中學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的基本要求和教法探討

我們知道，數(shù)學(xué)概念是反映數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性和特征的思維形式。數(shù)學(xué)公式、定理和方法都是反映數(shù)學(xué)對(duì)象和概念間的關(guān)系。如果沒(méi)有學(xué)好數(shù)學(xué)概念，那么對(duì)數(shù)學(xué)公式、定理和方法不可能理解。可以說(shuō)，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)。另外，深入理解數(shù)學(xué)概念的過(guò)程使抽象邏輯思維得到鍛煉，對(duì)提高思維能力有促進(jìn)作用。因此，數(shù)學(xué)概念教學(xué)十分重要。

一般來(lái)說(shuō)，對(duì)數(shù)學(xué)中一些重要概念的教學(xué)要使學(xué)生掌握概念的內(nèi)涵和外延及其表達(dá)形式(包括定義、名詞、符號(hào))，還要了解有關(guān)概念之間的關(guān)系，在數(shù)學(xué)知識(shí)體系中不斷加深擴(kuò)大對(duì)概念的認(rèn)識(shí)，成為系統(tǒng)的知識(shí)，并能運(yùn)用概念知識(shí)來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。即要求理解、記憶、系統(tǒng)、會(huì)用。為達(dá)到這樣的要求，下面我們來(lái)探討有關(guān)教法問(wèn)題。

一、注意引入新數(shù)學(xué)概念

各種數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生與發(fā)展有各種不同的途徑。有的是現(xiàn)實(shí)模型的直接反映，有的是在相對(duì)具體的概念基礎(chǔ)上經(jīng)過(guò)多級(jí)抽象得來(lái)，有的是經(jīng)過(guò)思維加工，把思維對(duì)象理想化、純粹化得來(lái)，有的是從數(shù)學(xué)內(nèi)部的需要直接規(guī)定得來(lái)，有的是理論上有存在

的可能性做出來(lái)的，有的是從數(shù)學(xué)對(duì)象的

結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生出來(lái)。

因?yàn)槿魏螖?shù)學(xué)概念都有它的具體內(nèi)容，特別中學(xué)數(shù)學(xué)中大多數(shù)數(shù)學(xué)概念都有它的現(xiàn)實(shí)模型。對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)概念的具體內(nèi)容，中學(xué)生在生活和學(xué)習(xí)過(guò)程中，或多或少都有過(guò)接觸。因此，從認(rèn)識(shí)發(fā)展的觀點(diǎn)來(lái)看，在中學(xué)進(jìn)行新概念教學(xué)時(shí)，應(yīng)根據(jù)各個(gè)概念的產(chǎn)生發(fā)展的具體途徑，從學(xué)生接觸過(guò)的具體內(nèi)容或現(xiàn)實(shí)模型引入。同時(shí)，從數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的需要提出，這是一種有效的方法。

此外，在數(shù)學(xué)教學(xué)中有時(shí)也可以采用從已知概念引入新概念的方法。例如，教學(xué)反正弦函數(shù)的概念，一般是在學(xué)生學(xué)習(xí)了反函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，運(yùn)用反函數(shù)的特征來(lái)判別正弦函數(shù)在什么條件下存在反函數(shù)的問(wèn)題，從而引入反正弦函數(shù)。又如，凡屬于數(shù)學(xué)對(duì)象的結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生的概念，一般都在學(xué)習(xí)了這個(gè)對(duì)象有關(guān)概念的基礎(chǔ)上把它們提出來(lái)。例如，在學(xué)習(xí)了多邊形的概念以后，提出多邊形的邊、角、對(duì)角線等概念，學(xué)生是不難理解的。

由此可見(jiàn)，引入概念的方法是多種多樣的。可以對(duì)數(shù)學(xué)模型直接觀察而引入新概念，也可以通過(guò)計(jì)算、推理、作圖來(lái)發(fā)現(xiàn)新概念。但是，任何一種方法都要符合學(xué)生認(rèn)識(shí)發(fā)展的規(guī)律以及每個(gè)數(shù)學(xué)概念發(fā)生發(fā)展的規(guī)律。

二、揭示數(shù)學(xué)概念的外延和內(nèi)涵

對(duì)于原始概念的教學(xué)，一般通過(guò)對(duì)具體事例的觀察，找出某特性，并給予說(shuō)明或描述，使學(xué)生認(rèn)識(shí)這個(gè)原始概念所反映的對(duì)象范圍和屬性。例如，在幾何中關(guān)于“點(diǎn)”的教學(xué)，可以讓學(xué)生觀察箭頭的尖端，地圖上用點(diǎn)表示城鎮(zhèn)位置等實(shí)例，從而抽象出“點(diǎn)有位置而無(wú)大小”的概念，還應(yīng)說(shuō)明所謂無(wú)大小關(guān)系是無(wú)足輕重的，也就是對(duì)它的大小加可否。正因?yàn)樗撾x了現(xiàn)實(shí)世界的物質(zhì)內(nèi)容，因此在數(shù)學(xué)中就可以把箭頭的尖端或者地圖上表示城鎮(zhèn)位置的點(diǎn)作為“點(diǎn)”的模型。

