謹(jǐn)防“數(shù)量關(guān)系”的教學(xué)走回老路

新課程改革十分重視培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力，重視解決問題策略的教學(xué)。江蘇省教研室近年來多次組織全省小學(xué)數(shù)學(xué)教師開展研討活動(dòng)，取得了許多重要成果。與此同時(shí)，研討中也產(chǎn)生一些困惑，這其中有關(guān)“數(shù)量關(guān)系”被弱化的問題引起了許多老師的關(guān)注。有人提出:新課程教材一般不總結(jié)提煉數(shù)量關(guān)系，而在解決問題的教學(xué)中比較重視讓學(xué)生尋找解決問題的策略，而幾乎沒有體現(xiàn)分析數(shù)量關(guān)系的思維方法，教師們平時(shí)也沒有像傳統(tǒng)應(yīng)用題教學(xué)那樣對數(shù)量關(guān)系進(jìn)行系統(tǒng)的訓(xùn)練，從而導(dǎo)致學(xué)生對一些常見的生活應(yīng)用題解題能力下降，既“慢”又“錯(cuò)誤多”。怎樣面對這一“尷尬”局面，有的教師認(rèn)為應(yīng)該重拾傳統(tǒng)應(yīng)用題的教學(xué)套路。亡羊補(bǔ)牢，加強(qiáng)對基本數(shù)量關(guān)系的總結(jié)、提煉和訓(xùn)練，有的教師甚至將解決問題的策略直接當(dāng)做知識與技能來教，讓學(xué)生掌握一些所謂的解題套路。這種認(rèn)識和教學(xué)現(xiàn)象值得我們警惕和反思。下面筆者談幾點(diǎn)想法，求教于大家。

一、重新審視“數(shù)量關(guān)系”的教學(xué)價(jià)值，“數(shù)量關(guān)系”的教學(xué)不僅僅是知識與技能的教學(xué)

新教材刻意淡化類型，將原本的應(yīng)用題內(nèi)容分散在數(shù)與代數(shù)的各部分內(nèi)容之中，有的實(shí)驗(yàn)教材通過創(chuàng)設(shè)情境，把數(shù)量關(guān)系滲透其中，重視的是數(shù)的運(yùn)算意義和解決問題的教學(xué)。對此，有的教師理解出現(xiàn)偏差，在教學(xué)中就教材教教材，缺少對數(shù)量關(guān)系的滲透，教學(xué)過程中沒有把數(shù)量關(guān)系的知識及運(yùn)用突出出來，沒有及時(shí)有效地對數(shù)量關(guān)系進(jìn)行適當(dāng)?shù)臍w納提煉和抽象概括，更忌諱講有關(guān)數(shù)量關(guān)系的術(shù)語或關(guān)系式，導(dǎo)致學(xué)生對數(shù)量關(guān)系所具有的“模型”價(jià)值的理解狹隘，進(jìn)而影響到學(xué)生解決問題的能力的發(fā)展和訓(xùn)練。

事實(shí)上，隨著年齡的增長，學(xué)生對實(shí)際問題題材的認(rèn)識范圍逐漸廣闊、情景逐漸復(fù)雜，同時(shí)也逐漸熟悉起一些生產(chǎn)、生活中的常用詞語和常見的數(shù)量關(guān)系，不僅僅是速度、路程與時(shí)間等，還有計(jì)劃產(chǎn)量和實(shí)際產(chǎn)量、增長和節(jié)約等。了解并總結(jié)一些簡單常見的生活中的數(shù)量關(guān)系，有利于學(xué)生學(xué)習(xí)“有價(jià)值的數(shù)學(xué)”。這些基本數(shù)量關(guān)系不僅對復(fù)雜問題的解決具有關(guān)鍵的模型建構(gòu)的奠基作用，而且也是學(xué)生數(shù)學(xué)化能力發(fā)展的需要。對此，沈重予老師在談教材編排意圖時(shí)也指出。數(shù)量關(guān)系是重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容，學(xué)生對數(shù)量關(guān)系的理解程度，直接影響到解題思路的形成，小學(xué)教科書教學(xué)數(shù)量關(guān)系一般分3個(gè)階段:首先在百以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識和計(jì)算的時(shí)候，教學(xué)四則計(jì)算的意義，初步建立四則計(jì)算概念。如把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)用加法計(jì)算，把總數(shù)平均分的運(yùn)算是除法，等等;然后在萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識和計(jì)算時(shí)，接觸一些具體的常見的數(shù)量關(guān)系。如從學(xué)生總?cè)藬?shù)里面減去男生人數(shù)得到女生人數(shù)，1千克蘋果的價(jià)錢乘買的千克數(shù)得到應(yīng)付的錢數(shù)，等等;最后抽象眾多具體的數(shù)量關(guān)系，概括出幾組常見的數(shù)量關(guān)系。如單價(jià)、數(shù)量與總價(jià)的關(guān)系，速度、時(shí)間與路程的關(guān)系，等等。

