特殊復合球鉸 3-RPS并聯機構及其連續剛度模型

崔學良 韓先國 陳五一

(北京航空航天大學 機械工程及自動化學院,北京 100191)

特殊復合球鉸 3-RPS并聯機構及其連續剛度模型

崔學良 韓先國 陳五一

(北京航空航天大學 機械工程及自動化學院,北京 100191)

采用矢量微分法研究了在大載荷作用下,兼顧支鏈和鉸鏈剛度以及雅克比矩陣變化等影響因素的 3-RPS并聯機構完整連續剛度模型.基于螺旋理論分析了 3-RPS并聯機構支鏈及鉸鏈構件所受作用力與機構外載荷之間的力平衡關系.采用矢量微分法分析了 3-RPS并聯機構動平臺位姿變化與支鏈及鉸鏈構件變形之間的關系.采用矢量微分法對機構的力學平衡方程進行微分,建立了完整的連續剛度模型,最后進行了數值模擬分析,結果表明并聯機構剛度受載荷和位姿變化影響,簡化剛度模型與完整剛度模型在工作空間邊界處差值較大.

連續剛度模型;雅克比矩陣;復合球鉸;螺旋理論;矢量微分法

3-RPS并聯機構結構簡單、控制相對容易,在加工制造領域中具有良好的應用前景.但在高速、重載的工況下,并聯機構各構件彈性變形增大,且由于鉸鏈間隙無法有效補償,從而導致其整體剛度變弱,因此兼顧支鏈和鉸鏈的彈性變形,對并聯機構的整機剛度進行分析和補償有十分重要的意義.文獻[1]建立了并聯機構末端操作力與末端變形的映射模型.文獻[2]推導了 Stewart平臺的剛度矩陣,計算了其最大、最小剛度的方向及數值.文獻[3]給出了并聯機床各支鏈等效剛度及載荷的確定方法.文獻[4]利用虛功原理分別求解了并聯機床各子系統的剛度,然后用線性疊加求得其整體剛度.文獻[5]針對過約束并聯機構也做了類似的工作.

以上對并聯機構剛度的研究中,都是將機構的雅克比矩陣看作是與其結構參數和位姿有關的常量矩陣.但在大載荷作用下,并聯機構位形改變,從而導致雅可比矩陣發生變化,因此其剛度模型還與外載荷有關.文獻[6-7]利用矢量法建立了考慮雅克比矩陣變化的 Stewart并聯機床瞬時剛度模型,但推導過程不甚清晰,所得結果難以推廣應用.文獻[8]利用虛功原理建立了并聯機構的完整連續剛度模型,但文中將被動關節的產生力矩與主動關節的產生力矩等同對待,在對被動鉸鏈作用力的計算時仍有些不便.本文針對大載荷和大姿態要求的工況,設計了一種具有特殊復合球鉸的 3-RPS并聯機構,并對其整個工作空間中的剛度進行了分析,建立機構的連續剛度模型完整的計算公式,從而為并聯機構精確剛度補償奠定基礎.

1 并聯機構及復合鉸鏈的結構特性

圖1 并聯機構復合鉸鏈

圖2 并聯機構動平臺

如圖 3所示,在靜平臺上建立參考坐標系 OXYZ,理想動平臺平面由 3個復合球鉸的球心Pi(i=1,2,3)確定,建立動坐標系 P-xyz,原點 P位于△P1P2P3中心.

圖3 改進的 3-RPS并聯機構示意圖

2 并聯機構力平衡分析

力平衡分析是并聯機構剛度模型建立的基礎.如圖 4所示,3-RPS并聯機構的受力平衡方程:

圖4 3-RPS并聯機構整體受力分析

式中,F為機構所受外載荷;Srai(i=1,2,3)為沿轉軸)軸向作用力 6維單位線矢;Srni為沿支鏈矢量 li與轉軸矢量的公法線方向上的 6維單位力線矢;Sroi為沿上面兩矢量的公法線方向上6維單位力線矢;frai,frni和froi(i=1,2,3)為式(1)所得支鏈作用力線矢 flai,flti(i=1,2,3)沿上述矢量方向投影值.

