基于失配誤差正交分解的穩健自適應波束形成

鄒 翔 張 旻 鐘子發

(解放軍電子工程學院 合肥 230037)(安徽省電子制約技術重點實驗室 合肥 230037)

1 引言

波束形成是陣列信號處理中廣泛應用的一項關鍵技術，如雷達、聲納、醫療成像[1]、MIMO無線通信[2]、麥克風語音處理等領域[3,4]。傳統的自適應波束形成方法假定期望信號(Signal Of Interest，SOI)

的導向矢量是精確已知的，然而，由于實際應用中導向矢量失配誤差會引起波束形成性能急劇下降，穩健自適應波束形成算法就成為陣列傳感器應用系統一個必須解決的問題。目前出現了幾種穩健的自適應波束形成方法來解決這種導向矢量的失配誤差問題[5?9]。Li等人[6,7]針對導向矢量失配提出了穩健的波束形成算法，一種方法是通過對導向矢量的不確定集進行建模，使用對角加載的思想，獲得與該不確定集參數有關的穩健自適應算法；而另一種方法是通過對加權矢量的模強加不等式約束，以改善波束形成算法的穩健性，這兩種方法都需要選擇恰當的參數才可以保證算法的穩健性。在假定失配量的模上限是已知的情況下，基于最壞情況性能最優[8]是非常有效的方法，其主要思想是把失配誤差e約束在一個橢球內：Α(e)={e|||e ||≤ε}，但事實上，無論是失配誤差本身還是它的模上限都無法獲知，如果上限設定過大，那么約束就會失效；如果上限過小，又會導致期望信號的自零陷(self-nulling)，這兩種情況都會導致算法性能的下降。基于概率約束的方法[9]假定失配導向矢量服從特定的概率分布，而不是簡單地把誤差約束在橢球內，其主要思想是：該波束形成器只對誤差以較大概率ρ發生的事件保持無畸變響應，而不是對所有的誤差發生事件。該方法更符合誤差失配實際情況，然而誤差的概率分布不同優化公式也會不同，所以難以實現對概率分布的準確恰當的建模。因此，目前還沒有一種理想的解決方法，穩健自適應波束形成算法仍然是工程應用中亟待解決的問題。

本文提出了一種新的穩健自適應波束形成方法，目標是令輸出信干噪比(Signal to Noise-plus-Interference，SINR)最大化。新方法基于期望信號的實際導向矢量和假定導向矢量之間的誤差估計，通過正交分解失配誤差，使用誤差的正交分量來修正導向矢量，因此，并不需要對失配誤差進行模上限約束和概率約束，避免了對上限的估計和概率分布的建模。

2 陣列信號模型

假設M 陣元均勻線陣，接收的都是窄帶信號，則在時刻t陣列接收到的信號為

其中xs(t)，xi(t)，n(t)分別是統計獨立的期望信號、干擾和噪聲。這里xs(t)=s(t)a，s(t)是期望信號波形，a是期望信號的實際導向矢量。

自適應波束形成器的輸出

其中w=[w1…,wM]T∈CM是波束形成權值復向量，(?)T和(?)H分別代表矩陣的轉置和共軛轉置。

基于輸出功率最小準則，則自適應波束形成可以寫成以下優化問題：

Capon波束形成器給出的解是

這里Ri+n是干擾加噪聲協方差矩陣，由于在實際處理中無法得到Ri+n，通常用Rx的估計值來代替，即在時間上多次快拍采樣對X(i)XH(i)求平均來完成，N為快拍數，令Rx的估計值為

輸出信干噪比SINR為

3 基于失配誤差正交分解的算法

針對失配誤差模上限難以選取和概率分布建模困難的問題，本文提出了一種新的基于誤差正交分解(Errors Orthogonal Decomposition，EOD)的穩健自適應波束形成，算法描述如下。

3.1 算法描述

在Capon波束形成器中，其輸出功率為

首先構造一個正定矩陣G

這里Θ=[θ1, θ2]是一個代表期望信號角度方位的空間扇形區域，g(θ)是假定的從θ方向入射的信號的導向矢量。值得注意的是：扇形Θ不應該包含任何的干擾信號方向。我們可以認為扇形Θ是以假定的期望信號方向為中心的一個鄰域，所以只要準確估計假定的期望信號方向，就可以準確估計Θ。為此，建立列正交矩陣

其中{vk}是矩陣G的K個主要特征向量，K是G主要特征值的個數。

根據定義，實際導向矢量a包含于由V的列向量張成的子空間里，因此，投影矩陣可以由式(11)得到(滿足VH=0)：

在式(8c)加等式約束的目的在于使修正后的導向矢量和a，具有同樣的模。然而，這種等式約束域不是一個凸集，式(8)的優化問題不是凸優化問題，無法通過高效方式求解。為此，把失配誤差e正交分解成兩個部分，一部分與正交，另一部分與平行。e⊥?表示e正交于的分量，根據矢量的物理意義，搜索e的正交分量并和矢量相加作為導向矢量的更新值，同時，約束更新值的模為，然后，繼續搜索與更新后的導向矢量正交的e⊥并和矢量相加作為“新”的更新值，直到滿足一些收斂準則。圖1說明了這種搜索、更新和約束的過程。

