基于最小柔度的連續體結構拓撲優化研究

胡桂川，劉敬花，劉成俊，李 亮

HU Gui-chuan, LIU Jing-hua, LIU Cheng-jun, LI Liang

（ 重慶科技學院 機械與動力工程學院，重慶 401331）

基于最小柔度的連續體結構拓撲優化研究

The study of continuum structure topology optimization based on min-compliant

胡桂川，劉敬花，劉成俊，李 亮

HU Gui-chuan, LIU Jing-hua, LIU Cheng-jun, LI Liang

（ 重慶科技學院 機械與動力工程學院，重慶 401331）

結構拓撲優化通過在設計域內最優布置材料獲得優良性能的零件的一種優化設計方法，工程結構的優化目標復雜，設計域不規則并具有多種形式的優化約束，使單目標的拓撲優化難于滿足工程需要。本文提出從零件的剛、強度及動力學需求出發，開展結構拓撲優化在工程應用方面的研究具有重要價值。

拓撲優化；柔度；連續體結構；桁架；密度法

0 引言

給定設計目標和約束的情況下，尋找性能優、容易制造、重量輕的產品拓撲結構和材料布局是設計者追求的目標。連續體結構拓撲優化的目的是在工程結構設計的初始階段為設計者提供一個概念性設計方案，從而改變傳統的設計、校核、修改這樣一個不斷反復的串行開發流程，已經成為當今結構優化設計研究的一個熱點[1,2]。其實質是材料在設計空間的分布優化[3]，通過迭代計算，保留對結構傳力路徑有利的結構單元，刪除對結構傳力路徑作用不大的單元。

本文以橋梁加固中的桁架為研究對象，提出基于密度法中的SIMP(solid isotropic material with penalization) 的多目標拓撲優化方法,通過對桁架初步結構進行剛、強度和固有特性進行分析，尋找影響桁架剛、強度和動力學性能的關鍵結構單元，進行桁架的拓撲結構優化設計，提出了滿足性能要求的三種桁架結構供選擇，實現了桁架的多目標拓撲優化,得到了同時滿足靜態多工況下剛、強度、固有頻率要求的桁架拓撲結構。

1 SIMP 密度—剛度插值法

結構的總體柔度可寫為：

結構總體柔度C的敏度為：

體積約束的敏度方程可寫為：

其中ue是單元位移列矢量，ue可以通過求解結構有限元平衡方程F=K×U得到。在體積約束下，以結構柔度為目標函數時，基于SIMP方法的連續體結構拓撲優化模型為：

xmin是單元相對密度的最小極限值，引入xmin的目的是防止單元剛度矩陣的奇異值；ve為優化后的單元體積，N為單元總數目。由此，離散結構拓撲優化問題變成了連續體結構拓撲優化問題。

2 桁架剛、強度分析

在進行大型重載件的運輸過程中，載重車輛可能要經過相當數量的橋梁，經過橋梁的車輛和載重量可能超過了橋梁本身的設計負荷，為了車輛和橋梁的安全，需要對橋梁進行加固。如圖1所示的石拱橋，不能承受重型載重汽車運輸石油鉆井設備，利用傳統加固橋梁的方法實施非常困難，工程部門通過對各種加固方案進行比較，提出在橋墩上制造一個桁架，桁架與橋拱間有25cm的間隙，要求60噸的載重汽車經過加固的橋面后不能對拱橋產生破壞，即在60噸的載荷作用下，桁架的最大變形小于25厘米、同時載重車在橋面的行駛過程中，桁架不能發生共振。

圖1 加固前拱橋截面圖

2.1 加固桁架的結構設計

根據上述要求，加固桁架的長度、寬度和高度受原橋梁的限制，在此約束條件下，桁架各杠的連接是進行結構設計重點關注的問題。結構設計人員設計了如圖2所示的桁架三維結構，桁架的重量為21432.6 kg。

圖2 設計的鋼橋桁架

2.2 加固桁架的剛、強度分析

對設計的加固桁架，在載重車輛通過時桁架將發生變形，變形后的桁架是否與石拱橋的石拱發生接觸是加固桁架設計是否成功的關鍵。通過對設計的桁架結構進行有限元分析，分析其結構的剛度是否滿足要求。在分析過程中考慮到載重汽車載荷的變化，分析載荷為60噸和90噸兩個工況。通過對桁架的靜力學、動力學分析，在90噸載荷的作用下，桁架的剛、強度均存在較大的富裕，擬通過拓撲優化，提高材料的使用率，降低成本。

3 桁架的拓撲優化

從桁架的剛、強度分析結果可以看出，桁架的原結構設計不合理，材料的利用率不高，有一些杠件的應力非常低，沒有發揮其能夠發揮的作用。在對原結構的剛、強度進行認真分析的基礎上，提出如下三個桁架結構方案：

在相同的邊界條件下，計算各個方案的應力、變形及其分布規律和結構的各階固有模態。各個方案的剛、強度分析結果如表1所示；各優化方案的各階模態如表2所示。

表1 各個優化方案的剛、強度分析結果比較

表2 各優化方案的各階模態比較

從上述方案的分析結果可得如下的結論：

1）所制定的三個方案都能夠滿足桁架結構的性能要求；

2）從材料的利用率和結構的工藝性進行分析比較，方案3是所有方案中最有的方案，最終被業主單位采用，通過近兩年的使用和檢測，達到設計要求。

4 結論

目前對連續體結構的拓撲優化研究主要集中在單目標的拓撲優化。然而，在實際工程結構中存在著大量的多目標拓撲優化問題，因此僅僅是單目標的拓撲優化很難得到滿足實際工程需要的最優結構拓撲。雖然各種各樣的多目標優化方法已經應用于結構的形狀優化和尺寸優化中，但設計變量僅局限于尺寸變量(如截面尺寸、厚度等) ,它們都存在不能改變結構拓撲的缺陷。

針對結構布局優化設計的難點，本文提出了通過對基結構進行有限元分析，利用分析結果尋找影響結構剛、強度和動力學性能結構要素，結合制造工藝，對結構進行形狀、拓撲結構布局優化方法在工程設計是一種比較可行的方法。

[1] Bendsoe M P,Sigmund O.Topology Optimization：Theory,Methods and Applications [M].Berlin：Springer,2003.

[2] Hassani B,Hinton E.Homogenization and Structural Topology Optimization Theory,Practice and Software[M].London：Springer,1999.

[3] Rong J H,Xie YM,Yang X Y. An Improved Method for Evolutionary Structural Optimization Against Buckling[J].Computer & Structures,2001,79：253-263.

[4] 范文杰,范子杰,蘇瑞意.汽車車架結構多目標拓撲優化方法研究[J].中國機械工程,2008,19(12),1505-1508.

[5] Bendsoe M.P.and Sigmund O.Topology optimization：theory,methods and applications.New York：Springer,2003.

TH166

A

1009-0134(2010)10(下)-0196-03

10.3969/j.issn.1009-0134.2010.10(下).61

2009-11-05

重慶市教委資助（KJ061405）

胡桂川（1964 -），副教授，碩士，主要從事工程分析與計算流體力學研究。