初中數學教學中的逆向思維

摘 要：隨著新課標的誕生，原來一板一眼的教學方式已經不再適應當前的教學，特別是數學教學，應當努力克服從前的弊端。由此可見，教學方式和教學方法是思路轉變的重中之重，以課本知識為基礎，大力開展發散性思維方式，以多種思維提高數學課堂的教學質量，特別是逆向思維的培養更是發散性思維的重頭戲，只有這樣，才能提高學生的學習效率，從而培養出綜合素質突出的優秀人才。

關鍵詞：初中數學 數學教學 逆向思維

一、初中數學教學中逆向思維培養的必要性

教學的過程是一門培養學生學習能力的藝術，最具藝術魅力的并不只是教師以居高臨下的姿態將書本上的知識一股腦地灌輸給學生，而是要通過對教材深入淺出的整理、組織，細細研磨，以多種途徑將這些死板的知識靈活地展現給同學們。數字或許看起來是枯燥的，但是只要掌握了方法，一切將會變得有意思起來。教師要想達到優秀的教學效果，就要注重對學生們思維的培訓，廣開思路，使原本程序化的教學、單線條的思考，變成內容豐富、方式多樣的發散性思維。

當然，不同的時代有不同的教育方法和思維方法。但是在當今社會，教育以分數為重的現象越來越明顯，填鴨式教育不僅無法做到寓教于樂，而且功利性也越來越明顯。重理輕文，重智力輕德育，重知識灌輸、輕能力培養的現象使一大批學生背負著沉重的學習壓力，最終的結果是他們逐漸變成了學習的機器，漸漸失去了學習的興趣，成為教育的犧牲品而不是繼承人。為了改變這種現狀，激發學生的學習熱情和積極性，必須進行課堂改革，而數學教學中逆向思維的培養是一種有效而且必須的方法。

二、初中數學教學中逆向思維培養的方法

通過對《初中數學課程標準》的理解，我認為初中數學教師應該從以下幾個方面轉變教學方式。

教師首先要樹立逆向思維教學方式。利用逆向思維來分析和解決數學問題，可以開拓學生的思路，簡化解題的過程，提高學生的解題能力。下面我們通過一組例題來了解一下初中教學中如何運用逆向思維。

1.運用定義、公式和法則的可逆性

（1）數學概念的反問題

例1.若化簡1-x-x-4的結果為2x-5，求x的取值范圍。

分析：原式=1-x-x-4

根據題意，要化成：x-1-（4-x）=2x-5

從絕對值概念的反方向考慮，推出其條件是：

1-x≤0，且x-4≤0

∴x的取值范圍是：1≤x≤4

（2）逆向應用不等式性質

例2.若關于x的不等式（a-1）x＞a2-2的解集為x＜2，求a的值。

分析：根據不等式性質3，從反方向進行分析，得：

a-1＜0，且a2-2=2（a-1）

∴所求a值為a＜1

（3）逆向分析分式方程的檢驗

例3.已知方程m（x-1）/（1-x2）=1有增根，求它的增根。

分析：這個分式方程的增根可能是x=1或x=-1

原方程去分母并整理，得m（x-1）=1-x2）

如果把x=-1代入，能求出m=0；

如果把x=1代入，則不能求出m；

∴m的值為0，原方程的增根是x=1。

不少數學試題所考查的知識點并不難，但是解題時必須從相反方向考慮（稱為“逆向思維”），同學們必須重視培養這種有用的能力。

（4）冪運算的逆向思維性質

例4.對于無法化簡的冪函數的計算

計算（-0.25）2009×［（-2）2］2009＋（0.125）2011×［（-2）3］2011

如果對這個題目進行正向的冪運算，將十分困難，但是通過觀察并進行冪運算法則，則使得此題的解答顯得輕而易舉。

原式=（-0.25）2009×42009＋（0.125）2011×（-8）2011

=［（-0.25）×4］2009＋［（0.125）×（-8）］2011

=（-1）2009＋（-1）2011

=（-1）＋（-1）

=-2

例5.計算：

-234×36+234×（-20）-234×44

解：-234×36+234×（-20）-234×44

=-234×36-234×20-234×44

=-234×（36+20+44）

=-234×100

=-23400

如此可見，運用常規的解題方法，整個解題過程將變得十分繁瑣且容易出錯，如果根據例題中的各個數字的情況，先進行觀察，再利用乘法分配律的逆運算進行計算，就變得容易做了，實際上是化繁為簡的一種重要的逆向思維。

