用移動元胞自動機法模擬桿式穿甲彈長細比對侵徹過程的影響*

黃德武,張 健

(沈陽理工大學裝備工程學院,遼寧 沈陽110016)

1 引 言

連續介質力學以介質材料的連續假設為基礎,包括流體力學﹑氣體動力學﹑彈塑性力學﹑爆炸力學等。盡管各種物質都是由大量不連續的分子組成,但連續介質力學卻不對物質的真實微觀結構作深入探討。這種假設給以牛頓微積分為基礎的、要求變量處處連續可微的數學體系提供了應用可能。因為由這種假設推導出的結論一般都能滿足工程需要,因此連續介質力學得到了廣泛的應用,是最重要的力學方法。但近年來隨著材料微、細觀結構研究的最新進展,再用這種方法描述爆炸和高速穿甲時材料損傷﹑斷裂和飛散的微觀過程,有時會產生較大出入,不盡人意。

移動元胞自動機法是С.Д.Псахье等[1]在元胞自動機法[2]基礎上發展起來的,它的主要特征是元胞不是固定在網格上變化,而是可以移動。MCA 假設材料由許多獨立的元胞構成,元胞之間用“鍵”連接,“鍵”受沖擊可斷開,受強擠壓時已斷開的“鍵”還能重新連接,元胞間可以相對運動。元胞間的碰撞、擠壓和摩擦可產生熱量使元胞溫度瞬間升高。用粒子力學方法對每個元胞對建立運動微分方程,在某個時間步長對所有元胞對的方程聯立求解就得到一個“態”,下個步長又得到一個新“態”,將這些“態”連接起來,就完整描述了一個動態過程,這和生物細胞的復制、分裂及生物生長過程有些類似,因此稱為元胞自動機法。不難看出,MCA 方法需要高速運算和超大規模存貯計算機。只有隨著計算機硬﹑軟件的發展及相關粒子力學理論的不斷完善這種方法才能實現。MCA 方法對爆炸、穿甲、復合材料損傷、相變過程等問題的數值模擬是符合實際和有效的。本文中,對MCA 法作進一步的改進,增加了高速侵徹溫度場的計算。

2 MCA 方法基本模型

2.1 元胞運動微分方程的建立

MCA 方法把被模擬的物體離散成一系列的微小單元,這些單元的位置不固定在某個網格上而是可以移動的,稱為移動元胞,二維元胞可以是單層單元,物體內部任意相鄰的兩個元胞為一個元胞對。引入描述元胞對之間位置參數hij,并有如圖1,hij為元胞對位移參數,rij為元胞i 的中心到元胞j 的中心的實際距離,rij,0為元胞未發生變形時、即兩元胞相切時元胞i 到元胞j 的中心距離,di為元胞i 的直徑。若兩個元胞被拉開,則hij=rij-rij,0為正值,若互相擠壓,則hij為負值,若定義hij為絕對值,即,則沒有正負的符號問題。

圖1 相鄰元胞組成的元胞對Fig.1 A pair of the neighbor cells

在有限元法中,單元通過節點相連,節點在物理意義上是“絞鏈”。而在MCA 法中,元胞對位移參數hij,max類似可變形的“彈簧”,元胞之間的作用力與“彈簧”拉伸程度有關,一旦“彈簧”超過強度極限,元胞“鍵”就斷開。顯然,MCA 法比有限元法更接近實際。當hij＜hij,max時為連接狀態,當hij＞hij,max時為斷開狀態。其中hij,max是元胞對位移參數的臨界值,hij,max=rij,0εb,εb為材料斷裂時的應變值,即材料的延伸率。這種方法的重要步驟是以任一個元胞對(i,j)為研究對象,建立兩個元胞相互運動的平動和轉動方程

式中:qij為從元胞i 的中心到該元胞與元胞j 接觸后公共弦的距離;C(ij,ik)為與hij參數有關的系數;Ψ(αij,ik)為與ij、ik 等元胞對的相互排列角度參數αij,ik和泊松系數μ有關的變形系數;θij為元胞i、j 間的相對旋轉角;τij為i、j 間的切向力;S(i j,ik)為與元胞對ij 和元胞對ik 的旋轉角θ有關的系數;J i 為元胞i 繞質心的轉動慣量。元胞對的變形見圖2,位移參數見圖3。