從上面的論述中我們可以看到，數(shù)量關(guān)系的教學(xué)是一個(gè)循序漸進(jìn)、逐步積累和感悟的過程。不僅僅是數(shù)學(xué)知識與技能的掌握。還隱含數(shù)學(xué)思想方法的感悟和提升。比如比的應(yīng)用問題教學(xué)。有些學(xué)生在新授時(shí)往往思路比較清楚，而一旦將問題變式，思路很容易陷入混亂，對一些數(shù)量關(guān)系極其相似的問題往往答非所問。究其原因，固然有學(xué)生受按比例分配解題模式的影響，對諸如“已知兩個(gè)數(shù)的比與其中一個(gè)數(shù)，求另一個(gè)數(shù)”等其他數(shù)量關(guān)系缺乏正確的辨析，造成錯(cuò)誤，但我以為，學(xué)生之所以數(shù)量關(guān)系分析“抗變”能力弱，主要還是在學(xué)習(xí)比的應(yīng)用過程中缺乏數(shù)學(xué)思想的引領(lǐng)，就題解題，對按比例分配問題的不同思路(如整數(shù)歸一思路和分?jǐn)?shù)思路)缺乏聯(lián)結(jié)與提升，學(xué)生所學(xué)所得支離破碎。從本質(zhì)上講，比的應(yīng)用問題也可以被認(rèn)為是比例的應(yīng)用問題。而比例問題的核心就是形成對應(yīng)關(guān)系。如:“配制一種藥液，藥粉和水的質(zhì)量比是1:40。(1)配制400克藥液需要藥粉多少克?(2)400克水應(yīng)加藥粉多少克?”我們可以將信息整理列表:

這種對應(yīng)關(guān)系可以有效地幫助學(xué)生理清解題思路。無論是整數(shù)思路，還是分?jǐn)?shù)思路，學(xué)生只有明確其中的對應(yīng)關(guān)系，才能正確合理地進(jìn)行數(shù)量關(guān)系的分析和整合。同時(shí)。比與分?jǐn)?shù)、除法的關(guān)系密切，三者之間可以相互轉(zhuǎn)化，我們應(yīng)不滿足于學(xué)生掌握某一種解題思路，更重要的是讓學(xué)生從對應(yīng)的關(guān)系中學(xué)會(huì)尋求最有效的解題途徑，做到舉一反三，融會(huì)貫通。

通過對課標(biāo)教材和教學(xué)案例的分析。我們發(fā)現(xiàn)新課程并不是真的忽視數(shù)量關(guān)系的教學(xué)，而是更重視學(xué)生對數(shù)量關(guān)系建構(gòu)的過程的教學(xué)。這就要求我們在重視基本數(shù)量關(guān)系的逐步積累過程的同時(shí)，關(guān)注學(xué)生對基本的數(shù)學(xué)思想方法和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的感悟積累，努力以數(shù)學(xué)思想方法來引領(lǐng)學(xué)生的思維發(fā)展，讓數(shù)量關(guān)系的建構(gòu)“活”起來。

二、重新審視“數(shù)量關(guān)系”分析的內(nèi)涵，“數(shù)量關(guān)系”的分析應(yīng)有機(jī)滲透“解決問題的策略”

在傳統(tǒng)的應(yīng)用題教學(xué)中，重要的一步就是幫助學(xué)生學(xué)會(huì)整理和分析數(shù)量關(guān)系，分析法和綜合法是運(yùn)用最多的具體方法，這些經(jīng)驗(yàn)值得我們借鑒。從本質(zhì)上講。分析法和綜合法是數(shù)學(xué)邏輯推理思維的呈現(xiàn)，展示的是解決問題的具體思路。而為了有效地幫助學(xué)生弄清實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，還往往采用畫圖、列表整理信息等手段。這些訓(xùn)練的手段方式，其實(shí)就是我們現(xiàn)在談?wù)摰慕鉀Q問題的基本策略。

比如，教學(xué)四下解決問題的策略例2(相遇問題)，我們在指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用畫圖策略整理信息的同時(shí)。還應(yīng)結(jié)合畫圖(或者動(dòng)畫展示相遇的過程)，讓學(xué)生清晰兩種不同的解題思路:“兩家相距的路程=小蘭走的路程+小芳走的路程”;或者“兩家相距的路程=兩人一分鐘走的路程和×相遇時(shí)間”。這里的第二種思路是一般學(xué)生難以理解的，畫圖(動(dòng)畫演示)正好成為化抽象為具體直觀的橋梁。在這里，畫圖策略的實(shí)質(zhì)就是幫助學(xué)生整理數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜的信息。使得隱藏的數(shù)量關(guān)系清晰地展示出來。

