假設法在數學中的應用例舉

■蔡青

假設法在數學中的應用例舉

■蔡青

在小學數學中，有些類型的題目呈現出一個共同的特點：題目中要求兩個未知量，這兩個量有各自的數量標準，通過兩個不同的數量關系相關聯，有點像初中的二元一次方程解決的問題，但又不完全是。而作為小學生，解決此類問題往往用算術方法，著實有一定難度。然而，如果我們能夠辯證地看待這些問題，使用假設法巧妙地分析其數量關系，往往能使問題得到很好的解決。這種假設法解題的核心思想是：將兩種標準不同的數量按其中一種數量的標準假設，通過分析在這種假設之下數量關系的變化，從而找到數量之間的對應關系，求出各個數量。

例1．鵝羊三十六，共計一百足，鵝羊各多少只？

分析：這是一道典型的雞兔同籠問題，一只鵝2條腿，一只羊4條腿，若將36只全部按鵝的標準假設，即全部按2條腿算，則由2×36=72條腿，比實際少100-72=28條腿，而這正是每只羊少算2條腿的總和，因此羊的只數為：28÷（4-2）=14（只），鵝的只數為：36-14=22（只）。解答如下：

羊的只數：（100-2×36）÷（4-2）=14（只）

鵝的只數：（4×36-100）÷（4-2） =22（只）

例2．兩個杯中分別裝有濃度為40%與10%的食鹽水，倒在一起后混合食鹽水的濃度為30%；若再加入300克20%的食鹽水，則濃度變為25%，那么原有40%的食鹽水多少克？

分析：此題解法為先求出濃度為30%的食鹽水重量，再求出濃度為40%的食鹽水重量。

解法：（1）濃度為30%的食鹽水重量：

300×（30%-20%）÷（30%-25%）-300=300（克）

（2）濃度為40%的食鹽水重量：

300×（30%-10%）÷（40%-10%）=200（克）

例3．100個和尚吃100個包子，大和尚1人吃3個，小和尚3人吃1個。問：大和尚、小和尚各多少人？

分析：此題將小和尚吃的包子數按大和尚的標準假設，則包子總數必然超過100個，超出的個數恰恰是所有小和尚多計算的包子數的總和，即可求出小和尚人數，同理，反之可求出大和尚人數。

解法（1）：小和尚人數：（100× 3-100）÷（3-）=75（人）

大和尚人數：100-75=25（人）

小和尚人數：100-25=75（人）

例4．一根長繩的長度是一根短繩的3倍，各剪去20米后，長繩剩下的長度是短繩剩下的長度的4倍。長繩原來有多長？

分析：利用方程解此題是比較簡單的，但有的學生不一定會解方程，而算術解法也不好解，因為此題中長繩與短繩這兩個量都變了，他們的和也變了，只有它們的差沒變，但卻難以建立標準量與對應量之間的對應關系，但使用假設法卻會使此題變得很容易。我們不妨假設短繩剪去20米后的長度為a米，則短繩長度為（a+20）米，假如原來長繩的長度是長繩長度的4倍，那么長繩的長度就有4（a+20）=4a+4×20，長繩原來的長度是4a+20，如果是4倍，還差3×20，而3×20恰恰是短繩的1倍，于是，原來短繩長度為60米，原來長繩長度為60×3=180（米）。

線段圖分析：

解：20×（4-1）×3=180（米）

答：原來長繩長180米。

總之，假設法在小學數學中有著廣泛的應用，絕不僅僅限于以上幾種題。有人說過這樣一句話——“思想有多遠，我們就能走多遠。”在數學王國這片天地里，數學問題的解決，往往是由人的思維方式來決定的，不同的思維方式決定了不同的解題思路。假設法恰恰是打破常規思維方式的一種有效的解題思維，在不經意間往往會收到意想不到的效果。

（作者單位：武漢市新洲區汪集街馮鋪小學）

責任編輯 廖林