圖1 算法的迭代搜索示意圖

3.2 基于凸二次規劃的解決方案

失配誤差e正交分解以后，則式(8)可以重寫為

這里為體現e⊥和的正交性，給了額外的約束式(12d)。另外，把式(8c)由等式約束變成了不等式約束。不過這種松弛并不會改變優化問題性質，因為易知||+e⊥||≥||||=，所以e⊥=0是式(12c)中的唯一解。由此在不等式的右邊加一個很小的松弛變量σ(σ＞0)，使得本文算法在搜索e⊥時有一定的搜索空間。那么式(12)修正為

式(13)是一個凸二次規劃問題，可以使用內點法有效地解決。當得到滿足式(13)中目標函數的e⊥以后，更新假定的導向矢量，并且重新投影和模約束。值得指出的是：σ的值不會影響式(13)的最優解，只會影響收斂速度。具體來說，如果σ很小，則算法的迭代次數很大，反之則反。

3.3 算法流程

至此，本文算法流程總結如下：

(1)求解式(13)得到e⊥的估計；

(5)使用修正后的導向矢量計算穩健自適應波束形成器的權值

4 仿真實驗

仿真實驗中假設陣列為半波長均勻線陣，陣元數M=10，所加噪聲為零均值的高斯白噪聲。假設兩個干擾分別從30°和60°入射，干噪比(Interference to Noise Ratio，INR)均為30 dB，期望信號的方向角為0°。快拍數N=100，實驗結果來自500次獨立的蒙特卡洛實驗。在實驗中，把本文提出的算法(EOD)和采樣矩陣求逆算法(Sample Matrix Inversion，SMI)、對角加載算法(Diagonally Loaded SMI，LSMI)[6]、基于二階錐規劃(Second Order Cone Programming，SOCP)[8]以及基于概率約束(Probability Constrained，PC)[9]的穩健自適應波束形成算法進行比較。在本文算法中，認為期望信號來自區間Θ=[?5°,5°]，松弛變量σ=0.1，矩陣G的主要特征值個數為6。文中使用MATLAB CVX工具箱解決式(13)、基于SOCP和基于PC的穩健自適應波束形成的權值。

實驗1 假設觀測方向誤差為3°，也就是說假定的導向矢量由(3+0)°計算得到。在LSMI算法中，對角加載因子為10，是噪聲功率。在SOCP波束形成器中，分別采用ε=0.1M 和ε=0.3M，其中第1個值過小而第2個值等于失配誤差的模。概率約束波束形成方法中，ρ=0.95，設定失配誤差服從高斯分布。實驗仿真了輸出信干噪比(SINR)和輸入信噪比(Signal to Noise Ratio，SNR)的關系，可見本文提出的算法在高信噪比區域具有最好的性能，高于PC和SOCP有4 dB左右，具體性能比較見圖2。

實驗2 同時考慮觀測方向誤差和陣元位置誤差。假設每個陣元和理想位置之間的誤差在區間[?0.1λ/2,0.1λ/2]內均勻分布，λ是波長；而觀測方向誤差均勻分布于[?3°,3°]。在SOCP波束形成器中，分別采用ε=0.1M 和ε=0.3M進行計算。在概率約束波束形成方法中，ρ=0.95，失配誤差服從高斯分布。實驗仿真輸出信干噪比(SINR)和輸入信噪比(SNR)的關系，可以看出，本文提出的算法有效修正了失配誤差，較其他算法有一定的優勢，性能比較結果見圖3。

實驗3 觀察方向誤差為3°，在SOCP波束形成器中，采用ε=0.3M進行計算；固定SNR=?10 dB，實驗中仿真SINR和快拍數N的關系，其中輸出SINR歸一化后取對數，最小快拍數為陣元數的兩倍，結果見圖4。可以看出，本文算法輸出SINR在快拍數為40時已經有收斂的趨勢，可見算法在小快拍采樣時具有較大的性能優勢。

圖2 存在觀測誤差時性能比較

圖3 存在觀測誤差和陣元誤差時性能比較

圖4 SINR與快拍數關系曲線(SNR= -10 dB)

5 結論

針對目前工程應用中亟待解決的穩健自適應波束形成問題，本文提出了一種基于失配誤差正交分解(EOD)的方法。文中詳細給出了算法描述和基于二次凸規劃的解決方案，理論推導和仿真實驗驗證了算法的有效性。由于不需要模上限估計和概率分布的建模，從而避免了現有算法由于參數選擇不當和建模不準確導致性能下降的問題。因此本文所提的算法更有利于工程實現。

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