但是我們也應(yīng)當(dāng)看到，就數(shù)量關(guān)系常用的分析法與綜合法而言，其實(shí)本身就是一種解決問題的策略，是一種邏輯思維的最起碼要求。這種思維方式是大多數(shù)人所采用的基本策略形式。我們沒有必要對數(shù)量關(guān)系進(jìn)行過多的機(jī)械訓(xùn)練。因?yàn)殚L時(shí)間統(tǒng)一模式的訓(xùn)練(比如“要求……必須求……”，“根據(jù)……可以求……”等等)可能會(huì)致使學(xué)生的思維總是局限在某一些知識范疇內(nèi)，陷入死胡同，鉆牛角尖。這是應(yīng)該注意防范的。

為此，課程標(biāo)準(zhǔn)十分重視學(xué)生解決實(shí)際問題的策略教學(xué)。強(qiáng)調(diào)指出:“面對實(shí)際問題，能主動(dòng)嘗試著從數(shù)學(xué)的角度運(yùn)用所學(xué)知識和方法尋求解決問題的策略。”在蘇教版教材中就提出一系列具體的解決問題策略內(nèi)容，除了分析法和綜合法這些基本策略外，還介紹畫圖法、列表法、列舉法、倒推法、替換和假設(shè)法等等常用的策略。這些具體策略有些適合于解決常規(guī)問題，有的適合于解決一些特殊問題。但應(yīng)注意的是，這些策略方法并不是孤立存在的，而是你中有我，我中有你。因此我們在進(jìn)行數(shù)量關(guān)系分析訓(xùn)練的同時(shí)，應(yīng)更多地關(guān)注這些策略的有機(jī)滲透，為策略的逐漸形成打好基礎(chǔ)。

比如，四年級學(xué)生解答這樣一道題:張書紅6分鐘練24個(gè)字，照這樣，她練72個(gè)字需要多少分鐘?有的學(xué)生根據(jù)字?jǐn)?shù)的變化直覺地得到時(shí)間的變化擴(kuò)大了3倍，得出6×(72÷24)=18(分)。但有的學(xué)生卻列出6×72÷24這樣的算式，有沒有道理呢?學(xué)生可能一下子講不清楚，但這種算法里面卻蘊(yùn)含著假設(shè)的思想，假設(shè)她練1個(gè)字要6分鐘，這樣練72個(gè)字需要(6×72)分鐘，但實(shí)際上是練24個(gè)字需要6分鐘，這樣相比較，所用的時(shí)間必須縮小24倍，所以再除以24。這道算式里面不正蘊(yùn)含著后面要學(xué)習(xí)的假設(shè)策略嗎?如果我們老師看不到這種解法背后的數(shù)學(xué)思想策略，只是就題論題，淺顯地教學(xué)生基本的數(shù)量關(guān)系分析，學(xué)生的思維境界永遠(yuǎn)是“近視”的、淺層次的。

當(dāng)前，筆者注意到有些老師不僅沒有理清數(shù)量關(guān)系和解決問題的策略之間的關(guān)系，反而倒過來，把解決問題的策略簡單地當(dāng)作數(shù)量關(guān)系的分析那樣，機(jī)械地教思路，教套路，這是必須糾正的。我們對數(shù)量關(guān)系的教學(xué)，一定要符合數(shù)學(xué)思維發(fā)展的規(guī)律。我們不要總是由低往上看，而要居高臨下，只有教師的視野高于教材，高于“數(shù)量關(guān)系”，才有可能教活“數(shù)量關(guān)系”。

三、重新審視學(xué)生解決問題中的“問題”。辯證地看待學(xué)生解決問題過程中的“慢”和“錯(cuò)”

為什么會(huì)有人擔(dān)心學(xué)生解決問題過程既慢又容易出錯(cuò)?其原因就在于教師的頭腦里并不是讓學(xué)生解決問題，而是解答應(yīng)用題。不可否認(rèn)，在我們的教材里、練習(xí)題里，依然充斥著大量的應(yīng)用問題，這些“問題”本質(zhì)上講并不是真正的“解決問題”。

