基于灰色系統理論的經濟建模方法

朱 強

（1.湖南農業大學，長沙 400128；2.湖南文理學院，湖南 常德 415000）

灰色系統理論是我國控制論專家鄧聚龍教授1982年提出來的，經過20多年發展，基本形成了灰色關聯分析、GM模型研究以及灰過程及其生成空間為基礎的理論和方法論體系，是一種研究少數據、貧信息不確定性問題的新方法。灰色系統理論以“部分信息已知，部分信息未知”的“小樣本”、“貧信息”不確定性系統為研究對象，主要通過對“部分”已知信息的生成、開發，提取有價值的信息，實現對系統運行行為、演化規律的正確描述和有效監控[1]。這種理論對于研究相當一部分基于不完全信息、以經濟行為自身特點以及經濟規律基本要求為指導的經濟行為的定量化研究具有指導意義。

1 灰色系統理論與經濟研究

經濟研究的基本方法是通過大量經濟數據和經濟現象綜合分析，研究經濟運行內在規律，指導經濟決策，規范經濟行為，強化經濟調控，實現經濟資源合理配置和經濟體制良性運行。由于經濟運行系統是一個信息不完全系統，在系統要素不完全明確、要素關系不完全明了、系統結構不完全穩定、系統作用不完全確定的條件下，需要我們綜合可獲取和已獲取信息，以經濟規律基本要求為指導、以經濟要素關聯分析為基礎、以邏輯思維結構為手段，判斷經濟現象屬性和經濟行為價值，預測經濟發展趨勢，評價經濟決策作用，修正經濟要素配比，調控經濟運行機制。顯然，這一系列過程都是灰色理論在經濟運行和管理中的實際運行。換言之，灰色系統理論對于經濟研究的意義在于：

(1)從整體全局上認識和把握經濟系統和系統要素，以總體目標、最終作用和均衡為基本準則和價值目標，通過要素和要素之間、部分與部分之間、系統內部與外部之間的聯系把握，使經濟研究具有全面系統性。

(2)通過經濟系統內部結構特征研究，進而深化到經濟系統要素的數量特征、關聯程度、及其經濟組織運行和作用結構研究，并通過經濟系統和要素表象數據分析和特征挖掘，使經濟研究由表及里、由淺入深、由定性到定量、由微觀到宏觀，呈現出層次遞進性。

(3)視隨機經濟變量為灰色量、隨機經濟過程為灰色過程，借助灰元，以灰過程及其生成空間為基礎，使經濟隨機認識和研究過程實現由灰到白的“白化”過程、由不確定到相對確定的過程。特別強調把經濟過程細分為足夠小的時間和空間單元，經過嚴格條件研究到放寬假設推演的邏輯轉變，使細微經濟時空間隨機變化與長期經濟周期變動結合起來，使宏觀經濟決策調控過程與微觀主體生產消費行為過程統一起來，保證了經濟研究的確定有效性。

(4)把經濟系統看成是連續不斷的動態流，定量研究經濟系統和要素的動態品質、動態結構及其反饋過程，并把經濟系統和經濟概念特征對應到數量指標之中，把過于分散、稀疏、孤立的經濟信息濃縮、密化、對應到集中的信息，把經濟系統和要素的表征數量對應為系統內在規律反映和折射，建立一種客觀對應關系，使經濟研究具有動態對應性。

(5)注重經濟系統和系統要素結構的定量分析及其結構變動方向和變動強度研究，通過證明光滑離散函數累加為灰指數律，建立灰色系統與經濟學科系統之間的緊密聯系，保障經濟研究的結構定量性。

(6)根據經濟研究實際確定經濟信息數量的準確可信度、樣本容量和分布規律，充分挖掘和開發現有數據和信息，提取有效信息，提供有效方法，在滿足可行基礎上，不斷探求經濟系統和系統要素的最佳配比和最優結構，并運用模型分析方法和建模技術，把經濟預測、經濟決策、經濟運行、經濟調控納入到科學化軌道上來，保證經濟研究的實踐科學性。