平動方程(1)中,左端第一項是元胞i、j 間的相對直線加速度,右端第一項是元胞i、j 間作用力pij引起的相對直線加速度,第二項是作用在i 元胞上、除了j 元胞外的其他鄰近元胞作用力引起的加速度在i、j 方向上的投影,第三項是除了i 元胞外、作用在j 元胞上的其他鄰近元胞的作用力引起的加速度在i、j 方向上的投影。轉動方程(2)有類似意義,只是有關角加速度的。

方程(1)、(2)構成了兩個元胞間相互作用的運動微分方程,當C(ij,ik)=1 或C(i j,j l)=1 且S(ij,ik)=1 或S(ij,j l)=1 時,可以轉化為牛頓-歐拉運動方程

圖2 元胞對間的變形Fig.2 Relative deformation of a pair

式中:Fij=pij+τij,Kij=qijnijτij,Ri、Rj是元胞i 和j 沿ij連線的位矢,模大小不等,nij是單位法向矢量,nij=(Rj-Ri)/(qij+qji)。

圖3 元胞對位移參數Fig.3 Displacement parameters for the pairs

2.2 本構關系的構成

在MCA 方法中,整個試樣本構關系由兩部分構成,第一部分取決于每個元胞內部的應力應變關系,第二部分取決于元胞間的相互位置和元胞的運動狀態。MCA 方法認定每個元胞內部應力和應變關系仍然遵循連續介質力學中的彈塑性小變形理論。一個試樣內部元胞的數量是固定的,在沖擊載荷作用下,受載荷直接作用的元胞間距離一般都縮短(試樣被壓實),同時各個鄰近元胞受壓縮后被激活和開始運動起來,具有一定的速度和加速度,開始時所有相鄰元胞間都有“鍵”連接,受載后有些元胞間的“鍵”被拉斷或被壓斷。既使不斷,相互的連接力也隨元胞運動的不同發生變化,這就決定了試樣的承載能力和本構關系的不斷改變。為了分析這兩部分對試樣本構的影響,先來研究單個元胞內的彈塑性變化。取一個元胞,周圍元胞對它的作用可視為力和位移的邊界條件,關系式為[3]

式中:如只考慮平面應力狀態,則(α,β)=(x,y),σα和εα是應力和應變張量的對角分量;σav為平均應力,ταβ為剪切分量,K 為體積彈性模量,在各向同性彈性范圍內,。φ為與元胞材料性質有關的乘子,φ=(2/3)dσint(εint)/dεint。其中

體積彈性模量K 是一個變量,因為在沖擊引起的彈塑性變化中E 是隨應變ε變化的。在原MCA 方法中,單個元胞內部應力和應變采用雙線性強化彈塑性本構關系,E 的變化比較簡單,只適應低速沖擊,改進后的MCA 方法采用指數強化規律或二次強化規律

式中:ε是應變;E0是材料的彈性模量;E 是變形后材料的彈性模量;α是材料參數,由實驗確定。

對于元胞對之間的正應力及切向剪應力,有

一個試樣由很多元胞組成,每個元胞對的運動微分方程都可用式(1)～(2)描述,這樣編制程序很方便,就象在有限元法中計算單元剛度矩陣一樣,一個統一式適用于所有單元。然后再把所有元胞對運動方程聯立起來,這又和有限元法中組集總體剛度矩陣類似,即在整體上表示了這個試樣外載荷和形變之間的關系,也就是試樣的本構關系。比較每個元胞內應力應變關系和元胞間位置及運動的變化對整個試樣本構關系的貢獻,可以發現后者是主要的,即前述的第二部分對試樣本構關系貢獻大。

2.3 元胞“鍵”的破壞規則

MCA 方法中,元胞之間是連接還是斷開由元胞對位移參數hij決定,同時MCA 方法還采用等效應力作為判別元胞之間由連接到斷開的判據

式中:σi,b為i 元胞的極限強度,K ij 為粘滯系數。滿足式(7)或(8)時為斷開狀態。這就是說一個元胞對之間的“鍵”可以有兩個破壞規則,變形過大被拉斷或壓斷,相互擠壓過重元胞“健”也被破壞。兩個元胞間的“鍵”破壞以后,相互不再傳遞力的作用。如果一個元胞或一個元胞團(材料碎塊)和周圍元胞連接的“鍵”全部斷了,這個元胞或元胞團(材料碎塊)就脫離試樣,游離或飛散出去。