“解決問題”和“應(yīng)用題”是兩個(gè)不同的概念。現(xiàn)在學(xué)生在解決實(shí)際問題過程中，往往喜歡套模型，其原因就是我們傳統(tǒng)應(yīng)用題教學(xué)的習(xí)慣思維所致。而現(xiàn)在我們打破了原來教材“一例一類”應(yīng)用題教學(xué)模式，更多的是一種“散點(diǎn)式”的教材編排，學(xué)生對紛繁復(fù)雜的實(shí)際問題顯得手足無措。這種現(xiàn)象正說明我們的學(xué)生尚缺乏真正的解決問題的能力，說明我們的教學(xué)中沒有真正地為學(xué)生解決問題的能力的發(fā)展提供足夠的空間。新課改的一個(gè)重要“改變”就是要求我們改變傳統(tǒng)的循序漸進(jìn)式的數(shù)量關(guān)系分析套路模式，代之以散點(diǎn)教學(xué)模式，以解放學(xué)生的思維手腳。為此我們需要新的教學(xué)探索。

比如，在教學(xué)除法計(jì)算時(shí)，有這樣一道題:三年級有42人，分成兩隊(duì)，每隊(duì)再分成3組。問每組多少人?這個(gè)問題放在三年級，學(xué)生很自然地想到用除法來解決:42÷2÷3=7(人)。但如果把這樣的問題給低年級學(xué)生來做，學(xué)生是否就不能解決呢?顯然不是。比如學(xué)生都排過隊(duì)，排隊(duì)的經(jīng)驗(yàn)是先排隊(duì)再報(bào)數(shù)，分兩隊(duì)，就“1、2”報(bào)數(shù)，單數(shù)往前走一步，自然就分成兩隊(duì)。再分3組，每隊(duì)再“1、2、3”報(bào)數(shù)，報(bào)“1”的往前再走一步，報(bào)“3”的往后退一步，這樣不就解決了嗎?這個(gè)過程，才是真正的解決問題。學(xué)生在排隊(duì)報(bào)數(shù)的過程中，不僅僅是解決問題了，更主要的是經(jīng)歷了分類解決問題的策略學(xué)習(xí)過程，而三年級學(xué)生應(yīng)用除法計(jì)算，其實(shí)很大程度上并不是真正地解決問題，而是做“應(yīng)用題”。

因?yàn)榻滩摹吧Ⅻc(diǎn)式”的內(nèi)容編排。學(xué)生就會(huì)在學(xué)習(xí)解決問題的過程中遇到很多這樣低年級解決中高年級的問題，小學(xué)生解決中學(xué)生的問題。如果我們依然像傳統(tǒng)應(yīng)用題教學(xué)模式那樣，給學(xué)生以解題的樣板，學(xué)生所需要的只是機(jī)械的模仿，雖然確實(shí)可以“高效率”地“解決問題”，但那樣教學(xué)后，當(dāng)學(xué)生真正面臨“非常規(guī)問題”時(shí)，就會(huì)顯得困難重重。由此筆者贊同這樣一些觀點(diǎn):數(shù)量關(guān)系不是解決問題的本質(zhì)所在，解決問題不一定非要按部就班地分析數(shù)量關(guān)系，數(shù)量關(guān)系的分析不是解決問題的必要環(huán)節(jié)和手段，解決問題不是解答應(yīng)用題。我們應(yīng)努力為學(xué)生創(chuàng)設(shè)這樣的空間:讓學(xué)生覺得無類型模式可套，需要自己來尋找、探索、選擇最有價(jià)值的知識。這就需要我們適當(dāng)增加一些非常規(guī)問題，來考驗(yàn)甚至是“折磨”學(xué)生的思維，盡管這樣的教學(xué)效果可能是緩慢的，學(xué)生的探索腳步是蹣跚的，甚至是錯(cuò)誤的，但這些我們都不足為怕，因?yàn)橹挥袑W(xué)生經(jīng)歷了“慢”和“錯(cuò)誤”的考驗(yàn)，才有可能獲得珍貴的問題解決經(jīng)驗(yàn)。

當(dāng)前，新課標(biāo)提出“四基”教學(xué)要求，即在重視學(xué)生獲得基礎(chǔ)知識和基本技能的同時(shí)，還要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的擴(kuò)展。所以，對數(shù)量關(guān)系的教學(xué)，不應(yīng)該只是讓學(xué)生熟練記憶和運(yùn)用，也不應(yīng)該只是淺層次的邏輯思維訓(xùn)練，還應(yīng)該包括深層次的創(chuàng)新思維素質(zhì)的發(fā)展和數(shù)學(xué)思想方法的感悟。努力把單純的數(shù)量關(guān)系訓(xùn)練演變?yōu)榫C合的問題解決。面對學(xué)生在解決問題過程中的“慢”和“錯(cuò)誤”，我們需要辯證的甚至是欣賞的眼光。今天的“慢”，也許正是過程感悟的充分，而今天的“錯(cuò)”，正好可以讓學(xué)生的體驗(yàn)變得深厚起來。這正是“教育是慢的藝術(shù)”的真諦所在!