2.運用勾股定理的逆定理

例6.在△ABC中，三邊長分別為a、b、c，且a=2n+1，b=2n2+2n，c=2n2+2n+1（n>0）。求證：△ABC是直角三角形。

證明:因為n>0，所以，

2n2+2n+1>2n2+2n>2n+1，

即c>b>a

又因為a2+b2

=（2n+1）2+（2n2+2n）2

=4n4+8n3+8n2+4n+1，

c2=（2n2+2n+1）2

=4n4+8n3+8n2+4n+1

所以a2+b2=c2

則根據勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形。

上述可知：勾股定理定義表明：若△ABC是直角三角形，則三角形的三條邊a、b、c（c＞b，c＞a）一定符合公式：a2＋b2=c2；反之，若△ABC的三條邊滿足a2＋b2=c2，那么△ABC一定是直角三角形。

3.運用逆向思維

在平行四邊形的判定和性質的教學過程中，應重點引導學生進行如下思考：

（1）平行四邊形的兩組對邊分別平行，轉化為，兩組對邊分別平行的四邊形一定是平行四邊形

（2）平行四邊形的兩組對邊分別相等，轉化為，兩組對邊分別相等的四邊形一定是平行四邊形

（3）平行四邊形的兩組對角分別相等，轉化為，兩組對角分別相等的四邊形一定是平行四邊形

（4）平行四邊形的對角線互相平分，轉化為，對角線互相平分的四邊形一定是平行四邊形

上述四組對于平行四邊形的性質和判定都是可逆的，在教學中要求教師必須講清楚定理的條件和結論，再讓學生思考如果把原定理的結論當條件，條件當結論看是否成立呢？并加以證明，若成立，我們又可以將其當做定理來用。這樣就鍛煉了學生的逆向思考問題的能力，學會了思考問題的一種方法。而且許多題目往往不止一種解題方法，一題多解的引導能夠進一步提高學生對問題的分析和解決能力。對一個數學題的多種分析思路是引導學生多思考、多變通和多解題實踐過程中的重要輔導過程。

如計算［（0.125）2］3×（82）3＋［（0.5）3］2×（23）2

分析思路有兩種：

（1）先兩次逆用積的乘方性質，再運用冪的性質來計算

具體計算如下：

原式=［（0.125）2×82］3＋（0.53×23）2

（2）先運用冪的性質來計算，再逆用積的乘方性質來解題

具體計算如下：

原式=（0.125）6×（86）＋（0.5）6×26

兩種不同的思路都可以解決問題，而教學的目的并不在于讓學生知道如何解答此題，而是讓學生在多種思維方式中放開地去想，大膽去想。

三、培養學生在課堂中的逆向思維感悟

1.轉變教學理念

首先，新課程要求老師在教學的過程中要推陳出新，要讓學生成為課堂的主角。過去的填鴨式和拷貝式的灌輸教學方式早已落伍，老師在課堂上應當多留給學生時間去思考、探索、解題。這種過程比老師千篇一律地進行講解、講解再講解要有效得多。多進行啟發式的提問和鼓勵，引導學生向知識點靠近而不是直接將學生推到知識點面前進行死記硬背。破除這種僵化的教學模式可以讓課堂更加活躍，也有利于學生積極主動地體驗學習知識的樂趣。

其次，老師要在課堂上做一個組織者，而不是給予者。事實上，對于書本上的知識，老師最重要的任務不是傳授，因為數學乃是一門經過長久時間總結出來的自然科學。學生自我創造學習知識的能力遠遠比傳播知識更為重要。所以，初中數學教師要成為學生的伙伴，幫助他們在學習的過程中創造好的學習環境，合理安排預習和做試題的時間，合理安排教學內容的輕重點。只有經過精心組織、訓練、探索、實踐的課堂，學生才能完全將學習知識的技能掌握，而不是僅僅掌握了某些知識。

2.轉變教學方法

對于一直以來能夠讓學生輕松掌握基礎知識的教學方法要不斷發揚，并在此基礎上去粗取精，取其精華的教學方法，提高課堂的速度，多留給學生做習題的時間和對習題進行研究講解的時間；對于新課堂要求的教學方法則應從易到難、從簡到繁地進行引導和傳授，對于不同的學生切不可千篇一律，畢竟每一個學生的理解和接受能力不盡相同。

在準備課堂的教案過程中，教師要分析自己、學生和教材，將課堂中知識點的輕重要明確標明，做到既讓大多數學生都學到知識，又讓一部分更有天賦的學生在此基礎上將逆向思維慢慢融入解答習題和分析習題中。

要精心布置課堂，巧妙提問，合理布置習題。

（1）對于基礎知識，一定要訓練到位，要求每一個學生都過關

（2）對于大型的綜合題，則要通過全課堂的討論互動來進行，力求大部分學生都有收獲

（3）再者，適當地設計一些逆向思維習題對學生進行訓練，擴張學生的思維面，激發學生探索的樂趣

參考文獻：

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［5］方秦金.中學數學個性化教學研究與實踐［D］.福建師范大學.2003年.

作者單位：廣東廣州華師附中番禺學校