當元胞i、j 為同一材料時,Kij=1;當元胞i、j 為不同材料時,K ij ≠1;K ij 表示兩種材料界面的連接程度,可處理表面涂層、復合材料、不均勻介質等界面問題。如果任一材料元胞的等效應力滿足破壞條件(7)或(8),不管另一種材料的元胞是否破壞,則元胞對之間的連接“鍵”斷開,即界面開裂或脫離。如果界面的接合工藝不好,即界面連接強度低于基體內連接強度,則粘滯系數K ij 較小(K ij ＜1),即在較小的沖擊載荷作用下,即可達到開裂條件。

2.4 元胞溫度計算

實驗表明,高速穿甲侵徹過程的時間很短,一般以微秒計。彈體撞擊靶板瞬間,靶板和彈體頭部的溫度驟然升高,可能引起靶板材料局部熔化,高速穿甲溫度效應不能忽略,但可視為絕熱過程。在M CA 方法中,元胞i、j 之間作用力可分解為法向力和切向力

在沖擊載荷下,沖擊外力作彈性功轉換成材料內勢能,可以恢復,稱有勢力,沖擊外力作塑性功不能恢復,轉變成熱量耗散,這部分稱耗散力。因此

3 穿甲侵徹計算

彈芯材料為鎢合金93W,材料參數分別為:密度ρ=17.5 t/m3,泊松比μ=0.33,彈性模量Ε=320 GPa,極限強度σb=2 GPa,斷裂應變ε=0.04,比熱容c=140 J/(kg·K),導熱率λ=137 W/(m·K);靶板材料為27SiM nMo,材料參數分別為:ρ=7.8 t/m3,μ=0.28,E=206 GPa,σb=1.2 GPa,ε=0.08,c=450 J/(kg·K),λ=69.3 W/(m·K)。彈芯質量0.19 kg,靶板厚度300 mm,著靶速度1 km/s,依據模型中靶板的厚度和穿甲過程中靶板的破壞程度,靶板可看作半無限靶。模型中彈、靶元胞的尺寸相同,元胞的直徑為1.7 mm。

穿甲彈芯長細比的設計對侵徹能力影響很大,選取長細比λ=L/D 分別為5、10、15、20、25 和30。彈芯質量相同,大長細比彈芯的直徑必然小,彈芯具體尺寸見表1。

表1 桿式穿甲彈尺寸Table 1 The sizes of rod projectiles

圖4 是長細比為10 的計算模型。模型的元胞總數為31 332,彈元胞總數325,靶元胞總數為31 007。

侵徹半無限靶的最后,或者彈體速度衰減為零,殘余彈體嵌在靶板中,或者彈體質量耗盡,侵徹中止。圖5 為長細比為10 的穿甲彈對靶板的侵徹過程。當t=87.5 μs 時,彈體長度消耗了2/3,速度下降為865 m/s,當t=125 μs 時,彈體長度消耗了9/10,速度下降為655 m/s,當t=225 μs 時,彈體質量消耗殆盡,侵徹過程停止。

圖4 計算模型(λ=10)Fig.4 The model

圖5 穿甲彈對靶板侵徹的破壞圖(λ=10)Fig.5 The damage process of projectile to target

圖6 為長細比為15 的彈芯在t=103 μs 時彈、靶的溫度場。彈坑內側溫度比較高,彈坑底部已有一些元胞超過1 800 ℃(鋼的熔點1 480 ℃),這和實驗結果一致。通常在靶板彈孔內側能觀測到約10 μm 的白亮層,它是靶板材料被高速撞擊和摩擦熔化后又快速凝固后形成的,稱為熔化快凝層[4-5]。有人稱穿甲侵徹過程為“熔穿”,即指彈、靶接觸處由于高速沖擊和強烈摩擦,瞬時可視為絕熱過程,靶板彈坑底部溫度能達到熔點。