圖5 動平臺及轉軸結構體受力分析

受作用力共有 9個分量,為建立并聯機構整體剛度模型,需將其合并為 6個分量.由螺旋相關性[10]可知,作用在軸)上的兩個力矢 frniSrni和 froiSroi(i=1,2,3)位于其法平面內,可將其合并為一個力矢:

3 構件彈性變形與機構位姿偏移

并聯機構的剛度模型實質上是動平臺位姿偏移與其所受外載荷之間的關系.為確定這一關系模型,需考察支鏈 li(i=1,2,3)及復合鉸鏈轉軸)彈性變形與機構動平臺位姿偏移之間的幾何關系.由位置逆解模型可知,并聯機構在變形前滿足幾何約束方程:

式中,Bi(i=1,2,3)為 3-RPS并聯機構靜平臺上轉動副 ui(i=1,2,3)的中點坐標,參見圖 3;PPi(i=1,2,3)為復合球鉸球心坐標在動坐標系中的表示;P為動坐標系原點在參考坐標系中的坐標;T為動平臺姿態矩陣.

當機構受載變形后,姿態矩陣由 T變為 T+δT,其中 δ為微分算子,以下同.并聯機構變形后的幾何約束方程為

式中,δli(i=1,2,3)為支鏈 li在外作用力下的彈性變形;PPi+PδPi(i=1,2,3)為并聯機構變形后復合鉸鏈中心位置在動坐標系中的表示.

由機器人機構學[11]等效轉軸理論,動平臺姿態的偏移量 δT可等效為動坐標系繞過其原點的某一轉軸轉過一個微小角度 δθ.將式(7)減去式(6),可得

忽略高階無窮小量,有

式中,PδPi=Pδsai+Pδsti(i=1,2,3)為復合鉸鏈的中心位置偏移量,其中Pδsai和Pδsti分別為軸)軸向和側向彈性變形量在動坐標系中的表示.式(9)兩端分別點乘 lai和 lti(i=1,2,3)方向上的單位矢量,經整理可得并聯機構動平臺位姿偏移與支鏈 li(i=1,2,3)及復合鉸鏈轉軸彈性變形之間的幾何約束方程:式中,δl為一由各支鏈軸向和側向彈性變形大小所構成的矢量,δl=(δla1δla2δla3δlt1δlt2為軸)彈性變形在支鏈 li矢量方向上的映射矩陣;δs為軸軸向和側向彈性變形量大小所構成的矢量;δD為動平臺位姿偏移量,δD=(δPTδθT)T.

4 并聯機構完整連續剛度模型

并聯機構剛度與位姿和載荷有關,在大載荷作用下,尤其在工作空間的邊界處,并聯機構受載前后雅可比矩陣發生變化,即有 δJfl≠0.對式(1)全微分,并考慮到支鏈 li(i=1,2,3)的受力變形關系 δf1=-k1δl,可得

式中,Jfl為并聯機構的力雅可比矩陣;k1為一由支鏈 li(i=1,2,3)軸向剛度和側向剛度所組成的6維對角陣;

當雅克比矩陣 Jfl非奇異時,可得支鏈 li(i=1,2,3)彈性變形與動平臺位姿偏移量之間的關系:

式中,K為并聯機構的整體剛度矩陣.

式中

由式(10),并參考式(12)和式 (13),有

lh聯機構的整機連續剛度模型.當忽略雅克比矩陣變化對機構整體連續剛度的影響時,式(16)可簡化為

式中,K1為僅考慮支鏈剛度時并聯機構的簡化整體剛度模型.

5 數值模擬

為了形象地觀察并聯機構完整剛度模型和簡化剛度模型對機構剛度性能評價的差異,本文分別計算機構在相同載荷作用下采用完整剛度模型所得機構末端位姿偏移量與采用簡化剛度模型所得末端位姿偏移量,通過比較兩組結果得出并聯機構不同剛度模型對其剛度性能進行評判的差異.3-RPS并聯機構樣機結構如圖 6所示.結構參數如表 1所示.樣機采用臥式放置,動平臺上裝有操作頭,加工時工作載荷垂直于動平臺平面.