2 灰色經濟模型建構機理

灰色模型（簡稱GM模型）是以原始數據列作為生成后建立微分方程，區別于一般意義用數據列建立差分方程的建模方式。灰色系統理論是基于關聯空間、光滑離散函數等概念，在先定義灰導數與灰微分方程基礎上用離散數據列建立微分方程的動態模型，由于模型非唯一，是近似的，故稱之為灰色模型。灰色理論之所以能建立近似微分方程，是基于下述概念、原理和方法[2]。

(1)灰色系統理論是將隨機變量當作一定范圍內的灰色量，而隨機過程也只是一定時空范圍內的灰色變化過程。

(2)灰色系統理論將沒有規律或規律性不強的原始數據生成后，使其變為有規律或規律性較強的生成數據后再建立模型。GM模型實際上生成數據模型，而一般建模得到的是原始數據模型。

(3)通過GM模型得到的數據，需要經過逆生成作還原后才能使用，才有說服力，才有實際意義。

(4)灰色系統理論是針對符合光滑離散函數的一類數列建模。一般原始數據作累加生成后，都可以得出光滑離散函數。

(5)灰色系統理論是通過灰數不同生成方式和數據取舍以及不同級別殘差GM模型補充、調整、修正后，提高模型精度的。換言之，GM模型是通過殘差GM模型修正后才變成近似差分微分方程。殘差就是模型計算值與實際值之差。

(6)灰色系統理論按開集拓撲定義了數列的時間測度，進而定義信息濃度；基于光滑離散函數的收斂性與灰關聯空間的極限概念，定義了灰導數和灰微分方程。灰色系統理論認為，微分方程是背景值與各階灰導數的某種組合。如果組合是線性的，系數是常數，則稱線性常數微分方程；如果組合是非線性的，就叫非線性微分方程。

(7)灰色系統理論是基于關聯度概念和關聯度收斂原理選擇和建立模型的。關聯度收斂是一種一定時空范圍的近似收斂，是離散函數收斂。

(8)GM模型主要通過殘差大小(或平均值，或最近數據殘差值)檢驗、關聯度檢驗、后驗差檢驗三種方法檢驗和判斷模型的精度的。殘差大小檢驗是按點檢驗，關聯度檢驗是建立的模型和指定函數之間的近似性檢驗，后驗差檢驗是殘差分布統計特性檢驗。這三種檢驗雖然從不同角度驗證了模型的科學性，特別是后驗差檢驗既考慮了原始數據列的離散性，也考慮了數據擬合殘差離散性，同時還考慮了小概率事件的擬合優度，但由于綜合時空范圍不確定和有限性，后驗差檢驗也會出現與實際情況不吻合現象，灰色模型綜合評價方法還有待進一步研究[3]。

(9)對于高階系統，灰色系統理論是通過GM(1,N)模型群解決的。也就是說，GM(1,N)模型群能充分滿足普通微分方程要求的信息量無限大、背景值為灰、背景值與dx/dt滿足平射關系三個要件。但對于數據列離散性，由于信息時空有可能出現空集，所以灰色理論只能按照近似微分方程的條件建立近似的不完全灰微分方程模型。

3 灰色經濟模型建構基本方法

一般經濟系統模型是經濟系統內部結構屬性與經濟系統要素關系的集中反映，是經濟系統各要素間整體性、關聯性、協調性和因果性的具體化數量化[4]。而灰色經濟系統模型除了是系統四種屬性和數量關系反映外，特別注重經濟要素之間的動態關系和過程研究。建立灰色經濟系統模型必須以定性研究為基礎、以定量研究為保障、強調定性定量結合，一般需要經過已知經濟信息開發思路設計、相關經濟要素關聯分析、經濟要素因果關系量化、經濟要素關系動態檢驗以及經濟系統模型整體優化五個步驟。五個步驟實質上包含了五個階段不同性質模型，簡稱為五步建模。

