導數在制造業領域應用與數學建模

毛亞娟

MAO Ya-juan

（唐山職業技術學院基礎部數學教研室，唐山 063004）

導數在制造業領域應用與數學建模

Derivative multi-domain application and mathematics modelling

毛亞娟

MAO Ya-juan

（唐山職業技術學院基礎部數學教研室，唐山 063004）

導數的概念是微分學中的一個非常重要概念，它的應用很廣泛，可以涉及到很多學科領域，它在很多領域中的應用，也正是它在各領域中的數學建模思想的體現，本文就是從導數在物理學方面的應用、導數在制造業方面的應用三方面來論述的。

導數；多重應用；數學建模

0 引言

導數本身是一個純數學的概念，但在數學、物理學、工業等不同的領域，它的體現各有不同，然而實質相同。下面讓我們來看一下導數的概念。

1 導數的概念

導數的定義是：設函數y=f(x)在x0的某個鄰域內有定義，當自變量在點x0處取得改變量?x(?x≠0)時，函數f(x)取得相應的改變量?y=f(x0+?x) - f(x0)，如果當?x→0時，都有：

顯然，當函數有不同的實際含義時，變化率的含義也不同，從而使“導數”在不同的領域及科學技術中有了廣泛應用。

常見的變化率：

其實，導數定義并不難理解：就是因變量的改變量與自變量的改變量的比值的極限。在科學技術和工程中所遇到的函數大多是初等函數.但要認真深刻地理解導數的概念，我們還應該更進一步了解導數的實際應用。

我們在解決實際問題的時候，常常遇到求切線斜率、物體運動的速度、邊際成本、城市人口的增長速度、國民經濟發展速度、勞動生產率等。以上既涉及到幾何知識，又涉及到物理知識和經濟類知識。下面就導數在以上其中幾個方面的實際應用加以說明。導數在數學幾何方面的應用暫不敘述。下面從其它幾方面來敘述導數的實際應用。

2 導數理學中路程相對時間的瞬時變化率----即時速度

在物理學上有兩個非常重要的概念，即：勻速直線運動和變速直線運動。

一個物體在作勻速直線運動時，速度是不變的，即速度是所經過的路程與時間的比值，此速度相當于平均速度。

一個物體在作變速直線運動時，速度是不斷變化的。這時我們常常需要知道物體在某個瞬時時刻的速度大小。而這個瞬時速度的求取就可以通過求導數的方法去求得：

所以，導數在物理學的路程、時間、速度中體現了路程相對時間的瞬時變化率。即此時可以把導數看作是物體運動過程中的某一時刻的即時速度。而這個即時速度就是路程與時間的關系式s=f(t)中t=t0時的導數. 由此數學中的“導數”在物理學“非勻速直線運動求即時速度”問題上構建了一個數學模型，即實現了“導數”在“非勻速直線運動求即時速度”問題上的數學建模.

有了上面的觀點，再求物體即時速度，只須利用導數即可。

解：設物體下落時的即時速度為V，則：

所以t=10秒時的即時速度為：

這道題利用了物理學中的即時速度與數學中導數的相等的關系，巧妙地構建了一個數學模型，從而使復雜的問題簡捷化。由此也可以看出，導數在物理學上的應用，正體現了數學在物理學領域中的數學建模。

3 物理學中電流強度是電荷Q對時間t的變化率

[電流模型]：設在[0,t]這段時間內通過導線橫截面的電荷為Q=Q(t)，求t0時刻的電流。

解：如果是恒定電流，在?t這段時間內通過導線橫截面的電荷為?Q，那么它的電流為

如果電流是非恒定電流，就不能直接用上面的公式求t0時刻的電流，此時

稱為在t0這段時間內的平均電流。當|?t|很小時，平均電流可以作為t0時刻電流的近似值，|?t|越小近似程度越好。我們令?t→0，平均電流的極限（如果極限存在）就稱為時刻t0的電流i(t0)，即

從上式可知，求通過導線橫截面的第t0時刻的電流就是求[0,t]這段時間內通過導線橫截面的電荷函數式Q=Q(t)在t=t0時的導數，這一理念又是數學中“導數”的概念在電學知識中的數學建模.

例2：設在[0,8]這段時間內通過導線橫截面的電荷為Q=t2+2t-1，求t0時刻的電流。

解：設t0時刻的電流為i(t0)，則i(t0)就是Q=t2+2t-1在t0=8時的導數Q'(t0)， 即：Q'(t0)=2t+2 ,則：

Q'(t0)=Q8=2×8+2=18

則：i(t0)=Q'(t0)=18，所以t0時刻的電流是18。

[細桿的線密度模型]：設一根質量非均勻的細桿放在x軸上，在[0,x]上的質量mx的函數m=m(x)，求桿上x0處的密度。

解：如果細桿質量分布是均勻的，長度為?x的一段的質量為?m，那么它的線密度為：

如果細桿是非均勻的，則不能直接用上面的公式求x0處的線密度設細桿[0,x0] 的質量m=mz(x0)，在[0,x0,?x]的質量m=m(x0+?x)，所以在 這段長度內，細桿的質量為：

上式說明，一根質量非均勻的細桿在桿上x0處的線密度就是在[0,x]上的質量m與x的函數m=m(x)在x=x0處的導數。所以數學中的“導數在“非均勻細桿的線密度”求解問題上又構建了一個數學模型，即體現了數學在細桿的線密度問題中的數學建模。

例3：設一根質量非均勻的細桿放在x軸上，在[0,12]上的質量m是x的函數m=x2+x，求桿上x0處的線密度。

解：設桿上x0處的線密度為ρ(x0)，則ρ(x0)就是m=x2+x在x=12時的導數m'(x0)；因為：

則：ρ(x0)=m'(x0)=25，所以桿上x0處的線密度是25。

這道題利用了細桿在某一點處的線密度與數學中導數相等的關系，巧妙地構建了一個數學模型，從而使復雜的問題轉化為模式化的數學導數問題，簡化了求解過程。由此可見，“導數”又在“非均勻細桿的線密度求解”問題上，顯示了數學建模的威力。

5 結論

上邊講述的導數的幾大類多重應用，看起來實際應用完全不同，但從抽象的數量關系來看，其實質是一樣的，即都是函數的改變量與自變量的改變量之比，當自變量趨于零時的極限。都是“導數”概念的體現?？梢姟皩怠钡母拍钤趯嶋H應用中滲透極廣，內涵豐富，應用甚多；同時“導數”的多重應用，也提示我們要讓學生學會用數學的眼光去分析、解決帶有實際應用的問題，用數學的眼光去解決其它學科、生產和日常生活中相關的數學問題，從而使“數學建?！痹诟鱾€學科中得到很好的應用。

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2009-11-05

毛亞娟（1967 -），女，遼寧葫蘆島人，副教授，本科，主要從事數學教學研究與數學應用。