非線性現象，應用突變理論方法分析是可行的。李江騰等［8］、潘岳等［9］運用尖點突變原理，基于勢能原理，分析了巖柱失穩機理，但沒有涉及爆破動載對巖柱穩定性的影響。由于爆破損傷作用的復雜性，爆破動載對巖柱穩定性的影響，既與爆破規模、爆破方法等因素有關，又與巖柱的物理力學性質有關［10－11］。爆破動載對巖柱穩定性影響的研究方法以實測或模型實驗等手段為主［12］。應用突變理論方法分析爆破動載作用誘發巖柱失穩機理的研究成果報道較少。

2 非線性動力學模型

假定矩形巖柱的長度為a，厚度為h，高度為l，如圖1（b）所示。由于巖柱的長度a 遠大于厚度h，為了方便分析，忽略矩形巖柱在z方向上的變形，假定矩形巖柱的撓度發生在y 方向，且僅是x 和時間t的函數。取z方向上的單位長度進行矩形巖柱穩定性分析，即令a＝1。此時，矩形巖柱的邊界條件為：在x＝0，l邊為可移簡支且作用有豎向壓力P（0≤P≤Pcr），在z＝0，a邊為不可移簡支。

圖1 矩形巖柱的力學模型Fig.1 Mechanical models for a rectangular rock pillar

考慮巖柱失穩破壞時間效應時，借鑒粘彈性矩形板的非線性振動理論研究巖柱在爆破應力波擾動作用下的失穩問題。根據彈性動力學理論，各向同性Voigt粘彈性矩形板的非線性動力方程為［13－14］

根據上述邊界條件可知，矩形巖柱在z方向單位伸長為0。

假設式（1）的解及爆破擾動力為［13－14］

利用Galerkin原理，且量綱一化后，可得到

“已經摔死了十七個匠人了，”帶領他們在舟中引眺的劍南節度使說，“真正鑿到佛足，可能還需要一個甲子的工夫?！?/p>

根據上述各關系式，可將方程（5）的解設為以下形式

式中：H1是矩形巖柱的振幅，φ1是由于阻尼引起的響應滯后。

將H 視為時間不變量，再將式（6）代入式（5）中，略去諧波的高次項，并令sinΩτ 和cosΩτ 項前的系數在等式兩邊分別相等，可得

由式（7）～（8）可得

對上式作微分同胚變換［15－16］，消去式（9）中關于H2的2次項得到

式（10）即為標準的尖點突變的平衡曲面方程。由于狀態變量x 本身由2個變量組成，實際上式（10）也是雙尖點突變模型。由突變理論［15－16］可知，爆破擾動作用下矩形巖柱失穩的必要條件為

爆破擾動作用下矩形巖柱失穩的充分條件為

將式（12）代入式（14）后可得

3 突變理論分析

根據式（11）～（15）及以上分析結果，難以直接看出各種爆破參量變化對矩形巖柱失穩機理的影響。下面分析豎向壓力P、爆破擾動強度q0以及爆破擾動頻率ω0對矩形巖柱失穩機理的影響。

3.1 爆破擾動強度對矩形巖柱穩定性的影響

矩形巖柱的有關參數分別為：a＝1 m，l＝10 m，h＝1 m，m＝n＝1，μ＝0.4 m，ρ＝2t／m3，E0＝6GPa，η＝90 MPa·s，ε＝0.015s，ω0＝85rad／s，ε0＝0.015，P＝6，12 MN。由式（13）～（14）可知，u 和4u3＋27v2可以反映巖柱的穩定程度。將以上參數代入，可得4u3＋27v2隨爆破擾動強度q0的變化規律，如圖2所示。由圖2不難看出，隨著爆破擾動強度的不斷增大，4u3＋27v2呈現降低趨勢；當P＝12MN時，若爆破擾動強度q0增至33.5MN，則4u3＋27v2等于0，此時滿足巖柱失穩條件。另外，豎向壓力P 越大，4u3＋27v2越接近0，即滿足巖柱失穩條件對應的爆破擾動強度q0越小。豎向壓力P 越大，鄰近爆破擾動作用下，矩形巖柱越容易發生失穩破壞。

3.2 爆破擾動頻率對矩形巖柱穩定性的影響

矩形巖柱的有關參數分別為：a＝1 m，l＝10 m，h＝1 m，m＝n＝1，μ＝0.4 m，ρ＝2t／m3，E0＝6GPa，η＝90 MPa·s，ε＝0.015s，q0＝35 MN，ε0＝0.015，P＝6 MN。將以上參數代入，可得u 和4u3＋27v2隨爆破擾動頻率ω0的變化規律，如圖3所示。由上述分析可知，要使矩形巖柱發生動力擾動失穩破壞，必須滿足必要條件式（13）。由圖3（a）中可見，爆破擾動頻率必須滿足一定的范圍，在某一區間ω01≤ω0≤ω02，u大于0，爆破擾動作用下矩形巖柱不會發生失穩破壞。由圖3（b）中可見，在豎向壓力P作用下，爆破擾動頻率必須大于某ω03時，才能滿足式（14），即巖柱失穩。根據上述分析可知，若增大豎向壓力P，爆破擾動作用下矩形巖柱發生失穩的可能性增大，而此時能夠滿足條件式（14）的爆破擾動頻率ω03必然減小。

圖2 4u3＋27v2 隨爆破擾動強度的變化Fig.2 Variation of 4u3＋27v2 with blasting strength

圖3 u和4u3＋27v2 隨爆破擾動頻率的變化Fig.3 Variation of uand 4u3＋27v2 with blasting frequency

4 結 論

運用突變理論研究了爆破震動對矩形巖柱穩定性的影響，得到了以下主要結論。

（1）在一定的爆破擾動強度和頻率范圍內，巖柱的動力響應可越過臨界平衡位置，使得結構發生振幅（位移）突跳。鄰近爆破擾動誘發矩形巖柱失穩破壞是一個不可逆的過程。巖柱對爆破震動荷載的動力響應具有滯后特性，即爆破動荷載頻率變化路徑對結構的振動特性有重要的影響。

（2）在考慮自重荷載的情況下，爆破震動是否會誘發矩形巖柱產生失穩不僅取決于爆破震動強度和頻率，還與爆破擾動次數、結構自重荷載、上覆巖層荷載、采動應力、水平地應力、巖體物理力學性質以及結構的其他內部屬性有關。

（3）隨爆破擾動強度q0的增大，參數4u3＋27v2呈現降低趨勢，4u3＋27v2越小，越容易滿足失穩條件，巖柱越容易發生失穩破壞。

（4）豎向壓力P 越大，滿足巖柱失穩條件所對應的爆破擾動強度q0越小，矩形巖柱越容易發生失穩破壞。

（5）巖柱發生動力失穩破壞，爆破擾動頻率必須滿足一定條件。

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