SRAD-QFT魯棒優化設計新方法

金憲哲 吳森堂

(北京航空航天大學 自動化科學與電氣工程學院,北京 100191)

SRAD-QFT魯棒優化設計新方法

金憲哲 吳森堂

(北京航空航天大學 自動化科學與電氣工程學院,北京 100191)

針對使用定量反饋理論進行控制系統設計時存在的魯棒性度量等問題,結合隨機魯棒分析與設計原理,提出一種魯棒優化設計新方法.該方法使用被控對象參數的統計信息對參數不確定性進行描述,基于閉環控制系統的蒙特卡羅仿真,將獲得的閉環控制系統不穩定概率及各項性能指標的不滿足概率作為閉環控制系統穩定魯棒性和性能魯棒性的度量,并在此基礎上實現閉環控制系統的魯棒優化設計.由某型超聲速反艦導彈縱向運動控制系統的設計過程表明:該方法能夠準確地描述被控對象的參數不確定性,有效解決控制系統的魯棒性度量問題,適用于復雜控制系統的設計.

魯棒控制;定量反饋理論;隨機魯棒分析與設計

定量反饋理論(QFT,Quantitative Feedback Theory)是一種基于頻率域的魯棒控制設計方法.該方法在設計初始就綜合考慮了被控對象的不確定性和閉環控制系統的性能要求,其設計結果同時具有穩定魯棒性和性能魯棒性,而且,QFT的設計過程簡單直觀,設計者能夠從中直接洞察控制器復雜性與閉環控制系統性能之間的折衷.這些特點使 QFT特別適合工程設計,因此,QFT受到廣泛關注并得到大量的應用[1-4].

傳統的 QFT控制器設計是在 Nichols圖上運用回路成形技術手工實現的,能否成功獲得 QFT控制器以及控制器的優劣很大程度上依賴于設計人員的經驗和智慧.特別是在進行多回路、多輸入輸出等復雜控制系統設計時,QFT控制器的設計及優化是一項極具挑戰性的工作,因此,近年來國內外學者在 QFT控制器的優化設計方面做了大量的研究.其中,比較具有代表性的有:文獻[5-6]提出的基于邊界凸優化和線性規劃技術的優化設計方法,文獻[7-10]提出的自動設計方法.然而,這些方法與傳統的手工回路成形設計方法一樣,都無法準確地度量閉環控制系統的穩定魯棒性和性能魯棒性,對 QFT控制器的優化效果有限.

為解決魯棒控制系統設計所必需的魯棒性度量問題,本文結合隨機魯棒分析與設計(SRAD,Stochastic Robustness Analysis and Design)原理[11-12],針對具有參數不確定性的線性時不變系統,提出了 SRAD-QFT魯棒優化設計方法.

1 SRAD-QFT優化設計方法

SRAD-QFT方法從兩個方面實現 QFT控制器的優化設計:①通過使用不確定性的結構信息,降低描述方式上的保守性;②提供準確的閉環控制系統魯棒性度量,以此作為魯棒控制器優化的依據.其設計流程圖如圖 1所示.

圖1 SRAD-QFT方法設計流程圖

SRAD-QFT方法使用被控對象中不確定性參數的統計信息對參數不確定性進行描述.不確定性參數的統計數據可直接由試驗得到,也可以由不確定性參數隱含的概率密度函數決定輸出的隨機數發生器產生.當不確定性參數的采樣空間足夠大,此方法就能夠準確地描述被控對象的不確定性.

SRAD-QFT方法將某項閉環控制系統設計指標的不滿足概率作為閉環控制系統關于該指標的魯棒性度量.不滿足概率是一種準確的度量,能夠很容易地由閉環控制系統的蒙特卡羅仿真得到,同時,它能夠用具體數值明確地指出在閉環控制系統不失效的情況下,一個魯棒設計能夠容許多大的不確定性.

以單輸入單輸出 QFT控制系統為例,簡要說明如何對閉環控制系統的穩定魯棒性進行度量.QFT控制系統結構圖如圖 2所示.