圖6 t=103 μs 時的溫度場(λ=15)Fig.6 Temperature field at t=103 μs

在模擬侵徹過程中,彈頭部和靶板相互受到的壓力可達30 ～70 GPa。如果穿甲彈頭部的表面元胞和彈體內部鄰近元胞的連接“鍵”被全部壓斷,這些元胞就會飛散或移走。這樣彈和靶板次表面的元胞就成為表面元胞,隨著侵徹過程的進行,彈芯在縮短,靶板上的彈坑在延伸。彈、靶間的擠壓應力通過元胞逐次傳遞以應力波的形式在彈體和靶板中向遠處傳播,應力波的傳播速度遠遠大于穿甲彈芯侵徹靶板的速度,應力波的作用造成了遠方元胞間“鍵”的破壞,形成了損傷區。圖5 中彈、靶接觸部分附近的白色區域均為損傷區,損傷區不規則是應力波反射和疊加的結果。圖7 為t=87.5 μs 時彈體的放大網格圖,節點代表元胞,節點間連線代表“鍵”。圖中彈芯上部網格連接完好,每一個元胞與周圍的六個元胞相連,形成正六邊形排列;下部網格連接出現了不同程度的破壞,例如元胞30 473 與周圍五個元胞的連接“鍵”已斷開,若一個元胞的六個“鍵”全部斷裂,則這個元胞將脫落和飛離,這意味著彈體質量在侵徹中不斷消耗,這和實驗結果符合。

圖8 為質量和初速相同、長細比不同的桿式穿甲彈侵徹靶板的最大穿深曲線。從圖中可以看出,隨著長細比的增加,桿式穿甲彈的最大穿深逐漸增加。這是因為隨著長細比的增大,由于彈芯質量不變,彈芯橫截面上面積比動能變大,彈芯的侵徹能力增強,但當長細比超過25 以后,隨著長細比的增加最大穿甲深度提高不明顯,這和有些實驗結果的結論非常吻合[6-7]。當然這里僅是從侵徹深度來討論,桿式穿甲彈長細比過大,還應考慮膛內發射和碰靶時的彈體折斷問題。

圖7 彈體局部網格Fig.7 The zoom of the projectile

圖8 最大穿深曲線Fig.8 The curve of penetrating depth

4 結 論

用MCA 方法對彈芯質量相同、長細比不同的鎢合金穿甲彈侵徹靶板進行數值模擬,在著靶速度1 km/s 下,可以得出以下結論。

(1)用粒子力學的移動元胞自動機法模擬桿式穿甲彈芯侵徹靶板過程效果較好,彈、靶相互作用的細觀破壞過程明顯直觀,彈坑形成、彈體質量消耗、彈孔溫升均能很好描述。有利于分析穿甲過程的技術細節和更好進行穿甲彈與裝甲防護的工程設計。

(2)長細比不同對半無限靶的最大穿甲深度也不相同,隨著長細比的增加穿甲深度增加。長細比超過25 以后對穿甲深度影響較小,這和實驗結果符合。

(3)彈、靶溫度場的計算結果與實驗觀測值也比較一致,彈、靶接觸處高速沖擊和強烈摩擦,引起的靶板元胞溫升可超過熔點,這和在靶場試驗中觀測到靶板彈孔內側有熔化快凝層存在吻合。

[1] Psakhie S G, Stermeyer O G.Movable cellular automata method as a new tool in computational mechanics[J].Computational Materials Science,1999,16(4):333-344.

[2] von J Neumann.Theory of self-reproducing automata[M].Illinois:University of Illinois Press, 1966:157-162.

[3] 陳克,黃德武.用MCA 法模擬混凝土在沖擊作用下損傷及破壞過程[J].兵工學報,2002,23(增刊):66-69.CH EN Ke, HUANG De-wu.Simulation of the damage of the concrete under the impact by movable cellular automata[J].Acta Armamentarii,2002,23(Supple):66-69.

[4] 黃晨光,董永香,段祝平.鎢合金的沖擊動力學性質及微細觀結構的影響[J].力學進展,2003,33(4):433-445.H UANG Chen-guang,DONG Yong-xiang, DUANG Zhu-ping.Dynamic behaviors of tungsten alloy and its dependancwe on micro-and mesoscopic structures[J].Advanced in Mechanics,2003,33(4):433-445.

[5] 李金泉,黃德武,段占強.穿甲試驗靶彈孔微觀結構和絕熱剪切帶特性[J].北京科技大學學報,2003,25(6):545-549.LI Jin-quan, HUANG De-wu,DUAN Zhan-qiang.Mcrostructure near the penetrated hole in an experimental target and chracteristics of the adiabatic shear band[J].Journal of University of Science and Technology Beijing,2003,25(6):545-549.

[6] 王頌康,朱鶴松.高新技術彈藥[M].北京:兵器工業出版社,1997:123-124.

[7] Anderson C E,Walker J D,Bless S J,et al.On the L/D effect for long-rod penetratiors[J].International Journal of Im pact Engineering,1996,18(3):247-264.