圖6 3-RPS并聯機構樣機模型

表 1 3-RPS并聯機構的參數

設操作頭自重為 6 kN,加工作業時工作載荷為 2kN.為衡量并聯機構的整體剛度,本文分析并聯機構在外載荷作用下動平臺位姿的偏移量.分別由式(15)的完整連續剛度模型和式(17)簡化剛度模型分析動平臺在加載過程中的位姿偏移量,結果如圖 7～圖 10所示.圖 7和圖 8所示為并聯機構在章動角為 45°,進動角為 120°,動 、靜平臺 z向距離在 0.8～1.8m變化時動平臺的位姿偏移曲線.圖9和圖10所示為機構在動、靜平臺 z向距離為 0.8m,章動角為 45°,進動角 0～360°變化范圍內動平臺的位姿偏移量曲線.

由圖 7～圖 10可看出,在計算動平臺的位姿偏移量時,采用簡化剛度模型的計算結果小于采用完整剛度模型的計算結果,表明采用簡化剛度模型分析所得的并聯機構整機剛度較大.如圖 9所示,在靜平臺 z向距離為 0.8m,章動角為 45°,進動角為 90°處,采用簡化剛度模型求得的動平臺位置偏移量為 0.98mm,而采用完整剛度模型求得的動平臺位置偏移量為 1.8mm.在該位姿處動平臺的角度偏移量相差為 0.4°,如圖 10所示.這是由于在大載荷作用下,機構發生變形,而簡化剛度模型中雅可比矩陣是以變形前的位形參數計算的,因此采用簡化剛度模型計算動平臺位姿偏移量時,會產生較大的誤差.完整連續剛度模型考慮到載荷對機構變形的影響,由此模型計算所得的動平臺位姿偏移量更接近實際,有利于對由機構剛度變形引起的位姿誤差作出合理補償.

圖7 加載過程中動平臺中心位置偏移量

圖8 加載過程中動平臺姿態角偏移量

圖9 兩種剛度模型的動平臺中心位置偏移量

圖10 兩種剛度模型的動平臺姿態角偏移量

6 結 論

1)并聯機構的整機剛度與所受外載荷和動平臺的位姿參數有關;

2)并聯機構的整機剛度主要受支鏈剛度與鉸鏈剛度的共同影響;

3)在大載荷的作用下,尤其當并聯機構動平臺運動在工作空間邊界處時,由簡化剛度模型與完整剛度模型所求得的機構動平臺位姿偏移量差值較大,最大差值甚至相差 1倍.

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(編 輯:文麗芳)

Continuous stiffness modeling o f3-RPS parallel kinematic machine with special composite spherical joints

CuiXueliang Han Xianguo Chen Wuyi

(School of Mechanical Engineering and Automation,Beijing University of Aeronautics and Astronautics,Beijing 100191,China)

A comprehensive continuous modeling methodology of3-RPS parallel machine under dynamic load condition was developed and presented by considering the stiffness of legs and joints.The variational Jacobian matrix was used through vector differential and equivalent mechanism technique.Based on the screw theory,the force equation between the dynamic load on the mobile platform and its reaction forces on the legs and joints of the 3-RPS parallel machine was investigated and analyzed.The relationship between the pose(position and orientation)distortion of the mobile platform and the elastic deformation behavior of the legs and joints on 3-RPS parallel machine was established and analyzed by vector differential.A comprehensive dynamic stiffness model of the machine was developed by adding the total differential of the residual forces on the machine system.To validate the methodology,a numerical simulation was carried out.The result shows that the stiffness model of the parallel machine is affected by the outside load and the pose of the mobile platform.There is a large difference between the simple stiffness model and the integrate stiffness model near the workspace boundary of the parallel machine.

continuous stiffness model;Jacobian matrix;composite spherical joint;screw theory;vector differential method

TP 242

A

1001-5965(2010)11-1275-06

2010-01-28

航空科學基金資助項目(20081651025);北京市重點實驗室資助項目

崔學良(1971-),男,山西長治人,博士生,cuixueliangsj@163.com.