此外，有的原始概念的教學(xué)可采用指明對(duì)象的方法或者用通俗的同義來(lái)說(shuō)明的方法。例如，“0，1，2，3，…叫做自然數(shù)”就是用列舉對(duì)象來(lái)揭示自然數(shù)的外延。又如，“某些指定的對(duì)象集在一起的集體就成為一個(gè)集合”是用“集體”這個(gè)同義詞來(lái)說(shuō)明集合的外延。至于這些概念的內(nèi)涵是什么，只能在以后的學(xué)習(xí)中逐步認(rèn)識(shí)。

對(duì)于一般的定義的概念教學(xué)應(yīng)重點(diǎn)指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)定義中的屬概念和種差，認(rèn)識(shí)被定義的概念有它的屬概念的一切屬性，又有它自己獨(dú)有的特征，即定義中的種差，這樣，學(xué)生就認(rèn)識(shí)了概念的內(nèi)涵。為了使學(xué)生對(duì)所學(xué)概念加深認(rèn)識(shí)，應(yīng)讓學(xué)生根據(jù)定義來(lái)判別一些數(shù)學(xué)對(duì)象，借以明確概念所反映對(duì)象的范圍，即概念的外延。有時(shí)，還可以采用概念的劃分方法或者與其他有關(guān)概念或類(lèi)似概念比較的方法，進(jìn)一步弄清概念的內(nèi)涵和外延。

三、明確認(rèn)識(shí)概念間的關(guān)系

數(shù)學(xué)概念是隨著數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展而不斷發(fā)展的，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念也要在數(shù)學(xué)知識(shí)體系中不斷加深認(rèn)識(shí)，從數(shù)學(xué)概念間的各種關(guān)系來(lái)豐富所學(xué)概念的內(nèi)容、深化所學(xué)概念的認(rèn)識(shí)。

例如，學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的概念，隨著數(shù)、式、運(yùn)算等知識(shí)的發(fā)展，逐步認(rèn)識(shí)一次函

數(shù)、二次函數(shù)、有理數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等。因此，學(xué)習(xí)函數(shù)概念時(shí)，必須注意函數(shù)與數(shù)、式、運(yùn)算等數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系。同時(shí)，要注意在數(shù)學(xué)知識(shí)體系中去理解函數(shù)概念及其性質(zhì)。

另外，學(xué)習(xí)一些同類(lèi)概念，可以采用概念分類(lèi)和比較它們的外延和內(nèi)涵的方法，找出它們的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)，從而認(rèn)識(shí)各個(gè)概念間的外延關(guān)系，如同一關(guān)系、從屬關(guān)系、交叉關(guān)系、矛盾關(guān)系、對(duì)立關(guān)系等。

例如，為了使學(xué)生對(duì)實(shí)數(shù)概念得到較全面系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，在復(fù)習(xí)實(shí)數(shù)概念時(shí)可以先把實(shí)數(shù)進(jìn)行分類(lèi)，寫(xiě)出分類(lèi)表。通過(guò)分類(lèi)表來(lái)指出數(shù)的概念從自然數(shù)到分?jǐn)?shù)到有理數(shù)到實(shí)數(shù)的擴(kuò)充過(guò)程。進(jìn)一步比較各種數(shù)集及其運(yùn)算性質(zhì)，從而指出數(shù)的概念的擴(kuò)充原則以及各種數(shù)集的關(guān)系。這樣，學(xué)生會(huì)對(duì)數(shù)的概念得到清晰的、系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)。

四、正確理解并能運(yùn)用數(shù)學(xué)概念的名

稱(chēng)和符號(hào)

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念主要是通過(guò)抽象的術(shù)語(yǔ)、名詞、符號(hào)等信息來(lái)認(rèn)識(shí)的，數(shù)學(xué)中的計(jì)算、推理、證明也多數(shù)通過(guò)抽象的符號(hào)來(lái)實(shí)現(xiàn)。因此，教學(xué)中使學(xué)生正確理解并會(huì)正確運(yùn)用數(shù)學(xué)概念的名稱(chēng)和符號(hào)很有必要。

例如，學(xué)生初學(xué)反三角函數(shù)時(shí)，往往由于對(duì)反正弦函數(shù)符號(hào)的含義不夠理解，造成下面的推理錯(cuò)誤:

使學(xué)生正確理解并能運(yùn)用抽象數(shù)學(xué)名詞和符號(hào)的方法，首先要讓學(xué)生掌握各個(gè)名詞、符號(hào)所代表的數(shù)學(xué)概念的具體內(nèi)容，以及約束的條件，再通過(guò)一定的練習(xí)來(lái)分清一些易于混淆的界限，才能防止類(lèi)似上面的那些錯(cuò)誤。

五、發(fā)揮數(shù)學(xué)概念在運(yùn)算、推理、證明中的理論指導(dǎo)作用

數(shù)學(xué)運(yùn)算、推理、證明必須以有關(guān)概念為依據(jù)。例如，確定三角函數(shù)值的符號(hào)和它的絕對(duì)值必須以三角函數(shù)的定義為依據(jù)。要證明平行四邊形的兩組對(duì)邊相等、相鄰兩內(nèi)角互補(bǔ)和兩對(duì)角線互相平分等性質(zhì)，必須以平行四邊形的本質(zhì)屬性為依據(jù)。因此，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，應(yīng)使學(xué)生了解各個(gè)概念在運(yùn)算、推理、證明中的理論指導(dǎo)作用。這樣不僅能使學(xué)生牢固掌握數(shù)學(xué)概念，而且有利于提高學(xué)生的各種基本能力以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

作者單位:重慶市旅游學(xué)校