圖2 單輸入單輸出QFT控制系統結構圖

閉環控制系統的傳遞函數為

由經典控制理論可知,閉環控制系統穩定的充分必要條件是:T(s)的極點全部位于復平面的左半平面.由于存在參數不確定性,很難用推導G(s)和 F(s)的設計參數與閉環控制系統極點之間顯式關系的方式判斷閉環控制系統的穩定性,但通過反復計算閉環傳遞函數極點,用統計方法估計閉環控制系統的不穩定概率卻比較簡單.隨著計算次數的增大,不穩定概率的估計也就越準確.

由于閉環控制系統的穩定概率與不穩定概率之和等于常值 1,當給定設計參數,閉環控制系統的不穩定概率越大,說明其穩定魯棒性越低;反之,則穩定魯棒性越高.因此,不穩定概率可作為評價閉環控制系統穩定魯棒性優劣的直接度量.

由于控制系統的穩定性只能出現兩種情況:穩定或不穩定.可將每次對閉環穩定性的估計看作是一次概率密度函數為二項分布的隨機試驗:閉環控制系統不穩定時取值為 1,穩定時為 0.此定義的優點是,可應用二項檢驗獲得準確的不穩定概率的置信區間.

設閉環控制系統的不穩定概率為 P,其概率密度函數和累積分布函數分別為

其中,X為在 J次蒙特卡羅仿真中閉環控制系統不穩定的次數.由文獻[12],二項檢驗與二項置信區間的置信上限 U和置信下限 L有如下關系:

其中,(J,j)為二項系數;1-α為置信系數.當給定 J,α以及真實不穩定概率的估計值通過對式(4)和式(5)求解即可得到準確的 L和 U.

當根據實際需要給定二項置信區間的寬度和置信系數時,若 L和 U是關于概率估值雙邊對稱的,由式(4)、式(5)以及還可求得給定置信區間寬度所需的最少蒙特卡羅仿真次數 J.此時,估計次數只與有關.

同理,只要能夠將性能指標轉換為二項決策(binomial decision)的形式,就可按同樣的方法得到閉環控制系統的性能魯棒性度量.

SRAD-QFT方法中常用的二項決策轉換表如表 1所示.

表 1 SRAD-QFT方法中常用的二項決策轉換表

成功獲得閉環控制系統的穩定魯棒性和性能魯棒性度量,即各項設計指標的不滿足概率之后,即可在此基礎上使用數值搜索算法實現 QFT控制器的優化設計.

數值搜索算法的目標函數采用如下形式:

其中,M為閉環控制系統設計指標的個數;p^i為各項設計指標的不滿足概率;wi為對各項設計指標魯棒性度量的加權,其大小表明了閉環控制系統對各項設計指標的關注程度,設計人員可通過調整 wi值在各設計指標間進行折衷.

如圖 2所示的控制系統中,QFT控制器 G(s)和前置濾波器 F(s)的結構如下所示:

其中,a,b,c和 d為系數向量.SRAD-QFT方法的設計目標就可以描述為:在給定的設計系數向量空間內以及權值 wi,尋找最優的系數向量,使 Z最小.

使用 SRAD-QFT方法進行控制系統設計時,判斷是否成功設計出優化的控制器,取決于待解決的實際問題.從工程應用的角度上看,由于穩定裕度的關系,要求等于 0并不是最佳的選擇.實際上,只要滿足下列條件之一,即可認為成功實現了魯棒控制系統的優化設計:①在技術條件和成本允許的范圍內,最小;②在滿足可靠性要求的前提下,足夠小.

2 設計算例及仿真

以某型超聲速反艦導彈縱向運動控制系統的設計為例,演示了 SRAD-QFT魯棒優化設計方法的具體設計過程,并驗證其有效性.

設某型超聲速反艦導彈飛行中段的飛行方案為:由 Ma=2.2,初始高度 H=8km開始按給定俯仰角 ?爬升;H升至 15 km后轉入高空巡航,Ma=3.0;當導彈質量降至 1000 kg后,按給定 ?下滑;經約 60 s后 H降至 100m,Ma=2.0定高飛行.

采用圖 3所示的多回路控制方案.

