淺談在解析幾何教學(xué)中對學(xué)生創(chuàng)新型動態(tài)思維的培養(yǎng)

隨著新課程的實(shí)施，對數(shù)學(xué)的教育教學(xué)有著更高更全面的要求，如何讓學(xué)生明白“學(xué)數(shù)學(xué)是有用的”，如何更好地培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新型思維方式，提高學(xué)生的探究興趣與能力，是數(shù)學(xué)教學(xué)中要思考的問題。就此本人就學(xué)生在學(xué)習(xí)《解析幾何》過程中，大多是運(yùn)用靜態(tài)思維來處理各種問題，注重的是一些基本處理方法，比如解析幾何中常見的直線與圓錐曲線問題中，學(xué)生習(xí)慣用直線與圓錐曲線位置關(guān)系中的方程思想來解決，很少用到解析幾何中“系”為我們提供的旋轉(zhuǎn)、平移、拉伸、壓縮等這種動態(tài)思維去考查題目中的條件與問題。下面用幾個(gè)例子來談?wù)剛€(gè)人之拙見:

一、有關(guān)直線系在問題中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生用旋轉(zhuǎn)、平移之動態(tài)思維

則:Δ=(18k)2m-36m+36m2≥0，∵m>0，∴9k2+m-1≥0對一切k∈R恒成立。

∴m≥1-9k2，而1-9k2≤1，得m≥1，又∵焦點(diǎn)在x軸上，∴m<9，∴1≤m≤9

這是學(xué)生必須掌握的用純代數(shù)的方法(靜態(tài)的思維)去處理。而我們在教學(xué)過程中也可以試著去抓住“總有公共點(diǎn)”，也就是說無論直線它的狀態(tài)如何，始終都與橢圓有公共點(diǎn)，換而言之，就是不論k為何值，m在一定范圍內(nèi)取值時(shí)，都會使得直線與橢圓有公共點(diǎn)，而k在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)取值變化時(shí)，就相當(dāng)于某一直線按一定規(guī)律的變換著，問題是怎樣變換，從方程y=kx+1分析，它代表的是一簇恒過定點(diǎn)(0，1)的直線系，而該直線系又可以看作是過定點(diǎn)(0，1)的某一直線繞著該點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所形成的，而“總有公共點(diǎn)”的意思也就不難理解為:無論直線旋轉(zhuǎn)到什么位置，都要與橢圓有公共點(diǎn)。再結(jié)合分析幾何圖形，反問學(xué)生，要是該定點(diǎn)(0，1)在橢圓的外部的話，會不會出現(xiàn)“總有公共點(diǎn)”呀?如下圖所示:

二、有關(guān)曲線性質(zhì)中存在的動態(tài)思維

如橢圓的圓扁問題、雙曲線與拋物線的開口廣度問題也會涉及到曲線的拉伸與壓縮這種動態(tài)思維過程。如下例，供參考:

例2.已知:斜率為2的直線l過中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的右焦點(diǎn)，與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)分別在左、右兩支上，求雙曲線的離心率e的取值范圍?

解析:學(xué)生一般來說很容易想到的是利用直線方程與雙曲線方程聯(lián)立得到關(guān)于x的一元二次方程組，從而根據(jù)兩個(gè)根符號相反來解決。略解如下:

這也是我們學(xué)生必須掌握的代數(shù)方法，解法思路中也是用地道的靜態(tài)思維處理的。

前一種方法是代數(shù)中的靜態(tài)思維的一個(gè)體現(xiàn)。后一種方法充分抓住了“存在點(diǎn)”即可設(shè)定為“點(diǎn)的運(yùn)動”來觀察其中所涉及到的量“角”的變化，再充分利用了橢圓的幾何特性，橢圓的“壓縮”與其離心率的變化關(guān)系來解決。

總之，我覺得在解析幾何教學(xué)中，適當(dāng)?shù)亍⑶擅畹剡\(yùn)用點(diǎn)動態(tài)思維去分析、解決問題。上面三例中另法思路中看上去不像正規(guī)的解題之道，但有利于提高學(xué)生對問題的探究興趣，使學(xué)生養(yǎng)成分析問題更加深入、徹底，加強(qiáng)學(xué)生對幾何圖形的感知能力。以上僅代表本人不成熟的想法，不詳盡之處，請各位多批評指正。

作者單位:茶陵一中