第一步，建立語言經濟模型。根據所研究的經濟系統結構及要素關系作定性分析，以明確經濟研究方向、目標、方法和途徑，并用精煉的語言文字予以表達，建立語言經濟模型。建構語言經濟模型的基礎是經濟信息，是對經濟信息收集、分析、處理以及經濟信息在研究中的意義總和概括描述。經濟信息既包括數據描述的完全確定部分經濟信息，也包括用不確定性語言描述的不完全確定部分經濟信息。換言之，經濟信息具有部分確定和部分不確定的特征，呈灰性。語言經濟模型通過經濟信息分類處理過程實現預期經濟建模目標，這個分類過程實際上就是灰色經濟信息逐步白化、補充、修正和綜合利用的漸進過程，是由表及里、由簡到繁、定性與定量結合過程。這階段語言經濟模型還只是定性模型，灰色建模還處于經濟信息開發思路設計階段。

第二步，形成網絡經濟模型。在綜合語言經濟模型中所顯現的和潛在經濟要素特性，進行經濟系統因素相關性和因果關系分析，揭示經濟要素和變量相互作用方式和規律，明確哪些經濟要素和環節是因、哪些經濟要素和環節是果，或者明確哪些經濟要素和環節是輸入、哪些經濟要素和環節是輸出。然后根據經濟要素對應關系用圖表或框圖表示這些經濟關系。如畫出經濟系統及要素方框圖、功能模塊圖、模糊影響樹狀模塊圖等，揭示經濟系統及經濟要素關系。這種從經濟系統結構和經濟系統環節分析各經濟要素在經濟系統中因果聯系，并用圖形表示出來，就是網絡經濟模型。

第三步，建立量化經濟模型。在網絡經濟模型中，將各經濟系統要素和環節的輸入和輸出關系以及作用方式填入經濟網絡圖示中，即得到量化經濟模型。

第四步，求出動態經濟模型。動態經濟模型也就是過程經濟模型，即把每一經濟環節和要素輸入和輸出的時空范圍數量關系找出來，按照GM（1，N）要求建模，進而得出經濟要素和環節輸入和輸出的動態經濟關系和規律，即求得動態經濟模型。

第五步，創建優化經濟模型。對動態經濟模型及相關結論進行分析，提出積極發展改進措施，改善經濟系統運行品質，滿足經濟模型設計要求和目標，都是經濟模型優化的內容和范疇。并以此對動態經濟模型作調整、補充、修正得到的模型就是優化經濟模型。優化經濟模型包括經濟參數優化、經濟結構優化、經濟要素作用點優化等形式和內容。

按照五步建模思路設計和建構的灰色經濟模型具有以下特點：

（1）以經濟定性分析為基礎，通過經濟變量具體化、規格化、關系化和數量化的定量分析，能保障經濟系統定性分析與定量分析的緊密結合。

（2）以經濟系統顯性和潛在信息為立足點，通過已知經濟信息揭示潛在關聯經濟信息，明確經濟信息之間的因果或輸入輸出關系，能增強經濟建模目標的針對性以及分析結論的可靠性。

（3）以經濟系統因素相關分析、經濟系統行為研究為主要特征，注重經濟系統因素間關系相對性和多重性研究，充分考慮了經濟因素時空隨機特性和連續運動變化特點，強化了經濟系統和經濟行為的動態研究。

（4）以控制論基本方法運用于經濟系統和經濟行為研究，能增強系統的控制功能。如通過系統信息獲取特別是發展變化信息獲取，可加強系統可控性和變化過程可測性研究，能更有效明確系統是發展的還是有限的。如果是發展的，其發展方向是什么，發展速度如何；如果是有限度的，那么它是單調趨近極限、還是擺動趨近極限，是平穩的，還是劇烈變動的等等。

（5）五步建模所建的模型是基于多因素、關聯性、整體化的多維多向分析模型，是強調以綜合分析相關聯因素綜合作用決定系統發展運動變化的模型，能更貼近經濟生活的實際情況。

[1]鄧聚龍.灰理論基礎[M].武漢：華中理工大學出版社，2002.

[2]羅佑新，張龍庭，李敏.灰色系統理論及其在機械工程中的應用[M].長沙：國防科技大學出版社，2001.

[3]劉思峰.灰色系統理論產生與發展[J].南京航天航空大學學報，2004，（4）.

[4]李少鵬，吳嘉晟.灰色系統模型及其經濟問題應用[J].數學的實踐與認識，2008，（1）.