圖3 導彈縱向運動控制系統結構圖

設計指標為:內、中、外回路穩定;中、外回路無不穩定極點與非最小相位零點對消.俯仰角控制回路 μ=2,高度控制回路 μ=2.5.俯仰角控制回路設計頻率范圍為[0.1,12]rad/s,高度控制回路為[0.4,2]rad/s,俯仰角控制回路為跟蹤邊界:

高空巡航段高度控制回路跟蹤邊界:

低空巡航段高度控制回路跟蹤邊界:

采用SRAD-QFT方法進行魯棒飛行控制系統設計,具體的設計過程如下:

1)在爬升段和下滑段選取的各設計點處,令導彈的 H、質量和速度按平均分布進行攝動,?按正態分布進行攝動;在巡航段選取的各個設計點處,質量按平均分布進行攝動,?和 H按正態分布進行攝動;

2)基于內部穩定性的考慮,系數向量的空間為(0,1 000];

3)取 1-α=0.95,各回路不穩定概率期望值為 0.065,二項置信區間的寬度不大于期望值的 10%,由式(4)、式(5)求得此條件下所需的蒙特卡羅仿真次數,為進一步縮小二項置信區間的寬度,取 J=25000.同理,可求得性能不滿足概率二項置信區間所需的蒙特卡羅仿真次數;

4)使用遺傳算法進行搜索,種群規模為500,終止代數為 50;

5)由于在尋優初期,二項置信區間之間的顯著性差異較大,為減少計算量,前 40代為每隔 5代才進行二項置信區間比較,后 10代則每代都進行比較,以便能準確地區分不同設計結果的優劣.

得到俯仰角控制回路的 QFT控制器和前置濾波器為

高空和低空巡航段的高度控制回路 QFT控制器和前置濾波器分別為

導彈縱向運動控制系統各回路的隨機幅頻響應如圖 4～圖 6所示.

圖4 俯仰角隨機幅頻響應

圖5 低空巡航段高度隨機幅頻響應

圖6 高空巡航段高度隨機幅頻響應

導彈縱向運動控制系統的非線性仿真結果如圖 7～圖 9所示.

由仿真曲線可看出,使用 SRAD-QFT方法設計的飛行控制系統能夠達到預期的設計要求.

圖7 H仿真曲線

圖8 ?變化曲線

圖9 δz變化曲線

通過本例可得出 SRAD-QFT魯棒優化設計方法具有以下特點:①能夠準確地描述被控對象的不確定性;②提供準確的魯棒性度量以便于設計人員改進設計過程;③能夠同時對控制系統各回路的 QFT控制器和前置濾波器的設計參數進行尋優,從而簡化了多回路控制系統的設計過程.

3 結 論

本文提出的 SRAD-QFT方法有效解決了以往魯棒優化設計方法中存在的魯棒性度量問題,實現了 QFT控制器和前置濾波器的魯棒優化設計,設計過程簡單透明,靈活的不確定性描述方式擴展了其應用領域.閉環控制系統的魯棒性度量在初始設計失敗時能夠有效地指導設計人員改進設計過程,適合復雜控制系統的設計.

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(編 輯:劉登敏)

Method for optimizing QFT robust control system

Jin Xianzhe Wu Sentang

(School of Automation Science and Electrical Engineering,Beijing University of Aeronautics and Astronautics,Beijing 100191,China)

Amethod for optimizing the quantitative feedback theory(QFT)robust controller was presented based on stochastic robustness analysis and design(SRAD)methodology,which solved the problems,such as inadequate robustness measures in existing optimization methods for QFT robust controller.With SRAD-QFT,the probability of instability and the probabilities of unsatisfied performances of the closed-loop control system were achieved by Monte Carlo evaluation.The stability robustness and performance robustness measurements for the closed-loop control system were provided by these probabilities,based on which the QFT controller and pre-filter could be designed simultaneously.The longitudinal flight control system design for a supersonic anti-ship missile using SRAD-QFT shows that this method can accurately descript the parametric uncertainty of the plant and provide the robustness measurements of the closed-loop control system.Also,it is suitable for designing the complicated system.

robust control;quantitative feedback theory;stochastic robustness analysis and design

TP 13

A

1001-5965(2010)11-1325-05

2009-10-22

金憲哲(1973-),男,黑龍江佳木斯人,博士生,jinxianzhe-first@sina.com.