巧用數(shù)形結(jié)合 提高解題效率

數(shù)形結(jié)合在高考中占有非常重要的地位，縱觀近幾年高考試題，無論在函數(shù)、向量、解析幾何和立體幾何等方面都得以體現(xiàn)。應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，可使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化，起到事半功倍的效果。是優(yōu)化解題過程的重要途徑之一，是一種基本的數(shù)學(xué)方法。

例1已知點(diǎn)A(3，0)、B(0，3)、C(cosα、sinα)α∈(■，■)，求角α的值。

本題由兩向量的模相等，用代數(shù)法解其實(shí)也不難。但當(dāng)我們把模相等轉(zhuǎn)化為點(diǎn)C到A、B兩點(diǎn)的距離相等，可得點(diǎn)C在線段AB的中垂線y=x上，很快可得α=■。

例2 已知雙曲線的頂點(diǎn)到漸進(jìn)線的距離為2，焦點(diǎn)到漸進(jìn)線的距離為6，則該雙曲線的離心率為。

e=■=■=3。

例3已知sinα>sinβ，那么下列命題正確的是( )

A.若α、β是第一象限角，則cosα>cosβ。

B.若α、β是第二象限角，則tanα>tanβ。

C.若α、β是第三象限角，則cosα>cosβ。

D.若α、β是第四象限角，則tanα>tanβ。

分析考察選項(xiàng)A，作單位圓，如圖，OA、OB分別為角α、β的終邊，∵OC為α的余弦線，OD為β的余弦線，則有cosα>cosβ，知A錯(cuò)，依次判斷知選D。

例4函數(shù)u=■+■的值域是 。

分析 此題用一般的方法很難求出u的范圍。由于右端根號(hào)內(nèi)同為一次函數(shù)，故可令x=■，y=■消去t得:x2+2y2=16■所給函數(shù)化為含參數(shù)u的直線系y=-x+u，它與橢圓x2+2y2=16(在第一象限的部分，包括端點(diǎn))右公共點(diǎn)。如圖知umin=2■，當(dāng)直線與橢圓相切于第一象限時(shí)u取最大值，此時(shí)由方程組■得3x2-4ux+u2-16=0，由△=0?圳u=±2■，因直線過第一象限，∴umax=2■故所求函數(shù)的值域?yàn)?■，2■。

例5已知實(shí)數(shù)x、y滿足不等式組■，求函數(shù)z=■的值域。

思路分析 由解析幾何知識(shí)可知，所給的不等式組表示圓x2+y2=4的右半圓(含邊界)，z=■可改寫為y+3=z(x+1)，把z看作參數(shù)，則此方程表示過定點(diǎn)p(-1，-3)，斜率為z的直線族。則所求問題的幾何意義是:求過半圓域x2+y2≤4(x≥0)內(nèi)或邊界上任一點(diǎn)與點(diǎn)p(-1，-3)的直線斜率的最大、最小值。由圖顯見，過點(diǎn)P和點(diǎn)A(0，2)的直線斜率最大，zmax=■=5。過點(diǎn)P向半圓作切線，切線的斜率最小。設(shè)切點(diǎn)為B(a，b)，則過B點(diǎn)的切線方程為ax+by=4。又B在半圓周上，P在切線上。綜上可知函數(shù)的值域?yàn)椤觯?。

數(shù)形結(jié)合思想實(shí)際上包含“以形輔數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，及把問題的數(shù)量關(guān)系和圖形性質(zhì)結(jié)合起來考察。但在應(yīng)用過程中還必須注意以下幾個(gè)問題:

1.形的準(zhǔn)確性，這是數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ);

2.數(shù)形結(jié)合，貴在結(jié)合，要充分發(fā)揮兩者的優(yōu)勢，形有直觀、形象的特點(diǎn)，但代替不了具體的運(yùn)算和證明。而數(shù)才是其真正的主角，若忽視這一點(diǎn)，很容易造成數(shù)行結(jié)合的謬用。(作者單位陜西省合陽縣合陽中學(xué))責(zé)任編輯 楊博